8.2一元线性回归模型及其应用同步检测-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2　一元线性回归模型及其应用（同步检测） 一、选择题 1.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(　　) A.y＝a·xb B.y＝a＋bln x C.y＝a·ebx D.y＝a·e 2.过(3，10)，(7，20)，(11，24)三点的经验回归方程为(　　) A.＝1.75＋5.75x B.＝－1.75＋5.75x C.＝5.75＋1.75x D.＝5.75－1.75x 3.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝0.65x＋，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为(　　) x 4 6 8 10 12 y 1 2 2.9 5 6.1 A. B. C. D.无法确定 4.已知x，y的取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 由所给数据在散点图上的位置分析可知y与x线性相关，且经验回归方程为＝0.95x＋，则＝(　　) A.1.45 B.1.55 C.1.65 D.1.80 5.已知经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是(　　) A.0.01 B.0.02 C.0.03 D.0.04 6.根据如表所示的样本数据： x 1 2 3 4 5 y a－1 －1 0.5 b＋1 2.5 得到的回归方程为＝x＋.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位时，y近似(　　) A.增加0.8个单位 B.减少0.8个单位 C.增加2.3个单位 D.减少2.3个单位 7.设若一条经验回归直线的方程为＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时(　　) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 8.某同学研究了气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数y与当天气温x(℃)之间的线性关系是由回归直线＝－2.35x＋147.77来反映的，则下列说法错误的是(　　) A.所卖的热饮杯数与当天气温成负相关 B.可以预测温度在20 ℃时，该小卖部一定能卖出100杯热饮 C.气温每升高1 ℃，所卖的热饮约减少2杯 D.如果某天气温为2 ℃时，则该小卖部能卖出热饮大约是143杯 9.(多选)若某地财政收入x与支出y满足经验回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计可能为(　　) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 二、填空题 10.对于样本相关系数r，叙述正确的是________ ①|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱； ②r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱； ③|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱； ④以上说法都不对． 11.某国产芯片车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，用最小二乘法求得经验回归方程为＝0.62x＋46.4． 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 52 65 70 78 现发现表中有一个数据模糊不清，则该数据的值为________ 12.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：＝0.254x＋0.321．由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 13.已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为________．(结果精确到0.1) 三、解答题 14.下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)通过x与y的关系，建立回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值． 15.为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：＝＋x与y＝c1ec2x哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由) 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 其中zi＝ln yi，＝ (2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程． 参考公式：，＝－． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B　解析：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合． 2.C　解析：＝＝7，＝＝18． 又知经验回归方程经过样本点中心(，)，所以C正确． 3.B　解析：＝＝8，＝＝3.4， ∴样本点的中心为(8，3.4)，代入＝0.65x＋，得＝3.4－0.65×8＝－1.8． ∴经验回归方程为＝0.65x－1.8． ∴5个点中落在回归直线上方的有(4，1)，(10，5)，(12，6.1)共3个，∴所求概率为P＝． 4.A　解析：由题意，得＝＝4，＝＝5.25． ∵y与x线性相关，且＝0.95x＋，∴5.25＝0.95×4＋，解得＝1.45． 5.C 解析：当x＝2时，＝5；当x＝3时，＝7；当x＝4时，＝9，∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，3＝9.1－9＝0.1. ∴＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03. 6.A 解析：由题得＝0.1，所以a＋b＝－1.5.因为0.1＝3＋，所以解方程组得＝－2.3，＝0.8.所以＝0.8x－2.3，所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．故选A. 7.C　解析：∵回归方程为1＝2－1.5x①，∴2＝2－1.5(x＋1) ②，∴②－①得2－1＝－1.5，即y平均减少1.5个单位． 8.B　解析：对于A，因回归直线＝－2.35x＋147.77中－2.35<0，则与x成负相关，A正确；对于B，回归直线＝－2.35x＋147.77中，当x＝20时，＝－2.35×20＋147.77＝100.77，大约卖出100杯，这是一个预测值，不能肯定会卖出100杯，B不正确；对于C，由回归直线＝－2.35x＋147.77知，气温每升高1 ℃，所卖的热饮约减少2杯，C正确；对于D，回归直线＝－2.35x＋147.77中，当x＝2时，＝－2.35×2＋147.77≈143，即小卖部能卖出热饮大约是143杯，D正确．故选B． 9.BCD　解析：因为财政收入x与支出y满足经验回归方程y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到y＝0.7x＋3＋e，当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，结合选项知，B、C、D符合要求． 二、填空题 10.答案：③　 解析：用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1时，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系． 11.答案：60　 解析：因为＝＝30，点(，)在直线＝0.62x＋46.4上， 所以＝0.62×30＋46.4＝65． 设这个模糊不清的数为a，则有＝65，解得a＝60．故答案为60． 12.答案：0.254　 解析：由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元． 13.答案：13.5 解析：由已知可得＝×(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4， ＝×(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9. 设经验回归方程为＝3.53x＋，把(，)代入， 得74.9＝3.53×17.4＋，解得≈13.5，则经验回归直线在y轴上的截距为13.5. 三、解答题 14.解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，数形结合可猜测样本点分布在某一指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数，即x与y之间的关系为y＝c1ec2x． (2)对(1)中猜测结果两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为： x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得经验回归方程为＝0.272x－3.849，∴＝e0.272x－3.849． 残差列表： yi 7 11 21 24 66 115 325 i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.230 －13.381 34.675 （3）当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131 15.解：(1)作出散点图，如图①所示． 图①　　　　　　　　图② 由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y＝c1ec2x的周围，于是选择y＝c1ec2x． (2)令z＝ln y，则＝x＋． x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 相应的散点图如图②． 从图②可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合． 由≈0.69，＝－＝1.115，得＝0.69x＋1.115， 则有＝e0.69x＋1.115． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$