专题5-1 概率问题综合（概率性质，古典概型，相互独立）（七大题型）-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题5-1 概率问题综合 知识点梳理 1 题型一 事件的关系及运算 4 题型二 古典概型的概率求解 5 题型三 相互独立事件的概率计算 6 题型四 相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 9 题型五 概率的基本性质及其应用 10 题型六 游戏的公平性问题 11 题型七 古典概型综合大题专练 12 知识点梳理 1、事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 2、古典概型 1．古典概型的判断 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 3、事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 4、互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 5、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 题型一 事件的关系及运算 【例题讲解】 1． 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 2． 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【巩固练习】 3． 掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 4． （23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 5． 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 题型二 古典概型的概率求解 【例题讲解】 6． 已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 7． 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【巩固练习】 8． 继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 9． 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 10． 已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 11． （多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 相互独立事件的概率计算 【例题讲解】 12． 甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（    ） A． B． C． D． 13． 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 14． 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【巩固练习】 15． 小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 16． 甲、乙二人进行一次乒乓球比赛，约定先胜3局者为胜方，比赛结束．假设在每一局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各局比赛结果相互独立，那么在前2局比赛中甲、乙各胜1局的情况下，甲为比赛胜方的概率为（   ） A．0.156 B．0.504 C．0.648 D．0.792 17． 2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 题型四 相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 【例题讲解】 18． 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件A与事件不独立 C．当时， D．当时，事件A与事件不独立 19． （多选）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 20． （多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【巩固练习】 21． （多选）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（    ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 22． （多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 23． 一次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 题型五 概率的基本性质及其应用 【例题讲解】 24． 已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 25． 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 26． 已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 27． 已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 28． 若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ①②③④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 29． （多选）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是 A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 题型六 游戏的公平性问题 【例题讲解】 30． （多选）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 31． 一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【巩固练习】 32． 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 题型七 古典概型综合大题专练 【例题讲解】 33． 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，求；(2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； (3)用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率． 34． 随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差； (2)该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率． 【巩固练习】 35． （22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-1 概率问题综合 知识点梳理 1 题型一 事件的关系及运算 5 题型二 古典概型的概率求解 6 题型三 相互独立事件的概率计算 9 题型四 相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 12 题型五 概率的基本性质及其应用 17 题型六 游戏的公平性问题 19 题型七 古典概型综合大题专练 21 知识点梳理 1、事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 2、古典概型 1．古典概型的判断 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 3、事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 4、互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 5、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 题型一 事件的关系及运算 【例题讲解】 1． 从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 2． 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误 【巩固练习】 3． 掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 4． （23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 5． 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 题型二 古典概型的概率求解 【例题讲解】 6． 已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解. 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 7． 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 【巩固练习】 8． 继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ． 【答案】/0.3 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为 ， 共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以. 9． 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】根据古典概率模型直接求解即可. 【详解】记“从5张卡片中任选2张，其上数字之和为偶数”为事件A, 则样本空间：， 共10种情况， 事件A所包含的基本事件有：共4种情况， 所以. 10． 已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【答案】 【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果. 【详解】因为， 所以 11． （多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，列举法找到所有可能情况，由古典概型的概率计算公式分别计算. 【详解】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为， 则样本空间为，则， 事件表示“两枚骰子的点数之和为”， ， 所以，故A错误； 事件表示“红色骰子的点数是偶数”， 所以，故B正确； 事件表示“两枚骰子的点数相同”， ， 所以，故C正确； 事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”, ， 所以，故D正确. 题型三 相互独立事件的概率计算 【例题讲解】 12． 甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】 根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式求得没有人解对的概率，再结合对立事件的概率公式，即可求解． 【详解】 由甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，， 可得没有人解对的概率为，故至少有人解对的概率是. 13． 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 14． 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，. 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则. 【巩固练习】 15． 小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【分析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解. 【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况， 即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中， 因此恰有1次命中的概率为 16． 甲、乙二人进行一次乒乓球比赛，约定先胜3局者为胜方，比赛结束．假设在每一局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各局比赛结果相互独立，那么在前2局比赛中甲、乙各胜1局的情况下，甲为比赛胜方的概率为（   ） A．0.156 B．0.504 C．0.648 D．0.792 【分析】由题意，只需后续比赛中甲先胜两局即可，据此根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【详解】用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），表示事件“甲为胜方”. 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而，由于各局比赛结果相互独立， 所以 17． 2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）． 满意度评分 频数 2 8 14 10 6 表2 满意度评分 低于70分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 (1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由. (2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率 【分析】 （1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案. （2）确定，，得到，计算得到答案. 【详解】（1），， 地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为， 故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大． （2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”， 则． 事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立， ， 记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”， 则. 题型四 相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 【例题讲解】 18． 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件A与事件不独立 C．当时， D．当时，事件A与事件不独立 【答案】D 【分析】首先，列出和事件，再求概率，然后根据与的关系，判断两个事件是否独立. 【详解】当时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种， 且，,，，，， 所以，故A正确； ，所以事件A与事件不独立，故B正确； 当时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)， (正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)， (反，反，反)，共8种， ，，，， 所以，故C正确； ，，，，所以事件A与事件独立，故D错误. 19． （多选）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 【答案】ACD 【分析】根据根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可. 【详解】由题意知，， ， ． 对A：∵，∴与相互独立，故A正确． 对B：∵，∴与不相互独立，故B错误． 对C：∵，∴与不相互独立，故C正确． 对D：∵，∴与不相互独立，故D正确． 20． （多选）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可. 【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、， 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 事件包含的基本事件有、，则； 显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生， 故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误； 事件包含的基本事件有、、， 事件包含的基本事件有， 当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥， 显然不对立，故B错误； 又事件包含的基本事件有，所以， 所以，故C错误； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立； 即事件、、两两独立，故D正确. 【巩固练习】 21． （多选）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（    ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 【答案】BCD 【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，有3个， 所以，故A错误； 事件发生包含的基本事件：，，，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确； 事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确； 事件发生包含的基本事件：有个，， 因为，所以与相互独立，故选项D正确 22． （多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可. 【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥， 第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确； 对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 若第一次的点数为2，第二次的点数3点， 则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件， 事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故， 事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 所以，则与相互独立，故D正确. 23． 一次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“ ”包含的样本点有： ，，，，，共个； 事件 “ ”，包含的样本点有： ， ， ， ，，，，，共个， 事件 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误； 因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则， 又 ， ，所以， 所以与不相互独立，故A错误； 又事件包含的样本点有： ，，共个， 所以 ， ，则 ， 所以 与 相互独立，故C正确； 事件包含的样本点有：， ， ，，，共个， 因为，所以 与 不相互独立，故D 错误． 题型五 概率的基本性质及其应用 【例题讲解】 24． 已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】 先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】 ∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴ ． 25． 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【分析】 利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得. 【详解】由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得， 又和对立，可得，解得. 26． 已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式判断A、C，根据积事件的概率公式判断D，根据相互独立事件的概率公式判断B. 【详解】对于A，因为，由， 只能得到，并不能得到，故A错误； 对于B，由于不能确定，，是否相互独立， 若，，相互独立，则，， 则由可得， 故由无法确定，故B错误； 对于C，因为， ， 由，只能得到， 由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C错误； 对于D，因为，， 又，所以，故D正确 【巩固练习】 27． 已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 28． 若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【分析】 根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④． 【详解】 事件为两个互斥事件，，，故①正确； 事件为两个互斥事件，则，，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 综上，①③④正确 29． （多选）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【答案】AD 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 题型六 游戏的公平性问题 【例题讲解】 30． （多选）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（    ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案. 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利 31． 一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 【巩固练习】 32． 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 题型七 古典概型综合大题专练 【例题讲解】 33． 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，求； (2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； (3)用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率． 【分析】（1）由直方图矩形面积和为1可得值； （2）由每组数据中点值乘以相应频率再相加可得； （3）确定5人中分别在两个区间的人数并编号，用列举法写出样本空间，然后由概率公式计算概率． 【详解】（1）根据频率分布直方图可知； （2）平均成绩为； （3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙 对应的样本空间为：,(,甲),(,乙),(,丙),(,甲),(,乙),(,丙), (甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10个样本点． 设事件“两人来于”， 则 (甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3个样本点． 所以． 34． 随着生活水平的提高，人们对零食的需求也在增加，特别是对于青少年消费者，零食已经成为他们日常消费的一部分，人们消费观念的转变促使零食集合店迅速扩张，截至2023年年底，中国零食集合店已突破2万家．某传媒公司为了了解青少年消费者对甲、乙两家零食集合店的满意程度，随机统计了10名青少年消费者对这两家零食集合店的打分（满分10分），结果如下： 消费者编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲 6 10 7 9 6 5 6 8 8 5 乙 5 9 5 4 5 7 10 9 8 8 (1)求这10名青少年消费者对甲、乙两家零食集合店打分的平均数及方差； (2)该传媒公司计划从这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者中随机选取2人，谈谈如何提高青少年消费者对零食集合店的满意度，求选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的概率． 【分析】（1）由平均数及方差公式，代入数据计算可得； （2）先求出所有可能的情况种数，再求出选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分的事件种数，由古典概型公式即可求得. 【详解】（1）， ， ， ． （2）这10名青少年消费者中给甲或乙零食集合店打分不超过5分的消费者的编号分别为01，03，04，05，06，10，共有6人， 从中随机选取2人，所有可能的情况有，，共15种， 设事件为“选取的2人中至少有1人给甲零食集合店打分不超过5分”，则事件包含的情况有，共9种， 所以所求概率． 【巩固练习】 35． （22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解. （2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解. （3）先根据分层抽样的方法确定位于分组，和的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以，解得. （2）因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以第75百分位数落在. 设第75百分位数为m， 由，解得， 故第75百分位数为84， 所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟. （3）由题意，阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为， 则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为. 则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点. 设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”， ，含有6个样本点. 所以，所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$