空间向量和立体几何专题三 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题三 知识点一 线面垂直证明线线垂直,空间垂直的转化,已知线面角求其他量 典例1、四棱锥中，底面为梯形，，，，， 为直二面角． （1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度． 随堂练习：如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角 形，E，F分别是棱上的点，且满足． （1）求证：；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 典例2、在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，． （1）证明：； （2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为． 随堂练习：在如图所示的多面体中，平面，平面，，且， 是的中点． （1）求证：．（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是60°．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 典例3、如图（1），是中边上的高线，且，将沿翻折，使得平 面平面，如图（2）． （1）求证：；（2）图（2）中，是上一点，连接、，当与底面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值． 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别 为，的中点． （1）取的中点，连接，若平面平面，求证：； （2）已知，，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面 的夹角的余弦值． 知识点二 面面平行证明线线平行,面面角的向量求法,点到平面距离的向量求法 典例4、如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面. （1）求的长;（2）求二面角的余弦值. 随堂练习： 已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示. （1）若，求证：； （2）若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值. 典例5、如图，在正方体中，为棱的中点，棱交平面于点． （1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值． 随堂练习： 如图，三棱柱中，面面，．过 的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 典例6、已知是边长为4的等边三角形，E，F分别是，的中点，将沿着翻折，得到四棱锥，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面的距离. 随堂练习： 如图所示，在中，斜边，，将沿直线AC旋转得到， 设二面角的大小为． （1）取AB中点E，过点E的平面与AC，AD分别交于点F，G，当平面平面BDC时，求FG的长； （2）当时，求二面角的余弦值． （3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 空间向量和立体几何高考复习专题三答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）取的中点,连接，交于,连接,所以, 因为，，， 所以且, 所以四边形为菱形，所以, 因为，为的中点，所以, 所以为的二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以，即, 因为，，平面, 所以平面, 又因为平面，所以. 又因为为的中点，为的中点， 所以,所以； （2）由（1）知，，，，以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，由,得， 所以， 所以， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，， 设直线与平面所成角为，则， 因为直线与平面所成角的正弦值为，， 所以，解得， 由（1）知，为的中点，所以. 所以的长度为. 随堂练习：答案：（1）证明过程见解析； （2）存在，. 解：（1）设的中点为，连接， 因为是圆O的直径，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面， 所以； （2）连接，因为，所以， 因为为正三角形，的中点为， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 设平面的法向量为， ， 所以有， 所以，， 假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为， 所以有，或（舍去）， 即存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 典例2、答案：（1）证明见解析 （2）点F在PD的中点处 解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴ 取AB中点E，连接DE，∵， ∴，又∵，∴． ∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴， 又，PD面PAD， AD面PAD， ∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴ （2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴 建立如图空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)， 设平面PAB的一个法向量为， 则，则可取． 设点F的坐标是，则BF的坐标是(0,－,t)， 设BF与平面PAB所成的角为， 则 解得或 点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满足题意. 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）存在，为棱的中点. 解：（1）∵，是的中点，∴. 又平面，∴. ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，∴． （2）以为原点，分别以，为x，y轴，如图建立坐标系. 则：，，，，， ，，，. 设平面的一个法向量，则：， 不妨取，，，所以. 假设在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是60°， 设且，，∴， ∴，，， ∴， 若直线与平面所成的角为60°， 则：，解得. 即点为棱的中点 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是60°. 典例3、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：由图（1）知，在图（2）中，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ； （2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设则，，，， 设，由，，可得， 又平面的一个法向量为，， 由与底面所成角的正切值为，可得， ，解得， ， 设平面的法向量为，，， 由可取， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 又平面，平面，所以， 由于是平面内的相交直线， 所以平面， 由于平面，所以. （2）由于，，所以， 所以，由于平面，平面， 所以，即两两垂直. 以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系． 设，则，，， 故，， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，则，，故， 易得平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）在上取一点，使得，连接. 由已知得 ，所以 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面 ，平面， 所以平面平面. 平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质可知. 在矩形中，可得， 所以，所以. （2）以为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 则. ，， 设平面的法向量为 ， 则，所以，取得 设平面的法向量为， 则所以取，得 所以 结合图可知二面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴， 由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴， 又，BD，平面BDG， ∴平面BDG，因为平面BDG，∴ 已知，又，AC，平面ACE， ∴平面ACE， 因为平面BDG，∴平面平面CFGD 平面平面，平面平面， ∴，则 （2）已知，，可求， 由，则 在直四棱柱中，底面ABCD， 所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则 在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则 设平面BCE的法向量为， 则 取，得，，得， 由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为 则， 所以锐二面角的余弦值为 典例5、答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 解：（1）在正方体中，平面. 因为平面，所以． 又因为是正方形，所以． 又因为，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）在正方体中，平面平面. 又平面平面，平面平面，则． 又因为且，所以是平行四边形．所以． 所以. （3）因为底面，，所以两两垂直. 以所在直线分别为 轴、轴和轴，建立空间直角坐标系．设正方体边长为， 则， ，，． 设平面的一个法向量为， 由得 令， 得. 因为平面，所以是平面的一个法向量 所以． 由图可知，二面角的余弦值． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）在三棱柱中，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，于是得， 而平面平面，平面平面，平面平面， 则，所以四边形为平行四边形. （2）在平面内过点A作，因平面平面，平面平面， 于是得平面，又，以点A为原点，建立如图所以的空间直角坐标系， 因，，则， ， ， 设平面的法向量，则，令，得， 点B到平面的距离，解得， 因此，，而，设直线与平面所成角为， 于是得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 典例6、答案： （1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）在中，E，F分别是，的中点，所以. 在四棱锥中，因为，平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）在四棱锥中，取的中点O，的中点D，连结，， 因为，，又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. 以点O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，. 设是平面的一个法向量， 则，令，得，，即， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2），点C到平面的距离. 随堂练习：答案：（1）1；（2）；（3）不存在. 解:（1）如图所示： 因为平面平面BDC，平面平面BDC=BD，平面平面EFG=EG， 所以， 因为E为AB的中点，所以G为AD的中点， 同理可证F为AC的中点， 所以， 在中，斜边，， 所以，即， 所以； （2）过点B作，连接DO，则，面， 因为，则平面平面ABC，因为平面平面ABC=AC， 所以平面ABC， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系； 在中，斜边，， 所以， 则， 所以 ， 设平面BCD的一个法向量为， 则，即， 令 ，得 ，则， 因为平面ACD， 所以是平面ACD的一个法向量， 所以. 即二面角的余弦值是． （3）假设存在，则，， ， 解得，则， 因为， 所以不存在，使得. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$