空间向量和立体几何专题二 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题二 知识点一 证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法 典例1、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点. （1）求证:; （2）求二面角的大小. 随堂练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且． （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 典例2、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，， ，是上一点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 随堂练习：在四棱锥中，，，，，且， ，平面平面. （1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值. 典例3、如图，在四棱锥中，平面，，且，，，， ，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 随堂练习：如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面 与平面的交线为. （1）证明∥平面BCM （2）已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长. （3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值. 知识点二 求点面距离,面面角的向量求法 典例4、如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，. （1）求点A到平面SBC的距离；（2）求二面角的大小. 随堂练习：如图，在长方体中，，，为的中点． （1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值． 典例5、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点等腰直角三角形. （1）证明M是BC中点；（2）求二面角的大小；（3）直接写出点C到平面的距离. 随堂练习：如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点. （1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成角的余弦值. 典例6、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 随堂练习：如图，平面，，，，， 点，，分别为，，的中点． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 空间向量和立体几何高考复习专题二答案 典例1、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）依题意，平面，如图，以为原点， 分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意，可得，， ， ，即； ∵，为的中点，∴ （2），平面, 平面，故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， ， 即， 令，得，故. ， 由图可得二面角为钝角， 二面角的余弦值为，则二面角的大小为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 2（2） 解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E， 因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以． 又因为，所以，所以在平面PAE中，， 又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． （2）连接AC交BD于点O，连接PO， 因为正四棱锥P−ABCD，所以平面ABCD， 又OA，平面ABCD，所以，， 又正方形ABCD，所以． 以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以，则，， 设平面AMN的法向量为，则， 取，； ，， 设平面PBC的法向量为， 则 取，； 所以， 设平面AMN与平面PBC所成的二面角为， 则， 所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为． 典例2、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：过点作，交于点， 则，即， 因为，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）由题意以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 即，， 令，，则，， 设二面角为， 所以，即， 所以二面角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）设点满足，即，结合条件， 即，，即； 由条件，即，可得：，显然线段不共线， 从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面， 平面，故可得：//平面 （2）过点作作的垂线，垂足为，平面， 平面平面，平面平面，可得：平面 ∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：， 根据上述分析可得：，从而可得：. 综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴， 方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，， ，，， 设平面的法向量为，则可得：， 即有，令，可得； 平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为. 可得：，结合图形可知是锐二面角， 从而可得二面角的余弦值为 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， （2）故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以∥平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为平面 ，平面，所以∥平面 （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，则有，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为，则 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以， 解得.所以. （3）由（2）可知平面的一个法向量为 因为是线段的中点，所以 于是，，设平面的法向量 则，即.令，得，， ，所以二面角的正弦值为. 典例4、答案：（1）；（2）. 解:（1）设点A到平面SBC的距离为，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以点A到平面SBC的距离为， （2）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的大小为 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）. 解:（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 因为， 所以． （2）由（1），得，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 则点到平面的距离． （3）因为，所以． 由（1）可知，且， 所以平面，即是平面的一个法向量． 由（2）得是平面的一个法向量， 所以． 又二面角的平面角是锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为 典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，， 又是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 且 ，面 面， 面， ， 底面是边长为2的正三角形， 点为中点． （2）过作，交于． 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 由（1）知，，，， ，则、，，， 所以，，， 设面的一个法向量为， 则，取，得， 令面的一个法向量为， 则，令，则 设二面角的大小为，由图知为锐角， 故，解得． 故二面角的大小为． （3）过点作，由（1）知且，平面， 平面， 在平面内， ， 又，平面， 平面 由（1）知，，，， ， ， 点到平面的距离为． 随堂练习：答案：（1）；（2）. 解:（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面， 又由是等边三角形，所以两两垂直， 以分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 因为三棱柱的棱长都是2，所以得， 可得，所以， 在平面中，， 设法向量为，则有，可得， 取，可得，所以平面的一个法向量为， 记点到平面的距离d，则. （2）在平面中，， 设法向量为，则有，可得， 取，可得，所以， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值. 典例6、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）． 解:（1）证明：∵四边形为直角梯形，四边形为矩形， ∴，， 又∵平面平面，，且平面平面，∴平面 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，． ∵，， ∴为平面的一个法向量． 又， ∴，即平面． （2）由（1）知， 由（1）知，， 设平面的一个法向量， 则，∴， ∴平面AEF的一个法向量， 则， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （3）由（1）知，又平面的一个法向量， 所以点到平面的距离． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）； （3）. 解：（1）证明：连接，，， ， 又，四边形为平行四边形. 点， 分别为，的中点， ，. ，，为的中点， ，, ，. 四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. （2）平面，，可以建立以为原点， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 依题意可得，，，，，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即. 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角为. （3）设，即， 则，所以. 由知平面的法向量为， 由题意可得， 即，整理得， 解得或. 因为，所以. 所以，， 则. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$