江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期高考考前数学热身试卷

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024第二学期高三数学考前热身 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为 （ ） A. B. C. D. 2．若函数在区间上单调递减，且，.则 （      ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为 ( ) A． B． C． D． 4．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 5．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 6．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 7．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”,则 （ ） A. B. C. D. 8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是 （ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有 （ ） A. 的最小正周期为12 B. C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增 11．已知数列满足，则下列结论正确的有 （ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 13．已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x)．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a0＝ ，＝ ．(第一空2分，第二空3分) 14．设函数.有下列五个命题： ①若对任意，关于的不等式恒成立，则； ②若存在，使得不等式成立，则； ③若对任意及任意，不等式恒成立，则； ④若对任意，存在，使得不等式成立，则； ⑤若存在及，使得不等式成立，则. 其中，所有正确结论的序号为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，. 设. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，，，的平分线交于点，求长. 16．在数列中，已知a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求Sn. 17．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，沿将折起，使得点A到点P位置，且，M为的中点，N是上的动点（与点B，C不重合）． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）是否存在点N，使得二面角的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由． 18．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 19．已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024第二学期高三数学考前热身 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为 （ D ） A. B. C. D. 2．若函数在区间上单调递减，且，.则 （   D   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为 ( A ) A． B． C． D． 【详解】∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减， 则有g(x)在(0,)上单调递增，而， 所以存在使得，中，排除C、D， ∵时，排除B，所以选A.故选：A 4．若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题，即， 设，则，所以为增函数，所以由可知，故选：B 5．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，.设，则. 由题意可知所以. 因为，所以，故的最大值为. 【点睛】本题考查与向量有关的几何最值问题，属基础题.利用坐标方法转化为三角函数的最值问题是处理几何最值得十分有效的方法. 6．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径；由得：，恒过定点；由得：，恒过定点； 由直线方程可知：，，即，设，则，，，整理可得：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在，点轨迹不包含； 若点为弦的中点，则，位置关系如图： 连接，由知：， 则，（当在处取等号）， 即的最小值为.故选：A. 7．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”,则 （ A ） A. B. C. D. 8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，，0，， 可得，，，， 因为点在平面上的射影是的重心，所以平面， 所以，即， 解得，即，则点到平面的距离为，是的中点， 所以．故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是 （ BC ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由，则，即， 则，故B正确；对于C，因为， 则，所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.故选：BC. 10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有 （ ACD ） A. 的最小正周期为12 B. C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增 【详解】由题意可得：，，， ，，，，， ，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确. 时，，可得：函数在单调递增. 综上可得：ACD正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解. 11．已知数列满足，则下列结论正确的有 （ ABD ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 【详解】因为，所以+3，所以， 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 13．已知：若函数f(x)，g(x)在R上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x)．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a0＝ ，＝ ．(第一空2分，第二空3分) 14．设函数.有下列五个命题： ①若对任意，关于的不等式恒成立，则； ②若存在，使得不等式成立，则； ③若对任意及任意，不等式恒成立，则； ④若对任意，存在，使得不等式成立，则； ⑤若存在及，使得不等式成立，则. 其中，所有正确结论的序号为 ①②③④⑤ . 【详解】试题分析：①对任意，关于的不等式恒成立, 即,恒成立,令,,只需即；②若存在，使得不等式成立,由①可知只需,即；③若对任意及任意，不等式恒成立,即,即,所以；④若对任意，存在，使得不等式成立,则,即,所以；⑤若存在及，使得不等式成立，则,即,所以. 考点：1.函数与导数；2.恒成立问题． 【思路点晴】含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：①的图象和图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，. 设. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，，，的平分线交于点，求长. 15．解：（1） 令，， 则，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由题意得：， 因为，所以， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，解得， 因为的平分线交于点，所以， 所以， 所以，解得． 16．在数列中，已知a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求Sn. 16．解：（1）因为，所以， 所以， ， 因为， 所以. 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以 （3） . ， 所以. 17．如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，沿将折起，使得点A到点P位置，且，M为的中点，N是上的动点（与点B，C不重合）． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）是否存在点N，使得二面角的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由． 17．解： （I）证明：由，，， 所以平面，又平面，故，又，故平面， 平面，故，又等腰三角形，， ，故平面，平面，故平面平面； （II）以E为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设，设，，，，，， ，，，设平面的法向量为， 由，得，平面的法向量为， 故，得，故存在N为的中点． 18．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 18．解：（1）的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 （2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题. 解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列. 19．已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 19．解：（1），圆：，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 即，即，又，且， 所以，所以双曲线E的标准方程为； （2）①设直线l的方程为， 代入，得， 设，所以， 则， 因为，所以，所以 即，所以， 令，所以， 又因为在上递减，所以： ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为， 联立，得， 所以， 由题，设MN的中点为， ， 所以PQ的直线方程：， 所以，因为Q在双曲线上， 所以，即， 令，即，即， 即，所以，即，与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$