空间向量和立体几何专题七 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题七 知识点一 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,已知面面角求其他量 典例1、如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积． 随堂练习：已知平面四边形，，（如图1所示），现将 沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 典例2、如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． （1）证明：平面； （2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 随堂练习：如图所示，在三棱锥中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积. 典例3、如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F． （1）当时，证明：平面； （2）当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积． 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面 ，M是的中点． （1）证明：平面； （2）若，且二面角的大小为30°，求四棱锥的体积． 知识点二 证明线面垂直,面面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，． （1）证明：平面； （2）若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值． 随堂练习：如图，四边形是正方形，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 典例5、已知四棱锥 中，底面 ，平面平面 ，，. （1）求证：平面 ； （2）若 ，求二面角的余弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面 ，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 典例6、如图，已知等边中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且，将沿EF折到的位置，使平面平面，M为EF中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 随堂练习：如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使 点到达点的位置，且. 1、证明：平面； 2、若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值. 【正确答案】 1、证明见解析 2、 空间向量和立体几何高考复习专题七答案 典例1、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点， ∴底面圆，则，且，而， ∴平面. （2）由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系， 又，可得， ∴，，，有，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 又面的一个法向量为， ∴，可得， ∴该圆锥的体积． 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：因为， 所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）如图所示以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 ， 取，有， 即． 平面的一个法向量． 设二面角的平面角为， 则， 解得，即为中点． 此时， 又因为， 所以． 典例2、答案：（1）证明见解析；（2）. 解:（1）因为四边形为菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为x轴和z轴， 以过B点垂直平面的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示． 设，则，，， ．所以，． 设平面的法向量为，则 即令，得． 由条件知为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，易知为锐角． 则，解得． 所以． 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）在三棱锥中，，O为的中点.，且，连接， ，得， 则，又，得， ，平面ABC. （2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 由已知得， ，取平面的一个法向量 设，则 设平面的法向量为， 取，得， 二面角为， 解得：（舍去）或，则， 所以， 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）延长交于N，连接， 因为G为的重心， 所以点N为的中点，且， 因为，故，所以， 故，故， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 又因为，所以平面，故， 因为，所以， 又因为， 所以平面，所以平面. （2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设点G到平面的距离为， 则， 故， 设平面的法向量为，则,即， 取，则，即， 设平面的法向量为，则,即， 取，则，则，所以， 解得， 又， 故点G到平面的距离为， 因为，所以， 所以. 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）． 解：（1）因为侧面底面， 侧面底面， 又底面为矩形， 所以，平面， 平面，平面， 所以， 又侧面是正三角形，M是的中点， 所以，，，平面， 所以平面． （2）取中点O，过点O作的平行线连接， 由（1）同理知平面， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， 记平面的法向量，则，， 从而，则可得， 因为平面， 则平面的法向量跟共线，可取， 因为二面角的大小为30°， ， 解得， 所以四棱锥的体积为． 典例4、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）因为在和Rt中， ，， 所以， 因为，， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面． （2）因为， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角， 则， 所以， 由勾股定理知：， 可如图建立空间直角坐标系， 所以，，，， 所以，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则有， 即， 取，得， 所以， 设二面角的大小为， 则． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）四边形是正方形，有，而平面，平面，则， 又，平面， 所以平面. （2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 即有，，， 由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面与平面夹角为， 则有 所以平面与平面夹角的余弦值为. 典例5、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明；因为平面平面，平面平面， 在平面内作，则 平面，平面， 所以. 因为PA⊥底面ABCD，平面，所以, 平面，则平面， 因为,∴平面. （2）由（1）可知平面,平面,所以， 以A为原点分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 则， 所以 设平面的法向量为，则 ,即 , 令，则取. 设平面 的法向量为，则,即, 令,则取. 所以， 由图可知所求二面角为钝角，故二面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）如图，取中点，连接， 则, 因为平面平面，且平面平面，平面 所以平面, 因为平面，所以 , 又因为F为CD的中点，所以， 又，平面PGB， 所以平面，平面， 所以， ，为的中点， 所以，又，平面，平面， 所以平面. （2）不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴， 垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系， 则, ， 设平面与平面的法向量分别为，夹角为， 则 不妨设,所以， ， 所以. 典例6、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：因为为等边的边的中点， 所以是等边三角形，且，， 因为是的中点，所以，， 又由于平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，且， 则四边形是平行四边形，则， 在正中，知，所以， 而，所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2）设等边的边长为4，取中点，连接， 由题设知，由（1）知平面， 又平面，所以，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一个法向量为， 则由，得，令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 显然，二面角的平面角为锐角， 二面角的平面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以点在以为直径的圆上，所以. 又因为，，平面 所以平面. （2）取中点，连接，因为，所以， 由（1）得平面，又因为面， 所以平面面，因为为两平面交线， 所以面， 以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系， 设，则，，，， 由，得， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以， 又因为平面的法向量， 所以, 因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$