空间向量和立体几何专题六 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题六 知识点一 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其他量 典例1、如图，在四棱锥中，平面，，，且，， ． （1）证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 随堂练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点， 过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2. （1）证明：； （2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 典例2、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 随堂练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F． （1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值． 典例3、如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，且为的中点. （1）求证：；（2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由. 随堂练习：如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点， ，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论； （2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点. （1）证明:平面; （2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 随堂练习：从①直线与平面ABCD所成的角为60°；②为锐角三角形且三棱锥的体 积为2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答． 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，，______，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 典例5、如图，PO是三棱锥的高，点D是PB的中点，. （1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；条件①：平面；条件②：.注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. （2）若，OB平分，，，在（1）的条件下，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点. （1）证明：平面； （2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①；②；③与平面所成的角为. 若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例6、如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点． （1）已知点G为线段的中点，求证：CF∥平面； （2）若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求： （ⅰ）直线到平面的距离； （ⅱ）二面角的余弦值． 条件①：平面； 条件②：； 条件③：平面平面． 随堂练习：如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平 面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且． （1）证明：平面； （2）从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值． 空间向量和立体几何高考复习专题六答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2）存在，且与所成角的余弦值为 解：证明：连接，设， 因为，则，且为等腰直角三角形， 因为，则， 因为，由余弦定理可得， 所以，，则， 平面，平面，， ，平面，平面，. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，由题意可得， 因为，解得，此时，， ，， 所以，， 因此，在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为， 且与所成角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）存在，. 解:（1）证明：由题意得，AB//CD， 又AB⊂平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB. 又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF， ∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD. （2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD， ∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2. 取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)， ∴=(，2，－)， =(0，－2，0). 假设存在点G，设，∴，则， ∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))， 设平面GCD的法向量为， ，可取， 又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角， ∴，解得λ=或λ=3（舍）. 存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时. 典例2、答案： （1）证明见解析 （2） （3）存在，，理由见解析. 解：（1）在正方形中，，又因为，， 所以面，因为面，所以， 因为，，，所以面， 因为面，所以， 因为，所以平面； （2）由已知可得，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，连接，可得， 因为，所以，所以，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 由，令，则，，所以， 设平面的一个法向量， 由，则，令，则，所以， 所以， （3）因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 存在，理由如下： 假设在棱上是否存在一点满足条件，设，， 则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以 解得：，， 所以在棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是且的长为. 随堂练习：答案： （1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析 解:(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG． 证明如下：如图所示： 设PC的中点为H，连结FH， 因为，， ，， 所以 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH， 又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC， ∴AF∥平面PGC． (2)选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)， 设平面FAC的一个法向量为(x，y，z) ∴， 取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一个法向量为(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ， ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 选择②FC与平面ABCD所成的角为： ∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM， 则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD， FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴， 在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)， E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)， 设平面EAC的一个法向量为(x，y，z) 则， 取x，得( ，﹣3，3)， 平面ACD的一个法向量为：(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 选择③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE， ∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形， ∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)， E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)， 设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)，则， 取x，得( ，﹣3，3)， 平面ACD的法向量(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， θ则cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 典例3、答案： （1）证明见详解； （2）； （3）存在，为中点. 解：（1）平面，平面, 又又平面， 又平面,得证. （2）为中点，过作于，连， 在中，为中点 又平面，平面, 为二面角的平面角， 在直角梯形中， 又 在中， 二面角的余弦值为. （3）的中点为为的中位线，， 为平行四边形，又平面,平面 平面. 随堂练习：答案： （1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析 （2）符合题意的点存在且为线段的中点． 解：（1）证明如下：∵点，分别是边，的中点， 又，∴，且是等边三角形， ∵是的中点，∴， ∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴， ∵，平面，平面， ∴平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． （2）由题意知，四边形为等腰梯形， 且，，， 所以等腰梯形的面积， 要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可， ∴当平面时，点到平面的距离的最大值为. 假设符合题意的点存在． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，又， 又，且，平面，平面， 平面，故平面的一个法向量为， 设（）， ∵，，故， ∴，， 平面的一个法向量为， 则，， 即 令，所以 ， 则平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则，即，解得：， 故符合题意的点存在且为线段的中点． 典例4、答案：（1）证明见解析；（2） 解: （1）连接，交于，连接， 底面是菱形，为中点， 为中点，， 平面，平面，平面； （2）选①： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 底面是菱形，，， ， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； 选②： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 取中点，连接， 底面是菱形，，，平面，为的中点， ，平面，，， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）如图所示，取的中点为，连接，， 为中点，所以， 所以且， 因为为中点，四边形为菱形，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 选择条件①： 因为平面，所以直线与平面所成角为． 因为，，所以，所以为正三角形． 取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， ，，． 设平面的一个法向量 则，即，令，则， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 选条件②：由， 解得， 因为，所以．则其对角, 取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，以下步骤与选①一致. 典例5、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）选择条件①：平面PAC，证明条件②：成立. 延长BO交AC于点Q，连结PQ， 因为平面PAC，平面，平面PAC平面，则， ∵是PB的中点，∴， 连结OA，∵，∴， ∵是三棱锥的高，∴平面ABC，、平面ABC， ∴，，∴， ∴，∴； 选择条件②：，证明条件①：平面成立. 取AB的中点E，连结OE、PE、DE，则， ∵PO是三棱锥的高， ∴平面ABC，平面ABC，∴， 又，平面POE，， ∴平面POE，平面POE，∴， ∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC， 又∵D是PB的中点，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC， ∵，平面， ∴平面平面PAC，平面， ∴平面PAC； （2）选择条件①：由（1）得，取AB的中点E，连结OE，则， ∵，，∴，， 以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 设是平面的一个法向量，则， ∴，令，则，∴， 设是平面的一个法向量，则， ∴，令，则，∴， ∴，由图，平面与平面夹角为锐二面角， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 选择条件②：由（1）得，∵，，∴， 以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过和平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 设是平面的一个法向量，则， ∴，令，则，∴， 设是平面的一个法向量，则， ∴令，则，∴， ∴，平面与平面夹角为锐二面角， ∴平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）设AC,BD交于点O，因为是菱形，所以O为BD的中点. 连结OF.因为为的中点，所以为的中位线，所以. 因为面，面， 所以平面. （2）过O作.以O为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 选条件①：. 在菱形中， .因为，所以,.所以,,,,,,. 所以,. 设为面ACF的一个法向量，则：，不妨令x=2，则. 显然为面ACD 的一个法向量. 设二面角的平面角为，由图示，为锐角， 所以. 选条件②. 在菱形中，，所以,所以.因为， 所以,. 所以,,,,,,. 所以,. 设为面ACF的一个法向量，则：， 不妨令x=2，则. 显然为面ACD 的一个法向量. 设二面角的平面角为，由图示，为锐角， 所以. 选条件③：与平面所成的角为. 因为平面，所以为与平面所成的角，即. 在直角三角形中，由可得：.所以,. 所以,,,,,,. 所以,. 设为面ACF的一个法向量，则：， 不妨令x=2，则. 显然为面ACD的一个法向量. 设二面角的平面角为，由图示，为锐角， 所以. 典例6、答案：（1）证明过程见详解 （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 解：（1）取的中点，连接，，，； 因为分别为的中点，所以，平面， 平面，所以平面， 又因为分别为的中点，四边形为平行四边形， 所以且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）选择条件①和③ （ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， 由题意可知：，又，所以. 因为平面平面，且平面平面，因为平面， 所以，所以平面，平面，所以, 则四边形为矩形，因为，所以， 设点到平面的距离为，由平面可知：， 在中，， 因为为的中点，所以， 所以，， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离. 因为，即， 也即，所以 故直线到平面的距离为. （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，也即，令，则； 则有，也即，令，则， 则， 由图可知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点， 则，， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）在平面ACC1中过点作于，连接， 平面平面，平面平面， 平面， 选择条件①： 三棱锥的体积，， 在中，， 点为的中点，， 故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，平面平面，平面， 平面， 平面即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，， ， 显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为． 选择条件②： 与底面所成的角为，，， 点为的中点，， 故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，平面平面，平面， 平面， 平面即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，， ， 显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为． 选择条件③： ， 即为异面直线与所成的角，即， ，， ，即，， 故以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，平面平面，平面， 平面， 平面即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，， ， 显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$