空间向量和立体几何专题讲义——2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题一 知识点一 求点面距离,面面角的向量求法 典例1、如图，在长方体中，，，点E是棱AB的中点． （1）证明：； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 随堂练习：如图，在长方体中，，，E、M、N分别是、、 的中点. （1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离； （3）设P为边上的一点，当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角 的余弦值. 典例2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为. （1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值. 随堂练习：如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值. 典例3、如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）求点到平面的距离；（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角的余弦值为时，求二面角的余弦值． 随堂练习：如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，， ，平面平面，，. （1）从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证：平面PAB； 条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点. （2）若点M在棱PD（含端点）上运动，当为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为. 知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面角的向量求法 典例4、如图，四边形是菱形，，平面，，． （1）证明：． （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 随堂练习：如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 典例5、已知四棱锥中，，，，，，面 面ABE，. （1）求证： （2）求面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，， ，，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 典例6、如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面. （1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 随堂练习：如图，直三棱柱，. （1）证明：；（2）设为的中点，，求二面角的余弦值. 空间向量和立体几何高考复习专题一答案 典例1、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）. 解:（1）由长方体性质知：面，面，则， 又，则为正方形，即，而， ∴面，而面， ∴. （2）由题设，，则， 由，且E是棱AB的中点，则，即， 若E到平面的距离为，则，可得. （3）构建如下图示的空间直角坐标系，则， ∴，若是面的法向量， ∴，令，则， 又是面的一个法向量， ∴，则锐二面角的余弦值. 随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）；（3）. 解: （1）证明：连接，，如图， 因为E、M分别是、的中点，所以且， 又N是的中点，所以， 结合长方体的性质可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，，为长方体， E、M、N分别是、、的中点， 所以，，， 所以为等腰三角形，其底边上的高为， 所以， 设点C到平面的距离为，则， 又， 所以，解得， 所以点C到平面的距离为； （3）连接，如图， 由平面可得即为直线与平面所成角， 又，所以, 分别以、、作为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令则， 得平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）1. 解：（1）证明：连接交于点，连接，易知为中点， 在中，，分别为，中点， ∴为的一条中位线， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）过点作交于点，则点到平面的距离，即点到平面的距离， ∵平面，平面， ∴， 又，，平面，平面， ∴平面，则点到平面的距离即为的长度， 在中，，，故， 又，故，则， ∴， ∴， ∴，即点到平面的距离为. （3）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（2）可得，，，， ∴，，，， 设平面的一个法向量为，则，则可取， 设平面的一个法向量为，则，则可取， ∴， ∴二面角的正弦值为1. 随堂练习：答案： （1）；（2）. 解：（1）取的中点，连结，则平面， 是等边三角形，， 以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，0，，，，，，0，， ，，，，0，，，0，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，0，， 点到平面的距离为. （2），，，，0，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，，， ，， 二面角的余弦值为. 典例3、答案：（1）；（2）． 解:（1），由于平面， 从而即为三棱锥的高，故． 设点到平面的距离为． 由平面得，又由于，故平面，所以． 由于，所以．故． 因为，所以． （2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，． 设， 因为，所以， 由，得， 又， 从而． 即时，． 又因为，所以． ，， 设平面的一个法向量为， 则，， 即得：，令，则． 所以是平面的一个法向量． 又，， 设平面的一个法向量为， 则，， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 从而， 由图知二面角为钝角故二面角的余弦值为-． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为， 所以平面∥平面， 又因为平面，所以∥平面PAB. 若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥， 因为平面，平面，平面，平面， 因为，所以平面∥平面PAB， 又因为平面EFG，所以∥平面PAB. 取AB中点为O，连接PO，CO， 因为，所以， 又因为平面PAB，平面平面ABCD，平面平面 所以平面ABCD， 又因为，，，所以， 又因为，，为AB中点，所以，， 又因为，所以四边形OADC为矩形，所以， 故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间 直角坐标系如图，则，，，，所以， 又因为M在PD上，所以存在，使，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 设平面PAD的法向量，则，所以，取，则. 所以. 设直线CM与平面PAD所成角为， 则， 故，所以或， 又因为，所以， 即. 典例4、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 又平面，所以． 因为，所以平面． 又，所以平面就是平面， 因为平面，所以． （2）设，相交于点O，以O为坐标原点， ，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设， 则 设平面的法向量为，，， 则，取，可得． 取的中点G，连接．易证平面平面， 因为是正三角形，所以， 从而平面，即是平面的一个法向量． 因为，，所以， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 随堂练习：答案：（1）证明见解析; （2）. 解：（1）取中点，连接，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以. 因为是等边三角形，所以. ，平面，平面， 所以平面. 因为平面，故. （2）在中，，，，由余弦定理可得， ，故. 如图，以，及过点垂直于平面的方向为，，轴的正方向 建立空间直角坐标系， 可得，所以，，， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，可得. 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，可得. 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 典例5、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：过C作交AB于G，连接， ∵面面ABE，且AB为交线，平面， ∴面ABE， 又平面，∴， ∵，∴， 即， 即， ∴，即， ∵平面， ∴面ABCD， 又平面，∴； （2）过D作交AB于O， ∴，∴面ABE， 由（1）得， 以O为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 由，，得，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设面ADE，面BCE的法向量分别为，， ∴，即，令，则， ，即，令，则， ∴， ∴面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）． 解：（1）证明：∵，， ∴，，又，， ∴，且四边形为直角梯形，，则， ∴， ∴，∴， 又∵平面，平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面AOP，∴． （2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ，则，，． 易知平面的法向量为． 设平面的法向量为， ∵，， 由，有， 令，从而，，∴． 设二面角的平面角为，则， 即二面角的余弦值为． 典例6、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）设，则中点为M，且 ∵平面平面且交线为，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又直三棱柱，∴， ∵平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）由（1）知平面， 所以直线与平面所成的角为， 不妨设 以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，， 设平面的法向量为 ，故可设， 设平面的法向量为， ，故可设， 设平面与平面所成锐二面角为， ∴. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）直三棱柱， 平面，并且平面 ， 又，且，平面 平面， 又平面， . （2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系， 如图，则，所以的中点，则，，， 设平面的一个法向量，则，可取， 设平面的一个法向量，则，可取， 则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$