空间向量和立体几何专题四 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题四 知识点一 证明线面平行,线面角的向量求法 典例1、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习： 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是， 的中点，若，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 典例2、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且 ，，点是的中点. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习： 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 与平面所成的角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：到平面的距离为1． 典例3、在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习： 已知底面为菱形的四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面 ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点. （1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立； ①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD. （2）若.求PB与平面PDC所成角的正弦值. 知识点二 证明线面平行,线面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，， M为PC的中点. （1）求证：平面PAD； （2）设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，，为 中点，___. （1）求证：四边形是直角梯形； （2）并求直线与平面所成角的正弦值. 从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例5、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC 上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E. （1）求证：； （2）若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：. 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，，， ，点，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 典例6、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB 的中点，______．从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分． （1）求证：四边形ABCD是直角梯形． （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． （3）在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的 中点. （1）证明:平面; （2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 空间向量和立体几何高考复习专题四答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）选①②：由，，，易知：， 又，，面，则面； 选①③：由，，，易知：. 又面面，面面，面， ∴平面 （2）由（1）知：，，又四边形是正方形，则， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， 设面的一个法向量为，则，即 令，则，，即， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）取中点，连接， 分别为中点，，； 四边形为矩形，为中点，，； 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 典例2、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF， 在中，∵EF是中位线，∴． 又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC． （2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图， 以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴 建立空间直角坐标系A-xyz． 则，，， ∴， 易知平面PAB的一个法向量为， 设直线CE与平面PAB所成角为， 则． ∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）取的中点为，连接. 分别是，的中点, . D是的中点， 直三棱柱， .，. 四边形为平行四边形. 又平面，平面，所以平面. （2）选择条件①：； 直三棱柱，平面，平面，， ，平面， 所以平面.而平面. 又，. 以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设为平面的一个法向量， 则， 即， 令，则，， 设直线DE与平面所成的角为，则 所以直线DE与平面所成的角的正弦值为. 选择条件②：； 取的中点为，连接. 直三棱柱，分别是，的中点, 平面，平面，， ，平面， 所以平面.而平面.. 分别是，的中点, ，. 以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设为平面的一个法向量，则 ，即， 令，则，， 设直线DE与平面所成的角为，则. 所以直线DE与平面所成的角的正弦值为. 选择条件③：到平面的距离为1． 过点作,垂足为， 直三棱柱， 平面，平面，， ，平面， 所以平面.平面.所以 由（1）知平面；因为到平面的距离为1， 所以.又，所以 又因为是的中点, ,所以是的中点, . 又，. 以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，， 设直线DE与平面所成的角为，则. 所以直线DE与平面所成的角的正弦值为. 典例3、答案：选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）. 解:方案一：选条件①. （1）∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面. 又，∴，，两两垂直. 以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. ∵，， ∴，. 又，∴平面. 又平面，∴平面平面. （2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为， 则. 方案二：选条件②. （1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交. 又，，，平面， ∴平面. 又，∴，，两两垂直. 以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. ∵，， ∴，. 又，∴平面. 又平面，∴平面平面. （2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为， 则. 方案三：选条件③. （1）∵平面，平面，∴. 又，，平面，， ∴平面. 又，∴，，两两垂直. 以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. ∵，， ∴，. 又，∴平面. 又平面，∴平面平面 （2）由（1）可得平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为， 则. 随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2） 解：（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD， 取的中点，连接， 所以，， ，所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面PFD. 选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点， 取的中点，连接， 所以，因为，所以， 即平面平面， 因为平面PFD，所以， 所以四边形是平行四边形，， （2）因为，所以 即F是AB的中点. 选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点， 取的中点，连接， 所以， 四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面PFD， 因为平面PFD，，所以平面平面， 平面，所以平面， 平面平面，所以， 因为是的中点，所以E是PC的中点. 取的中点，连接， 因为底面为菱形，，所以， 是边长为2的等边三角形，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面，以为原点， 分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 所以，，，， ，，， 设平面的法向量为，所以，即，令， 则， 所以， 设PB与平面PDC所成角的为， 所以. 所以PB与平面PDC所成角的正弦值为. 典例4、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）取PD的中点E，连接EM，AE，则且， 而，，则，又， 所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故. 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD. （2）当N为AE的中点时，面PBD，理由如下： 法一：面ABCD，面ABCD， ，又，，平面PAD， 所以面PAD，而面PAD，则， 又，E是PD的中点，即， 而，面ABME， 所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N， 所以，又，面PBD， 所以面PBD，易知：，而，， ，即，而， N为AE的中点时，面PBD. 作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角， 因为，， ，则. 即直线BN与平面AD所成角的正弦值为. 法二：易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1). 设，则，，. 因为平面PBD， 故，可得. ，又平面的法向量为， 设BN与平面ABCD所成角为，则. 即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）详见解析 （2）详见解析 解：选择① (1) 证明：如图所示 因为平面，所以， 又因为，所以 又因为，，即 又因为 所以平面，所以 又因为，所以 又因为 所以四边形是直角梯形. 选择②. 因为平面，所以， 又因为，所以 又因为，，即 又因为 所以平面，所以 又因为平面， 平面， 平面∩平面 所以， 又因为 所以四边形是直角梯形 选择①. (2)过作的垂线交于点，由题意易知，， 故以为坐标系原点，以、、为、、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由题意知，，，， 因为为的中点，由中点坐标公式知， 所以， ， 设平面的法向量为，则有，即， 令，得 设直线与平面所成的角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 选择②.解法同① 典例5、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）在三棱柱中，，又面，面， 所以平面，又面面，面， 所以. 选①②：连接，取中点，连接，. 在菱形中，所以为等边三角形. 又为中点，所以， 又面面，面面， 平面， 所以平面，平面， 故，又，所以. （2）以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，. 设面的一个法向量为，则，令，故. 又，设直线与面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 选②③：连接，取中点，连接，. 在菱形中，所以为等边三角形. 又为中点，故，且，又，. 所以，则. 又，面，所以面， 由平面，故，又，所以. 以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，. 设面的一个法向量为，则，令，故. 又，设直线与面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 选①③：取中点，连接，. 在中，因为，所以，且，. 又面面，面面，面， 所以平面，又平面，所以. 在中，，又，， 所以，则. 由，面，则面， 由平面，故，又，所以. 以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，. 设面的一个法向量为，则，令，故. 又，设直线与面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 所以，则，又平面 平面； （2）由（1）得，所以， 设直线与平面所成角为． ． 直线与平面所成角的正弦值为． 典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在， 解：（1）选择①：证明：平面，平面，，， 因为，， ，，， ，平面，平面， 平面，， ，， 四边形是直角梯形． 选择②：证明：平面，平面，，， ，，， ，， ，平面，平面， 平面，， ，四边形是直角梯形． （2）过作的垂线交于点， 平面，，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，2，，，0，，，，， 为的中点，，，， ，，，，2，，，2，， 设平面的法向量为，，，则，令，得，1，， 设直线与平面所成角为， 则，． 直线与平面所成角的正弦值为． （3）设，则，，，，， ，，， 平面，， ，解得． 故存在点F，且． 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） 解:（1）连接，交于，连接， 底面是菱形，为中点， 为中点，， 平面，平面，平面； （2）选①： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 底面是菱形，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； 选②： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 取中点，连接， 底面是菱形，，，平面，为的中点， ，平面，，， ， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$