广东省汕尾市陆河县河田中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试数学试题

陆河县河田中学2023-2024学年度第二学期第二次阶段考试 高二数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则（    ） A． B． C．16 D．-16 2．在等差数列中，若，则（    ） A．20 B．24 C．27 D．29 3．有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 4．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 5．已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 6．今天是星期三，再过天是星期（    ）． A．一 B．二 C．四 D．五 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲、乙不相邻，则不同的站队方式共有72种 D．甲不在两端，则不同的站队方式共有48种 10．已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ） A． B． C． D． 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式 . 13．的展开式中的系数为 . 14．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到各组日行步数的人数比例如饼图所示. （1）若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10千步12千步之间，另一人在12千步14千步之间的概率是 . （2）设抽出的这两名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量X，则 . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。） 15．（13分）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． (1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； (2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 16．（15分）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 17．（15分）已知等差数列为递增数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数λ的取值范围. 18．（17分）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 19．（17分）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度高中数学5月月考卷解析版 未命名 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C．16 D．-16 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导数公式求出，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．在等差数列中，若，则（    ） A．20 B．24 C．27 D．29 【答案】D 【分析】求出基本量，即可求解. 【详解】解：，所以，又，所以， 所以， 故选：D 3．有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【分析】由分步计数原理求解即可. 【详解】3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数. 故选：B. 4．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】由二项式系数的对称性判断. 【详解】根据二项式系数的对称性知，则， 故选：C． 5．已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可. 【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意 故选：B. 6．今天是星期三，再过天是星期（    ）． A．一 B．二 C．四 D．五 【答案】C 所以除以7的余数为1， 今天是星期三，再过天是星期四. 故选：C． 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，两式相加可得，再结合已知条件可得答案. 【详解】因为， 所以①， ②， 由①+②， 得， 又，即， 所以. 故选：C. 8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案． 【详解】解：依题意令，则， 所以在上单调递减， 对于不等式，显然，则，即， 又，所以， 所以，即， 所以， 解得，即关于的不等式的解集为. 故选：B． 二、多选题 9．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲、乙不相邻，则不同的站队方式共有72种 D．甲不在两端，则不同的站队方式共有48种 【答案】AC 【分析】根据题意，结合全排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及特殊位置法等排法，结合排列数的公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，五名同学站一排，不同的站队方式共有种，所以A正确； 对于B中，先把甲乙捆绑在一起，看成一个元素，则不同的站队方式共有种，所以B不正确； 对于C中，先丙、丁、戊三人排除一排，有种不同的排放， 再将甲、乙插入四个空隙中的两个空隙，共有种排法，所以C正确； 对于D中，先从中间的三位置中选一个位置排甲，剩余的全排列，共有种排法，所以D不正确. 故选：AC. 10．已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可. 【详解】解：设切点为， 则， 所以， 所以切线方程为， 因为切线过点（1，3）， 所以，即， 即， 解得或， 所以切线方程为或， 故选：AB 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1225既是三角形数，又是正方形数 C． D．，总存在，使得成立 【答案】ABD 【分析】利用等差数列求和，分别求出，，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】三角形数构成数列，易得； 正方形数构成数列，，易得； 对于A：，故A正确； 对于B：令，解得； 令，解得.故B正确； 对于：∵， ∴，故C错误； 对于D：取，且，则，即， 故，总存在，使得成立，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．已知数列的前项和（其中为常数，），写出使不为等差数列的一个通项公式 . 【答案】2n 13．的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由题可知可根据二项式定理求的系数，然后去括号合并同类项即可. 【详解】的展开式的通项， 又， 令， 所以的系数为， 故答案为：. 14．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到各组日行步数的人数比例如饼图所示.    （1）若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10千步12千步之间，另一人在12千步14千步之间的概率是 . （2）设抽出的这两名教职工中日行步数超过12千步的人数为随机变量X，则 . 【答案】 / / 【分析】（1）根据已知求出10千步12千步之间和12千步14千步之间的人数，然后利用组合数与古典概型的概率公式计算即可； （2）先依题意确定的可能取值，再利用直接法或间接法，结合组合数与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】（1）由已知10千步12千步之间的人数为， 12千步14千步之间的人数为， 因此任取2人，恰好一人在10千步12千步之间，另一人在12千步14千步之间的概率是； （2）解法一（直接法）： 依题意，的可能取值为0，1，2， ，， 所以； 解法二（间接法）： 依题意，的可能取值为0，1，2， ， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 15．为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． (1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； (2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，.......1分 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，.......2分 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，......3分 所以规定三名同学都需要回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.......6分 （2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，......8分 则，，，......9分 且，，，....10分 由全概率公式可得.......12分 所以这个问题回答正确的概率是......13分 16．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面是正方形，，......2分 平面，平面， ，......4分 又，，平面， 平面，......6分 又平面，平面平面．......7分 （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，......8分 所以，，，......9分 设平面的法向量为，则，取，......11分 设平面的法向量为，则，取，......12分 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，......14分 所以，即二面角的正弦值为.......15分 17．已知等差数列为递增数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）依题意有：，......1分 ......3分 又等差数列为递增数列，......5分 代入......6分 ......7分 （2）由（1）知：，......9分 ......11分 代入得：......13分 综上所述：......15分 18．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，......1分，......2分 ，， 所以在上单调递增，在上单调递减，......4分 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.......5分 （2）由题意知函数的定义域为.......6分 ，......7分 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增.......9分 所以.......10分 （3）不妨设，则由（2）知，.......11分 设，由，得， 即，......12分 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则，......13分 ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，......15分 所以当时，，即当时，， 所以，......16分 又在上单调递减， 所以，即.......17分 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 19．在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 【答案】(1)13 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干对的定义，列举即可得到的值； （2）将的值代入后，由数列的递推公式的特点可以构造等差数列，进而得到数列的通项公式； （3）根据和的关系得到即，将代入，得到，放缩后裂项相消求和. 【详解】（1）.......3分 （2）由（1）得，......5分 左右同时除以13得，即，......7分 所以数列是以为首项，以-1位公差的等差数列， 所以，所以.......9分 （3）......10分 所以，......11分 所以 ，即，......13分 所以，.......15分 所以， 即得证.......17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$