精品解析：福建省莆田第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

莆田第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算求解. 【详解】, 则. 故选：C. 2. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由梯形面积公式求出原图的面积，结合原图与直观图面积的关系，分析即可得出结果. 【详解】根据题意，原图直角梯形中，上下两底分别为2和4，高为， 其面积， 则其直观图的面积. 故选：B. 3. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一平面的两条直线平行； ③平行于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一平面的两个平面平行. A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体模型可判断②③的正误，利用平行线的传递性可判断①的正误，利用面面平行的性质可判断④的正误. 【详解】对于①，由平行线的传递性可知，平行于同一直线的两条直线平行，①对； 对于②③，如下图所示： 在正方体中，平面，平面， 但与相交，②错， 平面，平面，但平面与平面相交，③错； 对于④，由面面平行的性质可知，平行于同一平面的两个平面平行，④对. 故选：C. 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解. 【详解】方法一：在中，， 又， ， 由正弦定理得：， 所以， 所以树的高度为， 方法二：设树高为，则，则， 故选：A. 5. 一个正四棱台的上、下底面边长及体积分别为，则正四棱台的斜高是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据体积公式求出棱台的高，然后根据高可得斜高. 【详解】如图：由棱台的体积公式得， 可得正四棱台的高， 则正四棱台的斜高为. 故选：B. 6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义以及模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：D. 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 8. 已知的三个角的对边分别为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理边化角，表示出，然后利用两角和的正切公式列方程求解即可. 【详解】因为， 则由正弦定理得， 则， 所以， 解得（负值舍去）， 所以. 故选：A. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 是方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：直接求虚部；对于B：代入复数然后求模；对于C：代入复数及其共轭复数计算；对于D：直接代入验证. 【详解】对于A：因为，所以，则的虚部是，A错误； 对于B：因为，所以， 所以，B正确； 对于C：因为， ，则，C错误； 对于D：， 故是方程的一个根，D正确. 故选：BD. 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断. 【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确； 对于B，因为，在中，可得或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确； 对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误； 故选：ABC. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点(包括边界)，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. 记的中点为上存在一点，使得平面平面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取中点，的中点，通过证明平面平面，从而判断A；对于B，结合A选项分析可得点轨迹为线段，从而判断B；由此可得与点重合时，三棱锥体积的最小，求体积判断C；对于D，将三角形翻折到平面内，结合将军饮马理论进行判断即可. 【详解】对于A，取中点，的中点，连接，则， 正方体中易知，从而， 又平面，而平面，所以平面， 又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，则是平行四边形，所以，同理可得证平面， ，平面，所以平面平面， 所以当点与点重合，即点为的中点时，有平面平面，故A正确； 对于B，平面平面，所以当时，平面， 即线段为点的轨迹，，故B正确； 对于C，点到平面即平面的距离为， 而于三角形的面积而言，底边是固定的， 而线段为点的轨迹， 当且仅当点与点重合时，此时点到的距离最短，且为， 综上所述，三棱锥体积的最小值为，故C错误； 对于D，将三角形翻折到平面内，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系： 设点为中点，连接交直线于点， 因为， 所以，即直线为线段的垂直平分线， 而分别是的中点， ，所以点也在线段的垂直平分线上， 且， 所以，即， 由正方形性质可知， 所以四点共线， 显然直线，设，则有， 又，， 由， 解得，所以， 又， 所以直线的方程为，即， 显然线段（含端点）的表达式为， 联立，解得， 从而，等号成立当且仅当点与点重合，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：于D选项而言，这是一个将军饮马问题，只需将三角形翻折到平面内，结合两点间线段最短即可验算，由此即可顺利得解. 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为复数，若，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值. 【详解】设， 则，又， 所以， 所以，即 所以， 所以. 故答案为：. 13. 用一个直立且底面直径为的圆柱体塑料桶（含桶盖）装表面积为的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑材料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出小球的半径，确定球在塑料桶内的放置情况，再作出轴截面，根据图象情况求出塑料桶的高，进而可得侧面积. 【详解】设小球的半径为，则，得， 由于两个小球的直径和比圆柱体塑料桶的底面直径大，故不可能同时有两个小球都和塑料桶的底面相切，不妨取轴截面如下图所示： 则， 所以塑料桶的高为， 所以该圆柱体塑料桶的侧面积是. 故答案为：. 14. 已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设BC的中点为E，则根据题意易知D为BC边上的中线中点，利用余弦定理求出的最大值，然后利用两边平方求出的最大值，然后代入计算即可. 【详解】如图，设中点为， 因为， 所有， 所以为中点， 所以, 又， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 又 ，当且仅当时等号成立， 所以 所以. 故答案为：. 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直坐标表示求出，再利用那个向量模的坐标公式求解； （2）根据向量共线的坐标运算求出，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 当且时, ,即， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ，， 则，又，， 所以，解得，所以， 则， 即与夹角的余弦值为. 16. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点. （1）求证:平面； （2）棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； （2）存在，点为点 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，. （1）求的大小； （2）若，，求BC的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得，然后根据余弦定理即可求得，进而根据角的范围，即可得出答案； （2）在以及中，分别根据余弦定理，结合，整理化简可得.在中，根据余弦定理推出.联立两个方程，即可得出答案. 【小问1详解】 由正弦定理以及已知可得，， 整理可得，. 由余弦定理可得，. 又，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得，. 在中，由余弦定理可得，. 又，所以， 即，整理可得. 因为， 在中，由余弦定理可得，， 即， 整理可得，. 联立可得. 所以，. 18. 如图，半圆的半径为2，点四等分半圆，点分别是上的点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥，使得，且平面平面. （1）证明:; （2）若平面平面，证明:; （3）求四棱锥的体积. 【答案】（1） 如图所示，因为是半圆的四等分点， 所以，所以卷成圆柱后，且， 又平面，平面，平面， 平面∥平面，平面， 平面，又平面，且平面平面， ，又，. （2） 由（1）知：，且平面，平面， 平面， 平面，且平面平面， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的线、面之间的平行的判定和性质证明即可. （2）根据线面平行的判定和性质定理及已知条件求证即可. （3）将四棱锥分割成两个三棱锥，在三棱锥中用等体积法先求出其体积，从而求出四棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为半圆的半径为2，所以卷成的圆锥的底面圆的半径为， ， ，由勾股定理得， 平面平面， 平面平面，平面平面， ，又为的中点，为的中点， 为的中点， 到平面的距离， 而△的面积为， 三棱锥的体积为， 又， 四棱锥的体积为. 19. 已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， （1）求； （2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第（ⅱ）问关键是设，，得到，通过条件表示出、，然后通过换元以及基本不等式得到的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一平面的两条直线平行； ③平行于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一平面的两个平面平行. A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 4. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 一个正四棱台的上、下底面边长及体积分别为，则正四棱台的斜高是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 8. 已知的三个角的对边分别为，满足，则（ ） A. B. C. D. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 是方程的一个根 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点(包括边界)，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. 记的中点为上存在一点，使得平面平面 B. 动点轨迹的长度为 C. 三棱锥体积的最小值为1 D. 的最小值为 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为复数，若，则的最大值为_______. 13. 用一个直立且底面直径为的圆柱体塑料桶（含桶盖）装表面积为的小球(可滑动)，恰好能装入3个小球，若不考虑材料桶桶壁及桶盖厚度，则该圆柱体塑料桶的侧面积是_______. 14. 已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为_______. 四.解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 16. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点. （1）求证:平面； （2）棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，. （1）求的大小； （2）若，，求BC的长. 18. 如图，半圆的半径为2，点四等分半圆，点分别是上的点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥，使得，且平面平面. （1）证明:; （2）若平面平面，证明:; （3）求四棱锥的体积. 19. 已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， （1）求； （2）若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $