第三单元倍数与因数（讲义）-2023-2024学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 【趣味导入】 同学请看老师是手中有一个长为20cm的正方形卡纸，请问同学们你们能够把这张卡纸卡纸全部分完成大小相同的小长方形吗？能分多少个？有多少种分法？你们是怎样分的？，，，，，，，怎么分成大小相同的小长方形是这节课我们将要学习的新内容——倍数与因数 【教学目标】 1、通过探究与学习，使学生系统掌握“倍数与因数“单元的有关概念,知道各个概念表示的含义，建立一定的数感。  2、引导学生将所学知识进行整理，他们初步归纳整理知识的能力，并通过整理知识了解数学知识间的紧密联系。  3、能灵活用这部分知识解决生活中的实际问题，体验数学和日常生活密切相关。 4、通过合作交流等活动培养学生思维能力、说理能力，使学生感受到学习的快乐，使每个学生得到不同的发展。 【精讲精练】 考点1 因数和倍数的意义 【知识要点】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立，反过来说，我们称n为m的倍数。 （简而言之，大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。） 【典型例题】 【例题1】属于因数和倍数关系的等式是（ ） 【例题2】 【例题3】 【变式训练1】1，在等式5×8＝40中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ） 倍数。 2，在6和36中，_____是_____的倍数，_____是_____的因数。 3， 4，关于3，4和12之间的关系，下列说法正确的是（ ） 5，一个数它既是18的因数，又是18的倍数，这个数是（ ） 【例题4】在横线里填因数或倍数。 【例题5】（1）一个数是18的倍数，又是18的因数，这个数多少？ （2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？ （3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多少？ 【变式训练2】1， 2， 考点2求一个数的因数 【知识要点】 1，分解质因数：质因数是一个数的因（约）数，同时又是质数，同时满足这两个条件的数就叫做这个数的质因数 例如：24的质因数有：2，2，2，3，那么24的因数就有1,2,3,4,6,8,12,24 2，找配对，例如24=1×24，2×12，3×8，4×6，同样那么24的因数就有1,2,3,4,6,8,12,24 3，末尾是偶数的数是2的倍数 4，各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数，9的道理和3的一样。 5，最后两位数能被4整除的数是4的倍数 6，最后一位是 5或0的数是5的倍数 7，最后3位数能被8整除的数是8的倍数 8，奇数位上数字之和与偶数位上数字之和能被11整除的数是11的倍数，注意“0”可以被任何数整除 【典型例题】 【例题1】从18的因数中选4个数，组成一个比例是_____________ 【例题2】下面的数，因数个数最少的是（ ） A 16 B 36 C 40 【例题3】32的所有约数之和是（ ） A 30 B 62 C 63 【变式训练1】1，已知自然数a只有两个因数，那么5a最多有（ ）个因数 A，2 B ,3 C， 4 D ， 5 2，48的因数有____________________________，在这些因数中，质数有__________，合数有________，奇数有_______，偶数有___________。 3、 快来帮我找朋友。 2， 3， 4， 6， 8， 12， 24， 36， 30， 42， 72 6的倍数 24的因数 【例题4】幼儿园有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 【例题5】小明家有三种塑料桶，分别是5千克装，10千克装，2千克装，小明妈妈买了75千克豆油，选哪种塑料桶能正好把豆油装完？需要这样的桶多少个？ 【变式训练2】1，48名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种不同的排法。请分别写出来。（至少写出5种） 2，幼儿园大班李有20个以上小朋友，杨老师拿了75颗糖果平均分给他们，正好分完，猜一猜，小朋友可能有多少个？ 3，货场有96吨煤，现在有三种不同载重量的卡车，用哪一种卡车正好可以装完？为什么？ 考点3求一个数的倍数 【知识要点】 1，找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1,2,3,4,5,6.......一个数的倍数的个数是无限的 2，一个数的只有最小倍数即是它本身，没有最大倍数 3，末尾是偶数的数是2的倍数 4，各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数，9的道理和3的一样。 5，最后两位数能被4整除的数是4的倍数 6，最后一位是 5或0的数是5的倍数 7，最后3位数能被8整除的数是8的倍数 8，奇数位上数字之和与偶数位上数字之和能被11整除的数是11的倍数。 【典型例题】 【例题1】 【例题2】 【例题3】 【变式训练1】 1， 2， 3，小路的一边从一端种树，每隔4米种一棵，需种37棵树，如果改为每隔6米种一棵，可以有多少棵树不动。 5，用3,4,5这三个数组成的三位数，是5的倍数的有（ ）个 6， 【例题4】猜电话号码 【例题5】 【变式训练2】 1，请从7，5，2这3张卡片中任选2张组成一个5的倍数，一个3的倍数，一个2的倍数，一个含有因数3,5的数。 2，从1,5,6三个数中选择一个数字填入横线里，使它组成的数字符合题目的要求 3， 4， 考点4公倍数和最小公倍数 【知识要点】 公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，这些公倍数中最小的数就称为这些整数的最小公倍数 【典型例题】 【例题1】 【例题2】 【例题3】 【变式训练1】 1， 2， 3， 4， 5， 【例题4】一盒糖果，无论每次数5粒还是6粒，都能正好数完，把这盒糖果平均分给10个小朋友，能正好分完吗？ 【例题5】甲，乙，丙三个数，甲和乙的最小公倍数是12，乙和丙的最小公倍数是15，那么甲，乙，丙三个数的最小公倍数是多少？ 【变式训练2】 1， 2， 3， 5 考点5因数，公因数，最大公因数 【知识要点】 概念：给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数，而这些公因数中最大的那个成为这些正整数的最大公因数。 【典型例题】 【例题1】 【例题2】 【例题3】 【例题4】 【例题5】 【变式训练】 1， 2， , 3， 5， 6 7， 考点6最大公因数与最小公倍数 【知识要点】 1，求最大公因数的方法： 方法1：分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘 方法2：用短除法，写短除法算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了 例子： 2，求最小公倍数的方法： 方法1：分解质因数法，先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数 方法2：短除法，与求最大公因数方法一样，只是最后一步除了把全部被除数乘起来之外，还要把剩余的质因数也要相乘。 例子： 【典型例题】 【例题1】求下面每组数的最大公因数 18和5 111和74 14和56 【例题2】 【例题3】 【例题4】 【例题5】按要求填空 【例题6】 【例题7】 【变式训练】 1， 2， 3， 4， 5， 6 7， 8，求下面各组数的最大公因数。（用短除法） 3和22 17和68 58和64 80和16 45,56和64 【单元测试】 一、填空（15 分） 1、.在 18÷3=6 中，( )和( )是( )的因数。 3×9=27 中，( )是( )和( )的倍数。 2、2 的所有因数有（ )，从小到大 15 的 5 个倍数是( )。 3、7 是 7 的( )数，也是 7 的( ）数。 4、在 15、18、25、30、19 中，2 的倍数有( )，5 的倍数有( )，3 的倍数有( ），既是 2、5 又是 3 的倍数有( )。 5、一个数的最大因数是 12，这个数是（ ），一个数的最小倍数是 18，这个数是（ ） 。 6、在 20 以内的自然数中，是奇数又是合数的数是（ ） 。 7、一个数既是 25 的倍数，又是 25 的因数，这个数是（ ） 。 8、质数 a 有（ ）和（ ）两个因数。 9、最小的质数和最小的合数的积是（ ） 。 10、10 以内，所有质数的积是（ ）。 11、30 的因数中，最小的是( ),最大的是( )。 12、在 1-20 的自然数中最小的奇数是（ ） ，最小的偶数是（ ），最大的奇数是（ ） 13、如果 a 是偶数，那么与它相邻的两个数是（ ）和（ ），这两个数是（ ）数。 二、判断（对的打“√”错的打“×” ） （10 分） 1、1 是奇数也是质数。 （ ） 2、所有的偶数都是合数。 （ ） 3、18 的因数有 6 个，18 的倍数有无数个。 （ ） 4、一个数是 6 的倍数，这个数一定是 2 和 3 的倍数。 （ ） 5、两个奇数的和是偶数，两个奇数的积是合数。 （ ） 6、因为 21÷7=3，所以 21 是倍数，7 是因数。 （ ） 7、一个自然数越大，它的因数个数就越多。 （ ） 8、连续三个自然数的和一定是 3 的倍数。 （ ） 9、 一个数的倍数总比它的因数大。 （ ） 10、一个自然数不是质数就是合数。 （ ） 三、选择（将正确的序号填在括号里） （10 分） 1、13 的倍数是（ ） ① 合数 ②质数 ③可能是合数，也可能是质数 2、2 是（ ），但不是( ）。 ① 合数 ② 质数 ③ 偶数 3、4 的倍数都是（ ）的倍数。 ① 2 ② 3 ③ 8 4、甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（ ） ① 倍数 ② 因数 ③ 无法确定 5、如果□37 是 3 的倍数，那么□里可能是( )。 ① 2、5 ② 5、8 ③ 2、5、8 6、如果用 a 表示非零自然数，那么偶数可以表示为（ ）。 ①a+2 ② 2a ③a-1 ④2a-1 7、一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是（ ）。 ① 合数 ② 奇数 ③ 质数 8、相邻两个自然数的积一定是（ ） ① 质数 ② 合数 ③ 奇数 ④偶数 9、已知数 b 是 1 的因数，那么 b（ ） ， ① 一定是 1 ② 一定不是 1 ③无法确定 10、从 256 里至少减去（ ），才能使得到的数同时是 2、3 和 5 的倍数。 ① 6 ② 16 ③ 26 ④ 36 四、写一写。 （一）用 2、5、0、6 四个数中，选择两个数组成两位数。 （6 分） 1. 组成的数是偶数。 （ ） 2. 组成的数是 5 的倍数。 （ ） 3. 组成的数既是 2 和 5 的倍数，又是 3 的倍数。 （ ） （二）按要求在□里填数： （8 分） 1. 3□6 是 3 的倍数，□里最大填（ )。 2. 17□是 2 的倍数，□里最大填( ） 。 3. 25□是 3 和 5 的倍数，□里最大填( )。 4. 81□是 2、3 和 5 的倍数，□里最大填( )。 （三）在括号里填上合适的质数： (6 分) 20 =（ ）+（ ） =（ ）+（ ）+ （ ） 39 =（ ）+（ ）=（ ）-（ ） （四）分一分 （8 分） 1、4、5、11、18、23、45、73、128、116、417、87、2001、345 合数 质数 偶数 奇数 （五）写出因数与倍数。 （6 分） 24 的全部因数： 100 以内所有的 8 的倍数： 既是 24 的因数又是 8 的倍数： （六）判断下列算式的结果是偶数还是奇数（4 分） 456+782（ ） 1025+6487（ ）104+513（ ）15+16+17+18（ ） 五、猜猜我是谁？（6 分） 1.一个数既是 36 的因数，又是 6 的倍数。这个数可能是几？ 2.我是一个奇数是一个两位数，十位数字与个位数字的积是 2，猜猜看我是几？ 3.我和另一个数都是质数，我们的和是 25，我们是几？ 六、解决问题：(21 分) 1.货场有 96 吨煤，现有三种不同载重量的卡车， 用哪一种卡车正好可以装完？为什么？ 1 号车 2 号车 3 号车 2吨 3吨 5吨 2.一个长方形周长是 16 米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？ 3.小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是 48 岁，他们中最小的是多少 岁？最大的是多少岁？ 4.晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了 5 下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了 50 下呢？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$