空间向量和立体几何专题五 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题五 知识点一 证明线面垂直,锥体体积的有关计算,求二面角,面面角的向量求法 典例1、已知平行四边形，，，点是 的中点.沿把进行翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）点是的中点，棱上一点使得，求二面角的余弦值. 随堂练习：如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱上的一点，平面， 平面. （1）证明：平面；（2）已知平面平面，求二面角的正弦值. 典例2、如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB， AC，M为AC的中点. （1）证明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值. 随堂练习：如图，在四棱柱中，四边形和四边形都是矩形，，四 边形是一个边长为4的菱形，. （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值. 典例3、如图，在多面体中，，，，四边形是矩形，平面平面，. （1）证明：平面；（2）若二面角的正弦值为，求的值. 随堂练习：如图，多面体中，，，为的中点，四边形为矩形. （1）证明：； （2）若，，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 知识点二 线面角的向量求法,线面平行的性质 典例4、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱 的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知， 求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离. 条件①：； 条件②：平面； 条件③：. 随堂练习：如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，， M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 典例5、如图，在三棱柱中，，D为中点，四边形为正方形． （1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为 的中点，为上一点，平面. （1）求证：为的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 典例6、如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，，分别是， 的中点. （1）证明：平面；（2）若，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：异面直线与所成的角为45°； 条件②：是等腰三角形. 随堂练习：如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､ 条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 空间向量和立体几何高考复习专题五答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：在中，，，，由余弦定理知， ，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. （2）设是的中点，因为，，则为正三角形， 则，，且， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∴. 由题可知，，∴为正三角形，∴. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则， ，， ∵，∴，即，解得. ∴当点为棱的中点时满足题意，即， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，得， 又平面的一个法向量为， ∴， 由图可知，二面角为锐角，∴二面角的余弦值是. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）设，则为的中点.连结，则平面平面. 因为平面，平面，平面 平面= ，所以， 从而为的中点，因此. 因为平面，所以.因为，所以平面. （2）解法1： 以为坐标原点，为轴正方向，为单位长， 建立如图所示的建立空间直角坐标系，设. 则， ，故， . 设为平面的法向量则 即可取 设为平面的法向量，则即 可取. 由可得，所以. 设为平面的法向量，则，即 可取. 因为，所以二面角的正弦值为. 解法2： 在平面内过点作，垂足为，因为平面平面， 所以平面，故.由（1）及题设平面， 所以，又，因此平面，所以， 因此. 以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系， 可知，可得 设为平面的法向量，则 即{可取 设为平面的法向量，则， 即可取 因为，于是二面角的正弦值. 所以二面角的正弦值. 典例2、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）设，则 ，，平面 平面， 连接，，， ， ，即 又 ，平面ABC （2），以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设平面的法向量为，平面的法向量为 ，令，则 同理可得， 又二面角为钝角，故二面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）由矩形得，由矩形得.又， ∴平面.又平面，∴. 又∵四边形为菱形，∴，而，∴平面. （2）在菱形ABCD中，，， 由余弦定理可得，则， 于是均为正三角形，取的中点M，易得，且. 以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则取，得. 设平面的法向量为，则取，得. 设平面与平面的夹角为，则. 典例3、答案：(1)证明见解析. (2) 或. 解: (1)取的中点,连接. 由，，. 则为正方形.所以. 又平面平面，且平面平面. 平面,所以平面. 又平面.则. 又四边形是矩形，则,且. ∴平面. (2)由题目条件和（1）可知两两垂直. 故以点为原点，以分别为 轴，建立空间直角坐标系.如图. 设，则. 所以，,,,. 则,,. 设平面的一个法向量为. 所以，即 取 设平面的一个法向量为.所以，即取 二面角的正弦值为，则余弦值为. 即 ，解得：或 所以或. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）四边形为矩形，，又，为中点，； 平面，，平面， ，平面，又平面，， ，，平面，平面， 又平面，. （2），，，； 由（1）知：平面， （当且仅当时取等号）， 即时，三棱锥的体积最大， 又为中点，； 则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 由（1）知：平面，平面的一个法向量为； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 典例4、答案： （1）证明见解析 （2）答案见解析 解：（1）连接，交于，连接， 底面是正方形，故是的中点，又为棱的中点， 所以，在△中，而面，面， 所以平面. （2）选①：若分别是中点，连接， 由为棱的中点且底面是正方形，易知：， 又共线且，故， 所以为平行四边形，故，而，则， 在△中，垂直平分，故，即， 由，故， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 选②：平面，平面，则，为棱的中点， 在△中，垂直平分，故， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 选③：由平面，平面，则，又， 由，面，故面，面， 所以， 在中，，则，故， 又平面，则，在中，，即， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 随堂练习：答案： （1）见解析 （2）见解析 解：（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， （2）若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为，则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则. 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为，则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则. 典例5、答案： （1）证明见解析； （2） 解：（1）证明：取的中点，连接， 在三棱柱中，因为是的中点，所以，， 又因为平面，平面，所以平面，同理可得平面， 又由且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）若选条件①： 因为，，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示：因为且四边形为正方形， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 若选条件②：因为四边形为正方形且，可得， 又因为，所以， 由，所以， 以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示：因为且四边形为正方形，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）取的中点，易知. 因为平面,平面,所以平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 因为平面，且平面平面，所以. 因为为的中点，所以为的中点. （2）选择条件①：， 因为底面是边长为2的正方形，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 选择条件②：， 因为，,所以. 因为，,所以, 所以，即. 因为底面是边长为2的正方形，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 典例6、答案： （1）证明见解析 （2）答案见解析 解：（1）取的中点为，连接，，因为是的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 即，平面 而平面，所以平面. 因为，，且，平面， 所以， （2）又因为，所以分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系. 选择条件①，因为为异面直线与所成的角，即， 所以，， 设，则， 解得， 所以，， ，， 所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，即，所以. 选择条件②，设，则，，， 因为是等腰三角形，所以上式中只能，即， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即， 所以. 随堂练习：答案： （1）证明见详解 （2） （3）存在点； 解：（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面 所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下：因为平面平面，平面平面， 四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面， 又因为平面，所以，，所以， 又因为，所以，平面，，所以平面； （2）由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴， 建立空间直角坐标系，则，故，，设平面的方向量为，则，即，令，得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在设点，使得平面，则，因为平面，所以，，所以，，解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时. 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