平面向量及其应用题型总结讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量及其应用题型总结 数学 第 1 页（共 17 页） 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量概念辨析 【核心方法】从大小和方向两个维度考虑 题型2 向量的加法和减法 【核心方法】加法：三角形法则、平行四边形法则；减法：变成加法 题型3 向量的数乘 【核心方法】向量的数乘表示对向量作正向或反向的放缩 题型4 向量表达式的化简 【核心方法】对向量进行平移或反向，得到首尾相连 题目1[抽象向量] 化简：3(a+b)-2(a-b)-a 原式=3a+3b-2a+2b-a =5b ★去括号→合并同类项 题目2[具体向量①] 化简： 原式= = =0 ★①负变正 ②寻找首尾相连的向量 题目3[具体向量②] D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则. 题型5 向量表达式的证明 【核心方法】借助封闭图形，用其他向量表示目标向量 题目 已知EF分别是正方形ABCD的边AD和AB的中点，求证： . 解：将三个向量标在图中，可知： 在△AEB中，有① 在△AFD中，有② ①+②得： ★★★定比分点的向量公式： 题型6 判断向量共线或点共线 题目 已知向量e1、e2不共线，，，，求证：A、B、D三点共线. 证明： ∵ ∴ ∴与共线 ∴A、B、D三点共线 题型7 根据共线求参数 题目 已知向量e1、e2不共线，a=8e1-ke2，b=-ke1+e2，若a∥b，则k=. 解：∵a∥b且b≠0(否则，与e1、e2不共线矛盾) ∴存在实数λ，使得a=λb 即8e1-ke2=λ(-ke1+e2)★★特别提醒： 若a、b同向，λ＞0 ∴ 若a、b反向，λ＜0 ∴ 整理得(8+λk) e1=(λ+k) e2 ∵e1、e2不共线 ∴8+λk=λ+k=0 即 解得或 题型8 用向量表示其他向量 【核心方法】利用加减和数乘转化向量 题目1 如图，在△ABC中，已知，，CD=2BD，点E在AD边上且DE=2AE，试用a、b表示. 【注意】①一个图形只用一次 ②转化时尽量贴近已知向量 ③巧用定比分点的向量公式 解法一： 由图可得 ∵ ∵ ∴ ∴ 解法二： ∵DE=2AE ∴ = = = 题目2 如图所示，△ABC中，点M是AB的中点，N是AC上一点，且 ，BN与CM交于点E，设，.试用a、b表示向量 . 【总结】①适用范围：直线交点 ②设出线段比x、y（选定基底a、b） ③通过两条直线算两次 解：设 ∴⇒ 题型9 向量数量积的运算 【核心方法】 题型10 利用数量积求夹角或投影（向量） 【核心方法】求夹角：；求投影：； 求投影向量： 题型11 利用数量积求模长 【核心方法】先平方，再开方 已知向量a、b满足a=3，b=4，，则= 6 . 解：∵ ∴ ∴ ∴ $$