利用导数研究函数的零点问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

利用导数研究函数的零点问题 技法一 数形结合法 例1 已知函数f(x)＝xex＋ex，讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数. 规律方法：含参数的函数求零点个数问题，可转化为求方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征得出零点个数及对应参数的范围． 对点练1.若函数f(x)＝ex(x2－2x＋1－a)－x恒有2个零点，求a的取值范围． 技法二 　函数性质法 例2 已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. 1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 规律方法：利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．　 对点练2.已知函数f(x)＝2ln x－x2＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围． 对点练3.已知函数f(x)＝ln x＋－2，证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 技法三 构造函数法 例3 设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m>1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数． 规律方法 1．涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而解得函数的零点问题． 2．解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 对点练3.已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用导数研究函数的零点问题 技法一 数形结合法 例1 已知函数f(x)＝xex＋ex，讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数. 对点练1.若函数f(x)＝ex(x2－2x＋1－a)－x恒有2个零点，求a的取值范围． 技法二 　函数性质法 例2 已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. 1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 规律方法：利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．　 对点练2.已知函数f(x)＝2ln x－x2＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围． 对点练3.已知函数f(x)＝ln x＋－2，证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 证明： 技法三 构造函数法 例3 设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m>1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数． 规律方法 1．涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而解得函数的零点问题． 2．解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 对点练4.已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$