2024届高考数学考前回扣

数学考前回扣（一） 基础五小题 基本题型 参考答案 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 题型一 集合逻辑 例题1 （1）【答案】C （2）【答案】A 【解析】由题意可知，x≥1，x2＋5x≥6的否定是x≥1，x2＋5x＜6，故答案选A． （3）【答案】BD【解析】由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，则＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，对于选项A，“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充要条件；对于选项B，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的必要不充分条件；对于选项C，“0＜a＜”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充分不必要条件对于选项D中，“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”必要不充分条件，故答案选BD． 题型二 不等式 例题2 （1）【答案】B 解：，，且，，解得． 则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9．故选：B． （2）【答案】BC 若，，则，故A错误； 若，，则，化简得，故B正确； 若，则，又，则，故C正确； 若，，，，则，，，故D错误；故选：BC． 题型三 平面向量 例题3 （1）【答案】C 【详解】， 则，所以.故选：C （2）【答案】D 【详解】由题意，向量，可得， 又由，可得，可得， 设向量与的夹角为，其中，可得 ，所以.故选：D. （3）【答案】A 【解析】 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是，故选：A. 题型四 复数 例题4 （1）【答案】D【解析】依题意得，所以．故选：D. （2）【答案】AB【解析】由题意，复数满足，所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选AB. （3）【答案】BC【解析】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；选项C：由，可得 .判断正确；选项D： 即可得，解之得.选项D判断错误.故选：BC 题型五 计数原理 例题5 （1）【答案】D 【解析】由题意，①若从甲乙两人中选一人作为志愿者时，则有种，从剩下的3人中选2人作为志愿者，则有种，所以选派到3个社区有种，则共有＝36种；②若甲乙两人都被选作志愿者，则从剩下的3人中选1人作为志愿者即可，则有种，所以选派到3个社区有种，则共有＝18种；综上，不同的选派方法有36＋18＝54种，故答案选D． （2）【答案】AD 【解析】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为， 所以，则，故A正确； 展开式中二项式系数之和为，故B错误； 展开式的通项为，令，得，故展开式中无常数项，故C错误； 展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，令得，故D正确.故选：AD （3）【答案】B 【解析】解：，则由的展开式的系数确定，因为的通项为，所以 故选：B 数学考前回扣（一） 基础五小题 测试 参考答案 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 1．B【详解】，解得或，所以. ，所以.所以. 2．B【详解】直线与直线没有公共点时，它们可以平行，也可能是异面直线，故“直线与直线没有公共点”是“”的必要不充分条件，故选：B 3．A【详解】当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A. 4．B【详解】因为，所以，又，， 所以，设与的夹角为，所以，所以. 5．D【详解】 =. 6．ABC【详解】解：由题得，所以，所以选项A正确； 因为的虚部为-1，所以选项B正确；由于为纯虚数，所以选项C正确； 在复平面内对应的点为位于第二象限，所以选项D错误. 7．或【详解】由题意得，即，所以或． 8．7【详解】为常数项，所以. 9．150【详解】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.因此共有种值班方案. 10．【详解】解：以O为原点，AC、BD所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，， 则，，，，，， 所以，故． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（一） 基础五小题 基础知识 参考答案 一．集合逻辑 1、集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A 2、子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 _2n, 2n－1, 2n－1, 2n－2_（看清元素个数还是子集个数） 3、集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 4、 常见数集：自然数集{0，1，2，3，};{1，2，3，};Z整数集,Q有理数集,R实数集, C复数集 5.全称命题、特称命题及其否定 (1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)． (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：p：∀x∈M，p(x)． 6．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)； 若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B， 若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；（以小推大） 若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 二、不等式 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是. 3．分式不等式（分式化整式） >0(<0)⇔_f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)⇔（分母不为0） 4. 绝对值对不等式 ①|ax＋b|≤c⇔-c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔.() 5．指对不等式（同底法）6. 三角不等式（图形法） 7．基本不等式 (1)基本不等式：≥ (a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立； ②≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立． ③几何平均数算数平均数平方平均数： (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“一正”“二定”“三相等”的条件． 三、复数 1、复数的相关概念及运算法则 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，且 ， a叫做复数的实部，b叫做复数的_虚部. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 复数a＋bi，(a，b∈R) (3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． (4)共轭复数: 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi. (5)复数的模: 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (6)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：＝=＋i (c＋di≠0)．（分子分母同乘分母的共轭） （7）复数的几何意义 （8）复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义　 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义　 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所表示的复数 ,则复数的轨迹方程为. 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i.(2)＝i，＝－i. (3);(z＝a＋bi(a，b∈R)) (5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)． 四、平面向量基本定理 1、如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.A、B、C三点共线，则存在, 3.若中，,则 若为BC的中点,则； 若为靠近C的三等分点,则. 4．向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b.作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 5．平面向量的数量积 (1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 6．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 7．利用数量积求长度 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝. 8．利用数量积求夹角 设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝. 9．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则： (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (4)若＝λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心． 10．平面向量数量积的几何意义 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ·e. 五、计数原理 1．排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1. 2．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. (4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C. 3．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk. 4．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. (2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大． 当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n， 即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（一） 基础五小题 基础知识 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 一．集合逻辑 1、集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔_____；A∩B＝B⇔______ 2、子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为_____________________（看清元素个数还是子集个数） 3、集合运算中的常用方法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 4、常见数集：自然数集{__________};{____________};Z ,Q ,R ,C 5.全称命题、特称命题及其否定 (1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题_______________________． (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：_______________________． 6．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若p⇒q，则p是q的__________(或q是p的___________)； 若p⇒q，且q⇏p，则p是q的__________________(或q是p的_______________________)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B， 若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；（以小推大） 若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 二、不等式 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是______________(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是__________. 3．分式不等式（分式化整式） >0(<0)⇔___________________；≥0(≤0)⇔___________________（分母不为0） 4. 绝对值对不等式 ①|ax＋b|≤c⇔_____________________；②|ax＋b|≥c⇔_____________________.（） 5.指对不等式（同底法） 6. 三角不等式（图形法） 7．基本不等式 (1)基本不等式：____________(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立； ②≥________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立． ③几何平均数算数平均数平方平均数： ____________________________________________________. (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“一正”“二定”“三相等”的条件． 三、复数 1、复数的相关概念及运算法则 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做______，且______ ， a叫做复数的______，b叫做复数的_________. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：复数a＋bi，(a，b∈R) (3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔________________(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔_______________(a，b∈R)． (4)共轭复数: 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝__________. (5)复数的模: 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝__________. (6)复数的运算法则：加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝_______________； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝_______________；除法：＝(c＋di≠0)． （7）复数的几何意义 （8）复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义　 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义　 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所表示的复数 ,则复数的轨迹方程为_____________________. 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝________. (2)＝____，＝____ (3)_________; (4) (5)i4n＝___，i4n＋1＝______，i4n＋2＝___，i4n＋3＝_____，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝_____(n∈Z)． 四、平面向量基本定理 1、如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.A、B、C三点共线，则存在, 3.若中，,则 若为BC的中点,则；若为靠近C的三等分点,则. 4．向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b.作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b_____；当θ＝180°时，a与b_____．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作_______. 5．平面向量的数量积 (1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝__________.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_________. (3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积． 6．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)(向量共线定理)⇔______________(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________ 7．利用数量积求长度 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝_________.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_____________________. 8．利用数量积求夹角 设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝_________＝_____________________. 9．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则： (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝_________.(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝_________. (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (4)若(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的________; 10．平面向量数量积的几何意义 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ·e. 五、计数原理 1．排列：(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示． (3)排列数公式：A＝ (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列， A＝ ＝ .排列数公式写成阶乘的形式为A＝ ，这里规定0！＝ . 2．组合：(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示． (3)组合数的计算公式：C＝ ＝ ＝ ，由于0！＝1，所以C＝ . (4)组合数的性质：①C＝ ；②C＝ . 3．二项式定理：(a＋b)n＝ (n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝ . 4．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . (2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项 的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项 和 的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ .二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 数学考前回扣（一） 基础五小题 基本题型 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 题型一 集合逻辑 例题1 （1）已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． （2）命题：x≥1，x2＋5x≥6的否定是（ ） A．x≥1，x2＋5x＜6 B．x≥1，x2＋5x＜6 C．x＜1，x2＋5x＜6 D．x＜1，x2＋5x≥6 （3）（多选）“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜ D．a≥0 题型二 不等式 例题2 （1）已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 （2）（多选）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 题型三 平面向量 例题3 （1）设向量，，若，则（ ） A． B．1 C． D． （2）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． （3）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型四 复数 例题4 （1）复数（i为虚数单位）的共轭复数（　　） A. B. C. D. （2）(多选)若复数满足，则（ ） A. B.是纯虚数 C.复数在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上， （3）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（ ） A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上 C． D．若，则 题型五 计数原理 例题5 （1）为调查新冠疫苗接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 （2）（多选）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ） A． B．展开式中二项式系数之和为256 C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为 （3）若多项式，则（ ） A. 56 B. C. D. 120 数学考前回扣（一） 基础五小题 测试 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题 1．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 2．“直线与直线没有公共点”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数在处取最小值，则等于（        ） A．3 B． C． D．4 4．已知，，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 5．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（          ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知复数，则（       ） A． B．的虚部为-1 C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限 三、填空题 7．已知向量，，若，则______． 8．若展开式中第5项为常数项，则________； 9．在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、、、、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、、共3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）． 10．在菱形ABCD中，，，BD与AC交于点O，点E，F分别是线段AO，CD的中点，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 数学考前回扣（一） 基础五小题 基础知识 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 一．集合逻辑 1、集合间的关系与运算 A∪B＝A⇔_____；A∩B＝B⇔______ 2、子集、真子集个数计算公式 对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 _____________________（看清元素个数还是子集个数） 3、集合运算中的常用方法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形 结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn图求解． 4、常见数集：自然数集 N {__________}; *N {____________};Z ,Q ,R ,C 5.全称命题、特称命题及其否定 (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题_______________________． (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：_______________________． 6．充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：若 p⇒q，则 p是 q的__________(或 q是 p的___________)； 若 p⇒q，且 q⇏p，则 p是 q的__________________(或 q是 p的_______________________)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题 p：x∈A，命题 q：x∈B， 若 A⊆B，则 p是 q的充分条件(q是 p的必要条件)；（以小推大） 若 A  B，则 p是 q的充分不必要条件(q是 p的必要不充分条件)；若 A＝B，则 p是 q的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 二、不等式 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一 元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)． 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次 函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下， 要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是______________(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是__________. 3．分式不等式（分式化整式） fx gx >0(<0)⇔___________________； fx gx ≥0(≤0)⇔___________________（分母不为 0） 4. 绝对值对不等式 ①|ax＋b|≤c⇔_____________________；②|ax＋b|≥c⇔_____________________.（ 0c ） 2 5.指对不等式（同底法） 6. 三角不等式（图形法） 7．基本不等式 (1)基本不等式：____________(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当 a＝b时等号成立． 基本不等式的变形： ①a2＋b2≥______(a，b∈R)，当且仅当 a＝b时等号成立； ② 2 2        ba ≥________(a，b∈R)，当且仅当 a＝b时等号成立． ③几何平均数算数平均数平方平均数： ____________________________________________________. (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“一正”“二 定”“三相等”的条件． 三、复数 1、复数的相关概念及运算法则 (1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做______，且 2i ______ ， a叫做复数的______， b叫做复数的_________. (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：复数 a＋bi，(a，b∈R)               非纯虚数 纯虚数 虚数 实数 (3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔________________(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔_______________(a，b∈R)． (4)共轭复数: 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数 z ＝__________. (5)复数的模: 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝__________. (6)复数的运算法则：加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝_______________； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝_______________；除法： dic bia   ＝      dic bia   (c＋di≠0)．(其中 a，b，c，d∈R) （7）复数的几何意义 （8）复数加减法的几何意义 复数加法的 几何意义 复数 z1＋z2是以OZ1→ ，OZ2→ 为邻边的平行四边形 的对角线OZ→所对应的复数 复数减法的 几何意义 复数 z1－z2是从向量OZ2→ 的终点指向向量OZ1→ 的 终点的向量Z2Z1——→所表示的复数 biaZrZZ  00 , ,则复数 Z 的轨迹方程为_____________________. 3 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝________. (2)1＋i 1－i ＝____，1－i 1＋i ＝____ (3)  ZZZ 2 _________; (4) 2 1 2 1 2121 , Z Z Z ZZZZZ  (5)i4n＝___，i4n＋1＝______，i4n＋2＝___，i4n＋3＝_____，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝_____(n∈Z)． 四、平面向量基本定理 1、如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1， λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.A、B、C三点共线，则存在 R , PCPBPA __________  3.若 ABC 中， DCBD  ,则 ACABAD ______  若D为 BC的中点,则 ACABAD ______  ；若D为靠近 C的三等分点,则 ACABAD ______  . 4．向量 a 与 b 的夹角 已知两个非零向量 a 和 b.作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．当θ＝0° 时，a 与 b_____；当θ＝180°时，a 与 b_____．如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_______. 5．平面向量的数量积 (1)若 a，b 为非零向量，夹角为θ，则 a·b＝__________.(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝_________. (3)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_________的乘积． 6．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)(向量共线定理)⇔______________(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________ 7．利用数量积求长度 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝_________.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→ |＝_____________________. 8．利用数量积求夹角 设 a，b 为非零向量，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝_________＝_____________________. 9．三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O为△ABC所在平面上一点，角 A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，则： (1)O为△ABC的外心⇔|OA→ |＝|OB→ |＝|OC→ |＝_________.(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝_________. (3)O为△ABC的垂心⇔OA→ ·OB→＝OB→ ·OC→＝OC→ ·OA→ . (4)若 )( AC AC AB ABAP   (λ∈(0，＋∞))，则点 P的轨迹过△ABC 的________; 10．平面向量数量积的几何意义 4 设 a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，AB → ＝a，CD → ＝b，过AB → 的起点 A和 终点 B，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1 → ，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 的 投影，A1B1 → 叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量，记为|a|cos θ·e. 五、计数原理 1．排列：(1)排列的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取 出 m个元素的排列数，用 表示． (3)排列数公式：Amn＝ (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个元素的一个全排列， Ann＝ ＝ .排列数公式写成阶乘的形式为 Amn＝ ，这里规定 0！＝ . 2．组合：(1)组合的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中 取出 m个元素的组合数，用 表示． (3)组合数的计算公式：Cmn＝ ＝ ＝ ，由于 0！＝1，所以 C0n＝ . (4)组合数的性质：①Cmn＝ ；②Cmn＋1＝ . 3．二项式定理：(a＋b)n＝ (n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫 做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1表示，即展开式的第 k＋1项：Tk＋1＝ . 4．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . (2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为 Ckn，当 k< n＋1 2 时，二项式系数是递增的；当 k>n＋1 2 时，二项式系数是递减的．当 n是偶数时，那么其展开式中间一项 的二项式系数最大．当 n是奇数时，那么其展开式中间两项 和 的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn ＝ .二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n ＋C2n＋C4n＋…＝ . 5 数学考前回扣（一） 基础五小题 基本题型 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 题型一 集合逻辑 例题 1 （1）已知集合 }0 1 4{     x xxM ， }06{ 2  xxxN ，则M N =（ ） A． }42{  xx B． }42{  xx C． }31{  xx D． }31{  xx （2）命题：x≥1，x2＋5x≥6的否定是（ ） A．x≥1，x2＋5x＜6 B．x≥1，x2＋5x＜6 C．x＜1，x2＋5x＜6 D．x＜1，x2＋5x≥6 （3）（多选）“关于 x的不等式 x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 2 D．a≥0 题型二 不等式 例题 2 （1）已知 a>0，b>0，且 2a+b=ab，则 a+2b的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 （2）（多选）已知 a b c d, ,, 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 ,a b c d  ，则 ac bd B．若 0, 0ab bc ad   ，则 0 c d a b   C．若 , ,a b c d  则 a d b c   D．若 , 0,a b c d   则 a b d c  6 题型三 平面向量 例题 3 （1）设向量 (3, 1)a    ， ( 2 3)b m m   ， ，若 ( )a a b     ，则m （ ） A． 2 3 B．1 C． 7 D． 3 5 - （2）已知平面向量 a  ，b  满足  3,1a  ， 3b  ， 13a b   ，则 a与b的夹角为（ ） A． 2π 3 B． π 3 C． π 4 D． π 6 （3）已知 P是边长为 2的正六边形 ABCDEF内的一点，则 AP AB   的取值范围是（ ） A. ( )2,6 B. ( 6, 2) C. ( 2, 4) D. ( 4,6) 7 题型四 复数 例题 4 （1）复数 1 3i 2 3 i 1 i z     （i为虚数单位）的共轭复数 z （ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 2i D. 1 2i （2）(多选)若复数 z满足 (1 2 ) 10z i  ，则（ ） A. 2 4z i  B. 2z  是纯虚数 C.复数 z在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数 z在复平面内对应的点在角 的终边上， 5sin 5  则 （3）（多选）已知复数  21 iz a a   ， i为虚数单位， a R ，则下列正确的为（ ） A．若 z是实数，则 1a   B．复平面内表示复数 z的点位于一条抛物线上 C． 3 2 z  D．若 2 1z z  ，则 1a   8 题型五 计数原理 例题 5 （1）为调查新冠疫苗接种情况，需从 5名志愿者中选取 3人到 3个社区进行走访调查，每个社区 1人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 （2）（多选）已知 7 2 ax x      的展开式中各项系数的和为 1，则下列结论正确的有（ ） A． 1a  B．展开式中二项式系数之和为 256 C．展开式中常数项为 560 D．展开式系数的绝对值的和为 73 （3）若多项式   2 10 9 10 0 1 9 101 ( 1) ( 1)x x a a x a x a x         ，则 3a （ ） A. 56 B. 120 C. 56 D. 120 9 数学考前回扣（一） 基础五小题 测试 集合逻辑、不等式、平面向量、复数、计数原理 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题 1．已知集合  2 3 2 0A x x x    ，  2 4 6B y y x x    ，则 A B  （ ） A． ( ,1] [2, )   B．[2, ) C．[1, 2] D．{2} 2．“直线 l与直线m没有公共点”是“ l m∥ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数 1( ) ( 2) 2 f x x x x     在 x a 处取最小值，则a等于（ ） A．3 B．1 3 C．1 2 D．4 4．已知 2a   ， 1b   ，    2 1a ab b      ，则 a与b的夹角为（ ） A． 6  B． 4  C． 2  D． 3 4  5．如图所示，在正方形 ABCD中， E为 AB的中点， F 为CE的中点，则 AF   （ ） A． 3 1 4 4 AB AD   B． 1 3 4 4 AB AD   C． 1 2 AB AD   D． 3 1 4 2 AB AD   二、多选题 6．已知复数 2 1 i z    ，则（ ） A． 2z  B． z的虚部为-1 C． 2z 为纯虚数 D． z在复平面内对应的点位于第一象限 三、填空题 7．已知向量 (2 3,3)a    ， (3, 5)b    ，若 //a b   ，则 ______． 8．若 2 1( )nx x x  展开式中第 5项为常数项，则n ________； 10 9．在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排A、 B、C、D、E共 5个人在 5天中值班，每天 1人， 每人值班 1天，但 4月 28日时接到通知A、 B员工必需出差，故调整为每天 1人，每人至少值班 1天， 现在只有C、D、 E共 3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）． 10．在菱形 ABCD中， 2AB  ， 60BAD  ，BD与 AC交于点 O，点 E，F分别是线段 AO，CD的中点， 则 BE AF    ______． 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基础知识 一、数列的有关概念 (1)若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小 关系 递增数列 an＋1 an 其中n∈N* 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1 an 二、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列： an－an－1＝d (常数)(n≥2，n∈N*) 或 an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ . 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ 或 Sn＝ . 3．等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广：an＝ (n，m∈N*)． (2) 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则 . (3) 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈N*)是公差为 的等差数列． (4) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公差为 的等差数列． (5) S2n－1＝(2n－1)an. (6) 等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，公差为 ． 三、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时， . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ ＝ 3．等比数列的性质 (1) 通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2) 对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则 . 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (3) 若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列 (m为偶数且q＝－1除外)． (4) 在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5) 若或则等比数列{an}递增． 若或 则等比数列{an}递减． 四、数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 2．裂项相消法 ①＝ ②＝ ③＝ ④＝ ⑤loga＝ 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 数列的前n项和 ，其中 . 五、柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 圆柱 棱锥 棱台 圆锥 圆台 球 补充： （1）正四面体：四个全等正三角形围成的空间封闭图形. （2）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心 （3）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱 （4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 六、平行、垂直关系 线 面 平 行 判定定理 性质定理 面 面 平 行 判定定理 性质定理 面 面 垂直 判定定理 性质定理 线 面 垂直 判定定理 性质定理 几个重要结论： (1)若a⊥α，a⊥β，则 . (2) 若α∥β，β∥γ，则 . (3)若α∥β，a⊂α，则 . （4）若a⊥α，b⊥α，则 . （5）若a∥b，a⊥α，则 . 七、用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α ⇔ ⇔ ⇔ . （补充：解答题要写） (2)线面垂直 l⊥α ⇔ ⇔ ⇔ . （补充：也可以直线l的方向向量垂直平面α内的两条相交向量） (3)面面平行 α∥β ⇔ ⇔ ⇔ . (4)面面垂直 α⊥β ⇔ ⇔ ⇔ . 八、用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ 满足 ＝ |cos〈a，b〉 |(其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ满足 ＝ |cos〈a，n〉| (其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)二面角α－l－β的平面角为θ， ＝ |cos〈n1，n2〉| (其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 九、求点P到平面α的距离 （1）等体积法： （2）向量法： 十、注意事项 1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α. 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数. 3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件． 4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系． 5．几种角的范围 两条异面直线所成的角： ； 直线与平面所成的角： ； 二面角： . 6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基本题型 题型一：数列的概念及其简单表示法 1． 记为数列的前项和，若，则_____________． 2． 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（       ） A． B． C． D． 3．（2020·全国文）数列满足，前16项和为540，则 ______________. 题型二：等差等比数列及其求和 4.（2019全国理）记为等比数列{}的前n项和．若，则S5=____________． 5．（2019·全国理）记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 6．（2021全国乙卷文19）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 题型三：空间几何体表面积和体积 7．用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（       ） A． B． C． D． 8．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（       ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点M在上，且，P为线段上的点，则(       ) A．平面 B．当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为 C．存在点P，使得 D．存在点P，使得三棱锥的体积为 题型四：立体几何解答题 10．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2 (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1. 设为等差数列的前项和，若，，则（       ） A． B． C． D． 2．（2020文）记为等比数列{}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．–1 B．2– C．2– D．–1 3． （2019文）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（       ） A．16 B．8 C．4 D．2 4． 已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（       ） A．64π B．128π C．40π D．80π 5.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（       ） A． B． C． D． 二、多选题（1小题） 6．如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（       ） A． B．平面 C．与平面ABCD所成角的余弦值为 D．四棱锥的体积为 四、填空题（4小题） 7. 数列中，，，若数列是等差数列，则__________． 8. 已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____. 9. 一个与球心距离为的平面截球所得的圆周长为，则球的表面积为___________. 10. α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基础知识 一、数列的有关概念 (1)若已知数列{an}的前 n项和为 Sn，则 an＝ S1n＝1， Sn－Sn－1n≥2. (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间 的大小 关系 递增数列 an＋1 an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1 an 二、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列： an－an－1＝d (常数)(n≥2，n∈N*) 或 an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与 b的等差中项，且有 A＝ . 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前 n项和公式：Sn＝ 或 Sn＝ . 3．等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广：an＝ (n，m∈N*)． (2) 若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则 . (3) 若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈N*)是公差为 的等差数列． (4) 数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公差为 的等差数列． (5) S2n－1＝(2n－1)an. (6) 等差数列{an}的前 n项和为 Sn，       n Sn 为等差数列，公差为 ． 三、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列：an＋1 an ＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项， 此时， . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前 n项和公式： Sn＝ ＝ 2 3．等比数列的性质 (1) 通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2) 对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 . 特别地，若 m＋n＝2p，则 am·an＝a2p. (3) 若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列 (m为偶数且 q＝－1除外)． (4) 在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列， 公比为 qk. (5) 若 a1>0， q>1 或 a1<0， 0<q<1， 则等比数列{an}递增． 若 a1>0， 0<q<1 或 a1<0， q>1， 则等比数列{an}递减． 四、数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和 后相加减． (2)形如 an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 2．裂项相消法 ① 1 nn＋1 ＝ ② 1 nn＋2 ＝ ③ 1 2n－12n＋1 ＝ ④ 1 n＋ n＋1 ＝ ⑤loga        n 11 ＝ 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即 可用此法来求，如等比数列的前 n项和公式就是用此法推导的． 数列   1nna kn b q    的前 n项和 ，其中 . 3 五、柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 圆柱 棱锥 棱台 圆锥 圆台 球 补充：（1）正四面体：四个全等正三角形围成的空间封闭图形. （2）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心 （3）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱 （4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 六、平行、垂直关系 线 面 平 行 判定 定理 性质 定理 面 面 平 行 判定 定理 性质 定理 面 面 垂 直 判定 定理 性质 定理 线 面 垂 直 判定 定理 性质 定理 4 几个重要结论： (1)若 a⊥α，a⊥β，则 . (2) 若α∥β，β∥γ，则 . (3)若α∥β，a⊂α，则 . （4）若 a⊥α，b⊥α，则 . （5）若 a∥b，a⊥α，则 . 七、用空间向量证明平行、垂直 设直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为 u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α ⇔ ⇔ ⇔ . （补充：解答题要写 l  ） (2)线面垂直 l⊥α ⇔ ⇔ ⇔ . （补充：也可以直线 l的方向向量垂直平面α内的两条相交向量） (3)面面平行 α∥β ⇔ ⇔ ⇔ . (4)面面垂直 α⊥β ⇔ ⇔ ⇔ . 八、用向量求空间角 (1)直线 l1，l2的夹角θ 满足 ＝ |cos〈a，b〉 |(其中 a，b 分别是直线 l1，l2的方向向量)． (2)直线 l与平面α的夹角θ满足 ＝ |cos〈a，n〉| (其中 a 是直线 l的方向向量，n 是平面α的法向量)． (3)二面角α－l－β的平面角为θ， ＝ |cos〈n1，n2〉| (其中 n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 九、求点 P 到平面α的距离 （1）等体积法： （2）向量法：  ,PA nd A n n       为平面的法向量 十、注意事项 1．混淆“点 A在直线 a上”与“直线 a在平面α内”的数学符号关系，应表示为 A∈a，a⊂α. 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易 漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数 1 3 . 3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致 判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出 m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m⊂α 的限制条件． 4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后， 再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系． 5．几种角的范围 两条异面直线所成的角： ； 直线与平面所成的角： ； 二面角： . 6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二 面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 5 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基本题型 题型一：数列的概念及其简单表示法 1．记 nS 为数列 na 的前 n项和，若 2 1n nS a  ，则 6S _____________． 2．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元 1584年），他写成《律 学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在 1和 2之间插入 11个数，使包含 1和 2的这 13个数依次成递增的等比数列，则插入的第 8个数为（ ） A．19 12 B． 3 4 C． 5 3 D． 12128 3．（2020·全国文）数列{ }na 满足 2 ( 1) 3 1 n n na a n     ，前 16项和为 540，则 1a  ______________. 6 题型二：等差等比数列及其求和 4.（2019全国理）记��为等比数列{��}的前 n项和．若 2 1 4 6 1 3 a a a ， ，则 S5=____________． 5．（2019·全国理）记 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和．已知 4 50 5S a ， ，则 A． 2 5na n  B．   3 10na n  C． 22 8nS n n  D． 21 2 2n S n n  6．（2021全国乙卷文 19）设 �� 是首项为 1的等比数列，数列 �� 满足�� = ��� 3 ．已知�1，3�2，9�3成等 差数列． （1）求 �� 和 �� 的通项公式； （2）记��和��分别为 �� 和 �� 的前 n项和．证明：�� < �� 2 ． 7 题型三：空间几何体表面积和体积 7．用半径为 2，弧长为2 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ） A． 3 B． 3 3  C． 2 3 3  D． 4 8．已知 ABC 是面积为 3 3 4 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为 32 3  ，则O到 平面 ABC的距离为（ ） A． 3 B． 3 2 C．1 D． 3 2 9．（多选）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面是边长为 2的正三角形， 1 3AA  ，点 M在 1BB 上，且 1 1 2 BM MB ，P为线段 1C M 上的点，则( ) A． 1C M 平面 AMC B．当 P为 1C M 的中点时，直线 AP与平面 ABC所成角的正切值为 2 3 3 C．存在点 P，使得CP AM D．存在点 P，使得三棱锥 P AMC 的体积为 3 3 4 8 题型四：立体几何解答题 10．如图 1，在 ABC 中， 90C  ， 3BC  ， 3AC  ，E是 AB的中点，D在 AC上，DE AB .沿着DE 将 ADE 折起，得到几何体 A BCDE ，如图 2 (1)证明：平面 ABE 平面 BCDE； (2)若二面角 A DE B  的大小为60，求直线 AD与平面 ABC所成角的 正弦值. 9 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1. 设 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 2 43S S S  ， 1 2a  ，则 5a （ ） A． 12 B． 10 C．10 D．12 2．（2020文）记��为等比数列{��}的前 n项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 n n S a =（ ） A．2�–1 B．2–21−� C．2–2�−1 D．21−�–1 3．（2019文）已知各项均为正数的等比数列 na 的前 4项和为 15，且 5 3 13 4a a a  ，则 3a （ ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．已知三棱锥 S ABC 中，平面 SAC 平面 ABC，且 AB AC ， 30SCA  ，若 4AB SA  ，则三棱锥 S ABC 外接球的表面积为（ ） A．64π B．128π C．40π D．80π 5.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数 )(n （n N ） 的函数值等于所有不超过正整数 n且与 n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有 1），例 如：  1 1  ；  3 2  （与 3互素有 1､2）；  9 6  （与 9互素有 1､2､4､5､7､8）.记 nS 为数列   3nn  的 前 n项和，则 10S =（ ） A． 10 19 13 2 2   B． 10 21 13 2 2   C． 11 19 33 4 4   D． 11 21 13 4 4   10 二、多选题（1小题） 6．如图所示，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1 1 1 1AC B D O  ，以顶点 A为端点的三条棱长都为 1，且 1 1 60BAD DAA BAA    ，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2BD  B． 1 //CO 平面 1BDA C． 1AA与平面 ABCD所成角的余弦值为 3 3 D．四棱锥 1B ABCD 的体积为 6 3 四、填空题（4小题） 7. 数列 na 中， 3 2a  ， 7 1a  ，若数列 1 1na      是等差数列，则 8a  __________． 8. 已知数列 *{ }( )na nN 是等差数列， nS 是其前 n项和.若 2 5 8 90, 27a a a S   ，则 8S 的值是_____. 9. 一个与球心距离为 3的平面截球所得的圆周长为 2 6 ，则球的表面积为___________. 10. α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. （3）如果α∥β，m α，那么 m∥β. （4）如果 m∥n，α∥β，那么 m与α所成的角和 n与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基本题型 参考答案 1． 2．B 【详解】在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，设公比为 ，则 ，故 ，故 3． 解析： 当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为， ，. 4． 5．A 6．（1），；【详解】（2）证明：由（1）可得， ，①，② ①②得 ， 所以，所以，所以. 7．B 8．A 9．BD 【详解】对于A，假设平面，则AC，易知⊥AC，∩，故AC⊥平面，故AC⊥BC，这与∠ACB=60°矛盾，故假设不成立，故A错误； 对于B，当P为的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN， 易知PN∥，⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，故∠PAN即为AP与平面ABC所成角， 则tan∠PAN=，故B正确； 对于C，取BC中点为N，连接AN、NM， 由AN⊥BC，AN⊥知AN⊥平面，故AN⊥CP， 若，∵AN∩AM=A，则CP⊥平面AMN，则CP⊥MN， 过C作CG∥MN交于G，则CP⊥CG，即∠PCG=90°，易知∠PCG不可能为90°，故不存在P使得，故C错误； 对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN⊥平面，AN=， 若三棱锥的体积为， 则， ∵ ， 故存在P使时，三棱锥的体积为，故D正确． 10．(1)证明：因为在图1中，沿着将折起， 所以在图2中有，，又， 所以平面，又因为平面，所以平面平面； (2)解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角， 所以，又因为，所以是等边三角形，连接， 在图1中，因为，，所以， 因为是的中点，所以，所以是等边三角形. 取的中点，连接，，则，， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建系，如图所示. ，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即 取，得平面的一个法向量为， 所以. 设直线与平面所成角为，则. 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 测试 参考答案 1．B 2．B设等比数列的公比为， 由可得：， 所以，因此. 3．C 4．D 由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图， 则三棱柱的外接球即为所求. 设外接球的球心为，则的外心为，则， 又，则外接球的半径，表面积， 5．A 因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，于是①， ②， 由①-②得， 则.于是. 6．ABC【详解】如图所示： 记，，，则，， ∴． 对于A选项，，∴，即，故A选项正确； 对于B选项，连接AC，BD，设，连接，，则由平行六面体可知 ，∴四边形是平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面，故B选项正确； 对于C选项，过点作平面ABCD于点M，易知点M在线段AC上，所以与平面ABCD所成的角为．过点M作于点N，连接，MN，则．在中，，，∴．在RtAMN中，，，∴，∴，故C选项正确； 对于D选项，易得在中，，因为平面ABCD，所以，故D选项错误， 7． 解析：设数列的公差为，因为，则，所以， 所以，因此，解得.故答案为: 8．16. 解析：由题意可得：， 解得：，则. 9．36π 解析：因为截面圆的周长为，所以截面圆的半径为：, 又因为球心到截面的距离为，所以球的半径为：， 所以球的表面积为，故答案为：36π 10．②③④ 试题分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误； ②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确； ③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确 ④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（三） 数列、立体几何 基础知识 一、数列的有关概念 (1)若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小 关系 递增数列 an＋1 > an 其中n∈N* 递减数列 an＋1 < an 常数列 an＋1 ＝ an 二、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列： an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) 或 an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d 或 Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)． (2) 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3) 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公差为m2d的等差数列． (5) S2n－1＝(2n－1)an. (6) 等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，公差为． 三、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 (1) 通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2) 对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (3) 若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列 (m为偶数且q＝－1除外)． (4) 在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5) 若或则等比数列{an}递增． 若或 则等比数列{an}递减． 四、数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 2．裂项相消法 ①＝－. ②＝ ③＝ . ④＝－. ⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 数列的前n项和，其中. 五、柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S＝2S底＋S侧 V＝S底·h 圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l 棱锥 由若干个三角形构成 S＝S底＋S侧 V＝S底·h 棱台 若干个梯形构成 圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h 圆台 扇环 球 S＝4πr2 V＝πr3 补充： （1）正四面体：四个全等正三角形围成的空间封闭图形. （2）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心 （3）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱 （4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 六、平行、垂直关系的转化示意图 线 面 平 行 判定定理 ⇒l∥α 性质定理 ⇒l∥b 面 面 平 行 判定定理 ⇒α∥β 性质定理 ⇒a∥b 线 面 垂直 判定定理 ⇒l⊥α 性质定理 ⇒a∥b 面 面 垂直 判定定理 ⇒α⊥β 性质定理 ⇒l⊥α 几个重要结论： (1) 若a⊥α，a⊥β，则 α∥β. (2)若α∥β，β∥γ，则 α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. （4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b. （5）若a∥b，a⊥α，则b⊥α. 七、用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α ⇔ a⊥u ⇔ a·u ＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. （补充：解答题要写） (2)线面垂直 l⊥α ⇔ a∥u ⇔ a＝ku ⇔ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. （补充：也可以直线l的方向向量垂直平面α内的两条相交向量） (3)面面平行 α∥β ⇔ u∥v ⇔ u＝λv ⇔ a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 ⇔ a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 八、用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ 满足 cos θ ＝ |cos〈a，b〉 |(其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ满足 sin θ ＝ |cos〈a，n〉| (其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)二面角α－l－β的平面角为θ，|cos θ| ＝ |cos〈n1，n2〉| (其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 九、求点P到平面α的距离 （1）等体积法： （2）向量法： 十、注意事项 1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α. 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数. 3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件． 4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系． 5．几种角的范围 两条异面直线所成的角：0°<α≤90°； 直线与平面所成的角：0°≤α≤90°； 二面角：0°≤α≤180°. 6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基础知识 参考答案 1．角的概念 (1)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (2)终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}． (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}． (3)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}． 3．角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad. (2)1 rad＝°. 4．扇形的弧长和面积 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 相关公式：(1)l＝|α|r. (2)S＝lr＝|α|r2. 5．利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y.(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x. (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 6．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±. (2)商的关系：＝tan α. 7.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 8．三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R 零点 {x|x＝kπ，k∈Z} {x|x＝＋kπ，k∈Z} {x|x＝kπ，k∈Z} 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间 ,(k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) ，(k∈Z) 减区间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 对称性 对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0) (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 9．准确记忆三角函数六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 10．三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝， tan(α－β)＝. (2)二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， tan 2α＝. (3)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝. (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 11．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 12．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 14.解三角形常用结论 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5)△ABC中，若 A>B，则a>b，则sinA>sin B（大边对大角，大角对大边）； (6)在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC； (7)当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，则三角形为直角三角形； 当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，则三角形为钝角三角形． 14．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式 P(A)＝. (2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)对立事件的概率计算公式 P()＝1－P(A)． (4)条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．　 (5)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝．15．统计中四个数据特征 (1)众数： ①在样本数据中，出现次数最多的那个数据． ②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标． （2） 中位数： ①在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ②频率分布直方图中，把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 (3)第p百分位数：使得这组数据至少p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. (4)平均数： ①样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)． ②频率分布直方图中，平均数是频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加. (5)方差与标准差：反应样本数据的分散程度． 方差： 标准差： 极差：最大值—最小值 一组有m个数据的平均数为，方差为，另一组有n个数据的平均数为，方差为，则混合数据的平均数为________________.，方差为_______________________________________. 16．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)均值公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)均值的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np； ③若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为. (5)方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)； ③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)独立重复试验的概率计算公式 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. （8） 超几何分布概率计算公式 17．线性回归 (1)线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)，其中 (2)相关系数r具有如下性质： ①|r|≤1； ②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强； ③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱． （3） 相关指数越大，拟合效果越好． （4） 残差平方和，残差平方和 越小 ，模型拟合效果越好． 18．独立性检验 利用随机变量K2＝(n＝a＋b＋c＋d)来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． 19．正态分布 如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．其中μ近似为均值，σ近似为标准差 满足正态分布的三个基本概率的值是 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基础知识 1．角的概念 (1)象限角：使角的顶点与____重合，角的始边与____________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (2)终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：_____________．(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：____________． (3)终边在坐标轴上的角的集合：____________________． 3．角度制与弧度制的换算 (1)1°＝_____ rad. (2)1 rad＝_____. 4．扇形的弧长和面积 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝____. 相关公式：(1)l＝_____. (2)S＝lr＝_______. 5．利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝___. (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝___.(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝___(x≠0)． 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α tan α 三个三角函数的性质如表： 6．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝_____________. (2)商的关系：＝___________________. 7.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 ：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)函数y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 8．三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 值域 零点 最小正周期 奇偶性 单调性 增区间 减区间 对称性 对称轴 对称中心 9．准确记忆三角函数六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α 余弦 cos α 正切 tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 10．三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝_____________________， cos(α－β)＝_____________________， sin(α＋β)＝_____________________， sin(α－β)＝_____________________， tan(α＋β)＝_____________________， tan(α－β)＝_____________________. (2)二倍角公式：sin 2α＝______________， cos 2α＝______________＝______________＝______________，tan 2α＝______________. (3)降幂公式：sin2α＝___________，cos2α＝______________. (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 11．正弦定理及其变形：＝________＝________＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝________________. 12．余弦定理及其推论、变形：a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________. 推论：cos A＝________________，cos B＝________________， cos C＝________________. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 13.解三角形常用结论 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝__________＝______________； (3)S＝________________(r为三角形内切圆半径)． (4)两边之和______第三边，两边之差______第三边； (5)△ABC中，若 A>B，则a____b，则sinA____sin B（大边对大角，大角对大边）； (6)在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=_______；cos(A+B)=______；tan(A+B)=_______； _________;________. (7)当b2＋c2－a2＞0时，角A为____，若可判定其他两角也为_____，则三角形为______三角形； 当b2＋c2－a2＝0时，角A为_____，则三角形为_____三角形； 当b2＋c2－a2＜0时，角A为_____，则三角形为______三角形． 14．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式： P(A)＝ . (2)互斥事件的概率计算公式： P(A∪B)＝ ＋ (3)对立事件的概率计算公式： P()＝1－ (4)条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．　 (5)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝． 15．统计中四个数据特征 (1)众数：①在样本数据中，出现次数最多的那个数据． ②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：①在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ②频率分布直方图中，把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标. (3)第p百分位数：使得这组数据至少p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值. (4)平均数：①样本数据的算术平均数，即＝ ． ②频率分布直方图中，平均数是频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加. (5)方差与标准差：反应样本数据的分散程度． 方差：s2＝ =_______________;标准差：s＝ . 极差： . 一组有m个数据的平均数为，方差为，另一组有n个数据的平均数为，方差为，则混合数据的平均数为________________.，方差为_______________________________________. 16．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ . (2)均值公式：E(X)＝ . (3)均值的性质：①E(aX＋b)＝ ；②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ； ③若X服从两点分布，则E(X)＝ . (4)方差公式：D(X)＝ ，标准差为. (5)方差的性质：①D(aX＋b)＝ ；②若X～B(n，p)，则D(X)＝ ； ③若X服从两点分布，则D(X)＝ ． (6)独立事件同时发生的概率计算公式：P(AB)＝ ． (7)独立重复试验的概率计算公式：P(X＝k)＝ . (8)超几何分布概率计算公式：P(X＝k)＝ 17．线性回归 (1)线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)，其中 (2)相关系数r具有如下性质： ①|r|≤1；②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越 ；③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越 ． (3)相关指数越大，拟合效果越 ． (4)残差平方和，残差平方和 ，模型拟合效果越好． 18．独立性检验: 利用随机变量K2＝(n＝a＋b＋c＋d)来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． 19．正态分布: 如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．其中μ近似为 ，σ近似为 满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ ；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈ ；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈ . 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基本题型 例题1. (1)已知，且，则（       ） A． B． C． D． （2）（多选题）已知函数，则真命题有（       ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像关于点中心对称 C．是函数图像的一条对称轴 D．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像 例题2.的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 例题3.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 例题4.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升． 1至5月，其售价（元/只）如下表所示： 月份x 售价y（元/只） 1 1.2 2 2.8 3.4 (1)请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程； (2)某人计划在六月购进一批防护口罩， 经咨询届时将有两种促销方案： 方案一：线下促销优惠．采用到店手工“摸球促销”的方式．其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠． 方案二：线上促销优惠．与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛．客户和机器人每次同时、随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．手势相同视为平局，不分胜负．客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠． 请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠． 参考公式：，，其中，． 参考数据：，，，． 例题5. 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图： （I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求. 附： 若则，. 例题6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望. 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在以下四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（       ） A． B． C． D． 2．（       ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（       ） A． B． C． D． 4．若，则（       ） A． B． C． D． 5．下列区间中，函数单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 二、多选题（1小题） 6．中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（       ） A．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于 B．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高 C．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数 D．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差 四、填空题（4小题） 7．若某商品的广告费支出x(单位：万元）与销售额y(单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为=x+1.5，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为________万元. 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 9．已知，tanα=2，则=______________． 10．函数的最小值为_____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基础知识 1．角的概念 (1)象限角：使角的顶点与____重合，角的始边与____________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这 个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (2)终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S=____________________， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．几种特殊位置的角的集合 (1)终边在 x轴非负半轴上的角的集合：_____________．(2)终边在 x轴非正半轴上的角的集合：____________． (3)终边在坐标轴上的角的集合：____________________． 3．角度制与弧度制的换算 (1)1°＝_____ rad. (2)1 rad＝_____. 4．扇形的弧长和面积 如果半径为 r的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝____. 相关公式：(1)l＝_____. (2)S＝1 2 lr＝_______. 5．利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作 sin α，即 sin α＝___. (2)x叫做α的余弦，记作 cos α，即 cos α＝___.(3)y x 叫做α的正切，记作 tan α，即 tan α＝___(x≠0)． 三个三角函数的性质如表： 6．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝_____________. (2)商的关系：sin α cos α ＝___________________. 7.函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 ：设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π 2 ，π，3π 2 ， 2π，求出相应的 x的值与 y的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的 零点或最值点作为解题突破口． (3)函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径． 三角 函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α tan α 2 8．三种三角函数的图象和性质 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x 图象 定义域 值域 零点 最小正周期 奇偶性 单 调 性 增区间 减区间 对 称 性 对称轴 对称中心 9．准确记忆三角函数六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin α 余弦 cos α 正切 tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 10．三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝_____________________， cos(α－β)＝_____________________， sin(α＋β)＝_____________________， sin(α－β)＝_____________________， tan(α＋β)＝_____________________， tan(α－β)＝_____________________. (2)二倍角公式：sin 2α＝______________， cos 2α＝______________＝______________＝______________，tan 2α＝______________. (3)降幂公式：sin2α＝___________，cos2α＝______________. (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝b a . 3 11．正弦定理及其变形： a sin A ＝________＝________＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R . a∶b∶c＝________________. 12．余弦定理及其推论、变形：a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________. 推论：cos A＝________________，cos B＝________________， cos C＝________________. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 13.解三角形常用结论 (1)S＝1 2 a·ha(ha表示边 a上的高)；(2)S＝ 1 2 absin C＝__________＝______________； (3)S＝________________(r为三角形内切圆半径)． (4)两边之和______第三边，两边之差______第三边； (5)△ABC中，若 A>B，则 a____b，则 sinA____sin B（大边对大角，大角对大边）； (6)在△ABC中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=_______；cos(A+B)=______；tan(A+B)=_______；   2 sin BA _________;  2 cos BA ________. (7)当 b2＋c2－a2＞0时，角 A为____，若可判定其他两角也为_____，则三角形为______三角形； 当 b2＋c2－a2＝0时，角 A为_____，则三角形为_____三角形； 当 b2＋c2－a2＜0时，角 A为_____，则三角形为______三角形． 14．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式： P(A)＝ . (2)互斥事件的概率计算公式： P(A∪B)＝ ＋ (3)对立事件的概率计算公式： P( A )＝1－ (4)条件概率：一般地，设 A，B为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝PAB PA 为在事件 A发生的条 件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率．两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝nAB nA ；②概率的乘法 公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (5)全概率公式：一般地，设 A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，i ＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝ �=1 � �(Ai)P(B|Ai) ． 15．统计中四个数据特征 (1)众数：①在样本数据中，出现次数最多的那个数据． ②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：①在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数 据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ②频率分布直方图中，把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标. 4 (3)第 p百分位数：使得这组数据至少 p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等 于这个值. (4)平均数：①样本数据的算术平均数，即 x ＝ ． ②频率分布直方图中，平均数是频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加. (5)方差与标准差：反应样本数据的分散程度． 方差：s2＝ =_______________;标准差：s＝ . 极差： . 一组有 m个数据的平均数为 x ，方差为 21s ，另一组有 n个数据的平均数为 y，方差为 2 2s ，则混合数据的 平均数为________________.，方差为_______________________________________. 16．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ . (2)均值公式：E(X)＝ . (3)均值的性质：①E(aX＋b)＝ ；②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝ ； ③若 X服从两点分布，则 E(X)＝ . (4)方差公式：D(X)＝ ，标准差为 DX. (5)方差的性质：①D(aX＋b)＝ ；②若 X～B(n，p)，则 D(X)＝ ； ③若 X服从两点分布，则 D(X)＝ ． (6)独立事件同时发生的概率计算公式：P(AB)＝ ． (7)独立重复试验的概率计算公式：P(X＝k)＝ . (8)超几何分布概率计算公式：P(X＝k)＝ 17．线性回归 (1)线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 一定过样本点的中心( x ， y )，其中 (2)相关系数 r具有如下性质： ①|r|≤1；②|r|越接近于 1，x，y的线性相关程度越 ；③|r|越接近于 0，x，y的线性相关程度越 ． (3)相关指数 2R 越大，拟合效果越 ． (4)残差平方和   n i ii yy 1 2)ˆ( ，残差平方和 ，模型拟合效果越好． 18．独立性检验: 利用随机变量 K2＝ nad－bc 2 a＋bc＋da＋cb＋d (n＝a＋b＋c＋d)来判断“两个分类变量有关 系”的方法称为独立性检验．如果 K2的观测值 k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． 19．正态分布: 如果随机变量 X服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．其中μ近似为 ，σ近似为 满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ ；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈ ；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈ . 5 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基本题型 例题 1. (1)已知   π( )0, ，且3cos2 8cos 5   ，则 sin （ ） A． 5 3 B． 2 3 C． 1 3 D． 5 9 （2）（多选题）已知函数 π( ) sin 2 3 f x x      ，则真命题有（ ） A．函数 ( )f x 的最小正周期为 π B．函数 ( )f x 的图像关于点 π ,0 3       中心对称 C． π 12 x   是函数 ( )f x 图像的一条对称轴 D．将函数 ( ) cos2g x x 的图像向右平移 5π 12 个单位后得到函数 ( )f x 的图像 例题 2. ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知 sin sin 2 A Ca b A  ． （1）求 B； （2）若 ABC 为锐角三角形，且 1c  ，求 ABC 面积的取值范围． 6 例题 3.如图所示，在平面四边形 ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7 . （1）求 cos∠CAD的值； （2）若 cos∠BAD＝－ 7 14 ，sin∠CBA＝ 21 6 ，求 BC的长． 例题 4.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升． 1至 5月，其售价（元/只）如下表所 示： 月份 x 1 2 3 4 5 售价 y（元/只） 1 1.2 2 2.8 3.4 (1)请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到 0.01）说明该组数据中 y与 x之间的关系可用线性回归模 型进行拟合，并求 y关于 x的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； (2)某人计划在六月购进一批防护口罩， 经咨询届时将有两种促销方案： 方案一：线下促销优惠．采用到店手工“摸球促销”的方式．其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个 完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色 的享受八折优惠，其余的均九折优惠． 方案二：线上促销优惠．与店铺网页上的机器人进行“石头、剪刀、布”视频比赛．客户和机器人每次同时、 随机、独立地选择“石头、剪刀、布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．手势 相同视为平局，不分胜负．客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受 7 九折优惠，其余八折优惠． 请用（1）中方程对六月售价进行预估，用 X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下 X的分布列和 数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠． 参考公式：           1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )( ) n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x x y y r x x y y x nx y ny                       ， ˆˆ ˆy bx a  ，其中       1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆâ y bx  ． 参考数据： 42.08 6.5 ， 2.08y  ，    5 1 6.4i i i x x y y     ，   5 2 1 4.208i i y y    ． 例题 5. 从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图 频率分布直方图： （I）求这 500件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z服从正态分布  2,N   ，其中  近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s . 8 （i）利用该正态分布，求  187.8 212.2P Z  ； （ii）某用户从该企业购买了 100件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位于区间  187.8, 212.2 的产品件数.利用（i）的结果，求 EX . 附： 150 12.2 若  2~ ,Z N   则   0.6826P Z        ，  2 2 0.9544P Z        . 例题 6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜 的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．假设各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以3: 0,3:1,3: 2胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为求3: 0或3:1，则胜利方得3分，对方得 0分；若比赛结果为3: 2，则胜利方得 2分、 对方得1分．求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 9 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 2 1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（ ,a b为待定系数）中，最能反映 ,x y函数关系的是（ ） A． y a bx  B． by a x   C． logby a x  D． xy a b  2． 2 2 π 5πcos cos 12 12  （ ） A． 12 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 3．已知 sin 3cos 3 6                 ，则 sin 2 的值是（ ） A． 2 3 B． 4 3 7 C． 2 3 D． 4 3 7  4．若 tan 2   ，则  sin 1 sin 2 sin cos        （ ） A． 6 5  B． 2 5  C． 2 5 D． 6 5 5．下列区间中，函数   7sin 6 f x x       单调递增的区间是（ ） A． 0, 2       B． , 2 π π     C． 3, 2      D． 3 ,2 2       10 二、多选题（1小题） 6．中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是 2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含 合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（ ） A． 2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于50% B．2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高 C．2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数 D． 2017至 2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差 四、填空题（4小题） 7．若某商品的广告费支出 x(单位：万元）与销售额 y(单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法求得 y关于 x的回归直线方程为 y =b x+1.5，据此预测，当投入 10万元时，销 售额的估计值为________万元. 8．记 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 3， 60B  ， 2 2 3a c ac  ，则b  ________． 9．已知 π0 2       ， ，tanα=2，则 cos(� − π 4 )=______________． 10．函数 3π( ) sin(2 ) 3cos 2 f x x x   的最小值为_____________. 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 基本题型 参考答案 例题1（1）.A（2）.ACD 例题2.(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有： . 又因,故，故.故的取值范围是 例题3．(1) (2)【详解】 （I）在中，由余弦定理得 (II)设 在中，由正弦定理，故 例题4.(1)相关系数，由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系．，，所以． (2)由（1）可知，，当时，，即6月预计售价为4元/只． X可取的值为2.8，3.2，3.6．若选优惠方案一， ；；； 2.8 3.2 3.6 此时.若选优惠方案二， 客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为，则不胜的概率为． ；；； 2.8 3.2 3.6 此时.，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一． 例题5．（I）；（II）（i）；（ii）． （I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为 ， ． （II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而 ． （ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以． 例题6.【详解】（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立， 故，， 所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，； （Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得 ,, , 故的分布列为 0 1 2 3 所以． 数学考前回扣（二） 三角、概率与统计 测试 参考答案 1．D 根据点在坐标系中的特征可以知道，当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；由图象不具有反比例函数特征，排除B； 因为自变量有负值，排除C； 当自变量增加到3时，y增加的很多，所以符合指数的增加特征，D正确，故选D. 2． D 由题意，.故选：D. 3．D ，整理得，，因此，.故选：D. 4．C将式子进行齐次化处理得： ．故选：C． 5．A因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得，取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件.故选：A. 6．ACD对于A，至年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确； 对于B，年国产影片占比为，年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；对于C，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确； 对于D，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D正确.故选：ACD. 7． 由题得， 所以=5+1.5，所以，所以=x+1.5，当时，.故答案为： 8． 由题意，，所以， 所以，解得（负值舍去）.故答案为：. 9． 由得，又，所以，因为，所以，因为，所以． 10．. ， ，当时，，故函数的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（五） 函数与导数 基本题型 参考答案 1．B【详解】由，得，所以， 所以，故选：B 2．B【详解】由，得，所以，由，得，故，所以.故选：B． 3．C【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C． 4．【详解】定义在R上函数的图象关于原点对称， 则，解之得，经检验符合题意，均为R上增函数，则为R上增函数，又，则不等式等价于，解之得，故答案为： 5． 【详解】解：因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得 6．B【详解】因为，，，所以. 7．A【详解】因为，，所以. 8．ABD【详解】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故， 所以，所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：ABD 9．C【详解】当时，，因为，所以舍去； 当时，或，满足.所以或. 函数的零点个数为2个.故选：C 10．（答案不唯一）【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，故当时，有一解，得，故答案为：（答案不唯一） 11．【详解】，，则切线方程为：，整理得：，12．4【详解】当时，，，得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，当时，，综上可知，函数的最小值是4. 故答案为：4 13．AB【详解】选项A：，在上单调递增，故正确； 选项B：，，存在唯一的零点，且，故正确；选项C：设切点为，的切线方程为， 代入原点得，解得，切线只有一条，故不正确；选项D：若与有两个交点，因为与相切的直线只有一条，且此切线斜率为， 当时，与有两个交点，故不正确.故选：AB. 14．【解析】(1)的定义域为，， ①当，即时，在递增． 在递减， ②当时，，在上递增． ③当，即时，在上，递增． 在上，递减． 综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为           当时，的单调递增区间为． 当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，由化简得， 构造函数，，在上递增， ， 故存在，使得，即． 当时，递减；当时，递增． 所以时取得极小值，也即是最小值． ， 所以，故． 数学考前回扣（五） 函数与导数 测试 参考答案 1．C【详解】定义域为R，又， 所以，且，故非奇非偶，A错误； 定义域为R，，所以为偶函数，B错误； 定义域为R，， 则为奇函数，又恒成立，所以在上单调递增；C正确；定义域为R，，则为奇函数， 又，当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，D错误，故选：C 2．D【详解】令，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，排除AB选项，当时，，则，排除C选项. 故选：D. 3．D【详解】由题得，，所以，故选：D． 4．D【详解】由题设知：，又是奇函数，所以，可得.故答案为： 5．C【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．故选：C． 6．ACD【详解】由得：，即，故函数有唯一零点 由题可知：，设，，则， 由得：；由得；； 故在上单调递增﹐在上单调递减， 作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下： 观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错， 函数在时有极大值，C对，方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，故选：ACD. 7．【详解】解：因为，又，即或， 解得或，综上可得原不等式的解集为；故答案为： 8．【详解】设，因为的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为，因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为， 所以，解得，代入可得，故.故答案为：. 9．【详解】由求导得：，则，所以函数的图象在处切线斜率为-1，倾斜角为.故答案为： 10．【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立， 当时，恒成立，即恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以.当时，恒成立.当时，恒成立，即恒成立， 设，， ，，为减函数，，，为增函数， 所以，即，综上所述：. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（五） 函数与导数 基础知识 参考答案 1．函数的定义域和值域 (1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①反比例型函数的值域为 ． ②指数函数的值域为 ． ③对数函数的值域为 R ．④绝对值函数的值域为 ． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)， 都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． 奇函数的图象关于 原点 对称，偶函数的图象关于 y轴 对称． (2)常见奇偶函数 奇函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 偶函数：① ② ③ ④所有均为 形式，如 ⑤ ⑥ 3．关于函数周期性、对称性的结论 (i)周期性 (1) 周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时， 都有 f(x＋T)＝f(x)(T≠0) ，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小正数 就叫做f (x)的最小正周期． (3) 若函数f (x)满足： ，则的一个周期为 2|a| . ，则的一个周期为 2|a| . ，则的一个周期为 2|a| . ，则的一个周期为 |a-b| . (ii)对称性 若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线 x=a 对称． 若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝-f (2a－x)，或f (a＋x)＝-f (a－x)，则函数f (x)关于点 对称． (iii)性质综合 若函数f (x)同时关于直线和对称，则的一个周期为 2|a-b| . 若函数f (x)同时关于点和对称，则的一个周期为 2|a-b| . 若函数f (x)同时关于直线和点对称，则的一个周期为 4|a-b| . 若函数f (x)为偶函数，且关于直线对称，则的一个周期为 2|a| . 若函数f (x)为奇函数，且关于直线对称，则的一个周期为 4|a| . 4．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是 增 函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是 减 函数． ②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据 同增异减 判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．分数指数幂 (1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 6．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 7．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③ ． (2)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)； ③＝N(a>0，a≠1，且N>0)； ④logaaN＝N(a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 1 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 9．幂函数 常见幂函数的图象 10．图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f (x)y＝－f (x)． ②y＝f (x)y＝f (－x)． ③y＝f (x)y＝－f (－x)． ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称得到y＝f (2a－x) 图象 (3)翻折变换 ①y＝f (x)y＝|f (x)|. ②y＝f (x)y＝f (|x|)． 11．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔x=x0是方程f(x0)＝0的解⇔x0为f(x)的图象与x轴的交点横坐标． (2)确定函数零点个数的三种常用方法 ①直接求零点：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f (a)·f (b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． ③数形结合法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 12．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上． 13．基本初等函数的导数公式 （1）f (x)＝c(c为常数)，f′(x)＝ 0 （2）f (x)＝xα(α∈Q*)，f′(x)＝αxα－1 （3）f (x)＝sin x ，f′(x)＝cos x （4）f (x)＝cos x，f′(x)＝－sin x （5）f (x)＝ex ，f′(x)＝ex （6）f (x)＝ax(a>0)，f′(x)＝axln a （7）f (x)＝ln x，f′(x)＝ （8）f (x)＝logax(a>0，a≠1)，f′(x)＝ 14.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 15．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 16．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域； ②求导函数f′(x)； ③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集； ③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 17．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（五） 函数与导数 基础知识 1．函数的定义域和值域 (1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①反比例型函数的值域为 ．②指数函数的值域为 ． ③对数函数的值域为 ． ④ 绝对值函数的值域为 ． 2．函数的奇偶性 (1)对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝ 成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝ )成立，则f(x)为偶函数)．奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． (2)常见奇偶函数 奇函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 偶函数：① ② ③ ④所有均为形式（内偶则偶），如 ⑤ ⑥ 3．关于函数周期性、对称性的结论 (i)周期性 (1) 周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时， 都有 ，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f (x)的最小正周期． (3) 若函数f (x)满足： ，则的一个周期为 . ，则的一个周期为 . ，则的一个周期为 . ，则的一个周期为 . (ii)对称性 若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线 对称． 若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝-f (2a－x)，或f (a＋x)＝-f (a－x)，则函数f (x)关于点 对称． (iii)性质综合 若函数f (x)同时关于直线和对称，则的一个周期为 . 若函数f (x)同时关于点和对称，则的一个周期为 . 若函数f (x)同时关于直线和点对称，则的一个周期为 . 若函数f (x)为偶函数，且关于直线对称，则的一个周期为 . 若函数f (x)为奇函数，且关于直线对称，则的一个周期为 . 4．函数的单调性 ①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是 函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是 函数． ②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据 原则判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．分数指数幂 (1)＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ ，(ar)s＝ ，(ab)r＝ ，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 6．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2) 性质 (3)过定点 (4)当x>0时， ； 当x<0时， (5)当x>0时， ； 当x<0时， (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 7．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则: 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③ ． (2)对数的性质: ①负数和零没有对数；②loga1＝ ，loga a＝ (a>0，且a≠1)； ③＝ (a>0，a≠1，且N>0)； ④logaaN＝ (a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1) 值域 (2)R 性质 (3)过定点 ，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时， ； 当0<x<1时， (5)当x>1时， ； 当0<x<1时， (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 9．幂函数 常见幂函数的图象 10．图象变换 (1)平移变换（见右图） (2)对称变换 ①y＝f (x)y＝ ． ②y＝f (x)y＝ ． ③y＝f (x)y＝ ． ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称得到 图象 (3)翻折变换 ①y＝f (x)y＝ ．②y＝f (x)y＝ ． 11．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔x=x0是方程f(x0)＝0的解⇔x0为f(x)的图象与x轴的交点横坐标． (2)确定函数零点个数的三种常用方法 ①直接求零点：令f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 ，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． ③数形结合法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 12．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为 ． (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上． 13．基本初等函数的导数公式 （1）f (x)＝c(c为常数)，f′(x)＝ （2）f (x)＝xα(α∈Q*)，f′(x)＝ （3）f (x)＝sin x ，f′(x)＝ （4）f (x)＝cos x，f′(x)＝ （5）f (x)＝ex ，f′(x)＝ （6）f (x)＝ax(a>0)，f′(x)＝ （7）f (x)＝ln x，f′(x)＝ （8）f (x)＝logax(a>0，a≠1)，f′(x)＝ 14.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f (x)±g(x)]′＝ ； (2)[f (x)·g(x)]′＝ ； (3)′＝ (g(x)≠0)． 15．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 16．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)； ③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则 (x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则 (x∈M)恒成立； 17．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极 值点；若左负右正，则x0为极 值点； 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 数学考前回扣（五） 函数与导数 基本题型 一、函数 1．已知，则（       ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 3．(2021全国乙卷文8）下列函数中最小值为4的是（       ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值集合为________． 5．已知是奇函数，且当时，若，则__________. 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 7．（2020全国III卷文10）设，，，则（       ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（       ） A．图象关于直线对称 B． C．的最小正周期为4 D．对任意都有 9．已知函数则函数的零点个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______. 二、导数 11．函数的图像在点处的切线方程为_________. 12．函数的最小值为___________. 13．已知函数，下列说法正确的是（       ） A．在上单调递增 B．存在唯一的零点，且 C．过原点可作曲线的两条切线 D．若有两个不等实根，则 14．已知函数． (1)当时，讨论函数f(x)的单调区间； (2)（选做）当时，证明： (其中e为自然对数的底数) 数学考前回扣（五） 函数与导数 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．下列函数中既为奇函数，又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（       ） A． B． C． D． 3．已知，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 4．已知是奇函数，且当时，.若，则( ) A． B． C． D． 5．函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．0 二、多选题（1小题） 6．已知．则下列说法正确的有（       ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是 三、填空题（4小题） 7．已知函数，则不等式的解集为______． 8．设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为___________. 9．函数的图象在处切线的倾斜角为______． 10．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是_________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 数学考前回扣（五） 函数与导数 基础知识 1．函数的定义域和值域 (1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①反比例型函数� = ��+� ��+� (� ≠ 0)的值域为 ．②指数函数 )1,0(  aaay x 的值域为 ． ③对数函数 )1,0(log  aaxy a 的值域为 ． ④ 绝对值函数 |x|y 的值域为 ． 2．函数的奇偶性 (1)对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f(－x)＝ 成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x) ＝ )成立，则 f(x)为偶函数)．奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． (2)常见奇偶函数 奇函数：① 为奇数）nxy n ( ② )0,0(sin  AxAy ③ )0,0(tan  AxAy ④ )1,0(   aaaay xx ⑤ )1,0( 1 1 1 1       aa a a a ay x x x x 或 ⑥ )1,0( 1 1log     aa x xy a ⑦ )1,0)(1(log 2  aaxxy a 偶函数：① 为偶数）nxy n ( ② caxy  2 ③ )0,0(cos  AxAy ④所有 x均为 x 形式（内偶则偶），如 2 )1(log2    x x y ⑤ )1,0(   aaaay xx ⑥ )( 为常数ccy  3．关于函数周期性、对称性的结论 (i)周期性 (1) 周期函数：对于函数 y＝f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时， 都有 ，那么就称函数 y＝f (x)为周期函数，称 T为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫 做 f (x)的最小正周期． (3) 若函数 f (x)满足： )0)(()(  axfaxf ，则 )(xf 的一个周期为 . )0( )( 1)(  a xf axf ，则 )(xf 的一个周期为 . )0)(()(  aaxfaxf ，则 )(xf 的一个周期为 . ))(()( babxfaxf  ，则 )(xf 的一个周期为 . (ii)对称性 若 f (x)对于定义域中任意 x，均有 f (x)＝f (2a－x)，或 f (a＋x)＝f (a－x)，则函数 f (x)关于直线 对称． 若 f (x)对于定义域中任意 x，均有 f (x)＝-f (2a－x)，或 f (a＋x)＝-f (a－x)，则函数 f (x)关于点 对称． 2 (iii)性质综合 若函数 f (x)同时关于直线 ax  和 bx  对称，则 )(xf 的一个周期为 . 若函数 f (x)同时关于点 )0,(a 和 )0,(b 对称，则 )(xf 的一个周期为 . 若函数 f (x)同时关于直线 ax  和点 )0,(b 对称，则 )(xf 的一个周期为 . 若函数 f (x)为偶函数，且关于直线 ax  对称，则 )(xf 的一个周期为 . 若函数 f (x)为奇函数，且关于直线 ax  对称，则 )(xf 的一个周期为 . 4．函数的单调性 ①单调性的定义的等价形式：设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1≠x2， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔ fx1－fx2 x1－x2 >0⇔f(x)在[a，b]上是 函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ fx1－fx2 x1－x2 <0⇔f(x)在[a，b]上是 函数． ②若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数 f(x)和 g(x)都是增函数， 则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据 原则判断复合函数 y＝f(g(x))的单调性． 5．分数指数幂 (1) m na ＝ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； -m na ＝ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ ，(ar)s＝ ，(ab)r＝ ，其中 a>0，b>0，r，s∈Q. 6．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2) 性质 (3)过定点 (4)当 x>0时， ； 当 x<0时， (5)当 x>0时， ； 当 x<0时， (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 7．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则: 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝ ； ②logaM N ＝ ； ③ qa bplog ． 3 (2)对数的性质:①负数和零没有对数；②loga1＝ ，loga a＝ (a>0，且 a≠1)； ③ logaNa ＝ (a>0，a≠1，且 N>0)； ④logaaN＝ (a>0，且 a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝logcb logca (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．  ab ba loglog 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1) 值域 (2)R 性质 (3)过定点 ，即 x＝1时，y＝0 (4)当 x>1时， ； 当 0<x<1时， (5)当 x>1时， ； 当 0<x<1时， (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 9．幂函数 常见幂函数的图象 10．图象变换 (1)平移变换（见右图） (2)对称变换 ①y＝f (x)―――――→ 关于 x轴对称 y＝ ． ②y＝f (x)―――――→ 关于 y轴对称 y＝ ． ③y＝f (x)―――――→ 关于原点对称 y＝ ． ④y＝ax (a>0且 a≠1)―――――→ 关于 y＝x对称 y＝logax(a>0且 a≠1)． ⑤y＝f (x)的图象关于直线 x＝a对称得到 图象 (3)翻折变换 ①y＝f (x)――――――――――→ 保留 x轴上方图象 将 x轴下方图象翻折上去 y＝ ．②y＝f (x)―――――――――――→ 保留 y轴右边图象，并作其 关于 y轴对称的图象 y＝ ． 11．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数 f(x)的零点⇔x=x0是方程 f(x0)＝0的解⇔x0为 f(x)的图象与 x轴的交点横坐标． (2)确定函数零点个数的三种常用方法 ①直接求零点：令 f (x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 ，还必须结合函数 4 的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． ③数形结合法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个 不同的零点． 12．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为 ． (2)切点的两大特征：①在曲线 y＝f(x)上；②在切线上． 13．基本初等函数的导数公式 （1）f (x)＝c(c为常数)，f′(x)＝ （2）f (x)＝xα(α∈Q*)，f′(x)＝ （3）f (x)＝sin x ，f′(x)＝ （4）f (x)＝cos x，f′(x)＝ （5）f (x)＝ex ，f′(x)＝ （6）f (x)＝ax(a>0)，f′(x)＝ （7）f (x)＝ln x，f′(x)＝ （8）f (x)＝logax(a>0，a≠1)，f′(x)＝ 14.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f (x)±g(x)]′＝ ； (2)[f (x)·g(x)]′＝ ； (3) f x gx ′＝ (g(x)≠0)． 15．复合函数的导数 复合函数 y＝f (g(x))的导数和函数 y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝ ，即 y对 x的导 数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积． 16．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数 f(x)的定义域；②求导函数 f′(x)； ③由 f′(x)>0的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由 f′(x)<0 的解集确定函数 f(x)的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数 f(x)在区间 M上单调递增，则 (x∈M)恒成 立；若可导函数 f(x)在区间 M上单调递减，则 (x∈M)恒成立； 17．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域；②解方程 f′(x)＝0； ③判断 f′(x)在方程 f′(x)＝0的根 x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则 x0为极 值点；若左负右正，则 x0为极 值点； 若不变号，则 x0不是极值点． (2)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值． 5 数学考前回扣（五） 函数与导数 基本题型 一、函数 1．已知  3 8a  ，则 2log 3a （ ） A．6 B． 6 C．8 D． 8 2．已知集合    22| log 2 , | 6 0A x x B x x x      ，则 A B （ ） A． (0,3) B． ( 2, 4) C． (0,2) D． ( , 4) 3．(2021全国乙卷文 8）下列函数中最小值为 4的是（ ） A． 2 2 4y x x   B． 4sin sin y x x   C． 22 2x xy   D． 4ln ln y x x   4．已知函数 ( ) 2 2x xf x a    的图象关于原点对称，若 3(2 1) 2 f x   ，则 x的取值集合为________． 5．已知 ( )f x 是奇函数，且当 0x  时 ( ) eaxf x  ，若 1ln 4 2 f        ，则 a __________. 6 6．已知 23 4 a        ， 3 22b  ， 3 4log 91 3 c       ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A． a b c  B． a c b  C．c a b  D．c b a  7．（2020全国 III 卷文 10）设 3log 2a  ， 5log 3b  ， 2 3 c  ，则（ ） A． a c b  B．a b c  C．b c a  D．c a b  8．（多选）已知函数  f x 为R 上的奇函数，    1g x f x  为偶函数，下列说法正确的有（ ） A．  f x 图象关于直线 1x   对称 B．  2023 0g  C．  f x 的最小正周期为 4 D．对任意 Rx 都有    2f x f x  9．已知函数   2 1 , 0, 2 log , 0. x x f x x x         ＞ 则函数     1 2 g x f x  的零点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7 10．若函数 2 , 0, ( ) , 0 x b x f x x x      有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为______. 二、导数 11．函数 ( ) sin 2 cosf x x x  的图像在点  0,1 处的切线方程为_________. 12．函数� � = 3� − 2 − 6ln � 2的最小值为___________. 13．已知函数   2 e xf x x   ，下列说法正确的是（ ） A．  f x 在R 上单调递增 B．  f x 存在唯一的零点 0x ，且 0 10, 2 x      C．过原点可作曲线的两条切线 D．若  f x kx 有两个不等实根，则 0k  8 14．已知函数   2 ( 2) lnf x ax a x x    ． (1)当 0a  时，讨论函数 f(x)的单调区间； (2)（选做）当 0a  时，证明：   e 2 2xf x x   (其中 e为自然对数的底数) 9 数学考前回扣（五） 函数与导数 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．下列函数中既为奇函数，又在(0, + ∞)上单调递增的是（ ） A．� = � + cos� B．� = e� + e−� C．� = 2� + sin� D．� = �3 − 3� 2．函数� = �sin� e � 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．已知� = 1 3 1 4, � = 3− 1 5, � = log0.30.2，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．� < � < � B．� < � < � C．� < � < � D．� < � < � 4．已知 ( )f x 是奇函数，且当 0x  时， ( ) ln( )f x ax  .若  2e 1f   ，则 a ( ) A．−� B．� C．− 1 � D．1 � 5．函数� � = ln � + 3 的图像与函数� � = �2 − 2 的图像的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．0 10 二、多选题（1小题） 6．已知� � = � e� ．则下列说法正确的有（ ） A．函数� = � � 有唯一零点� = 0 B．函数� = � � 的单调递减区间为 −∞,0 ∪ 1, + ∞ C．函数� = � � 有极大值1 e D．若关于 x的方程� � = �有三个不同的根．则实数 a的取值范围是 0, 1 e 三、填空题（4小题） 7．已知函数   2 2, 0 2e , 0x x x f x x      ，则不等式   1f x  的解集为______． 8．设曲线 2 1 2 y x 在点 11, 2 A     处的切线与曲线 lny x x 在点 P处的切线互相平行，则点 P的坐标为 ___________. 9．函数 cos( ) ex xf x  的图象在 0x  处切线的倾斜角为______． 10．已知函数 2 2, 0 ( ) e , 0x x xf x x       ，满足对任意的 xR ， ( )f x ax 恒成立，则实数 a的取值范围是_________ 数学考前回扣（四） 解析几何 基本题型 参考答案 1．AC【详解】直线过定点，，在圆内，因此直线一定与圆相交，A正确；时，直线为，代入圆方程得，，因此，圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为，的面积最大值为，B错；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，，，因此，C正确；在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为，，，四边形面积为，D错．故选：AC． 2． 3．B【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B. 4．C【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为 渐近线被圆所截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为 由 ，整理得 ，即 ,所以该双曲线为等轴双曲线，其离心率为, 故选：C 5．A【详解】的坐标为，设点坐标为，易得，解得， 因为直线与轴垂直，且，所以可得，则，即， 所以，离心率为．故选：A. 6．D【详解】双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形， ，又，，； 由双曲线定义知：，即，双曲线离心率.故选：D 7．【详解】由题意得：，解得：，则双曲线的渐近线方程为： 8．【详解】因为抛物线，所以，∴, 所以的准线方程为. 9．【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：,代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得,所以 解法二：,设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 10．10【详解】因为抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为． 设，，易知直线l的斜率存在，设其方程为， 由可得，所以，， 所以，解得， 所以．故答案为： 11．【详解】设直线的方程为：，即，与联立得： ，设， ，满足, 抛物线的准线方程为：，故答案为： 12．【详解】由抛物线方程知：，，不妨设点在第一象限，如图所示， 由，得：，圆的半径， ．故答案为：. 13．(1) (2)9【解析】(1)解：由题意，设抛物线C的方程为， 因为直线经过抛物线C的焦点， 所以，解得，所以抛物线C的方程为. (2)解：设､，联立方程组，整理得， 因为，且，， 所以， 由，可得，则，所以抛物线经过点的切线方程是， 将代入上式整理得，同理可得抛物线C经过点B的切线方程为， 联立方程组，解得，所以， 所以到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，即当时，，所以面积的最小值为. 数学考前回扣（四） 解析几何 测试 参考答案 1．B【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为． 当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，即弦长的最小值为.故选：B． 2．C【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：. 3．B【详解】设，，所以，即，即，得，短轴长为. 故选：B 4．B【详解】由题意知： 抛物线方程为： 在抛物线上，所以在双曲线上， ，又，故答案为： 5．A【详解】设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为．故选：A． 6．BC【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误 若为双曲线，则 ， ，故B正确,若为圆，则 ， ，故C正确, 若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误, 故选：BC 7．6【详解】根据题意，作图如下：因为点A在C上，所以，.又，（O为坐标原点），所以，所以△是等边三角形，所以，所以.故答案为：. 8．.【详解】由题意，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 设，由抛物线的焦半径公式知，可得， 联立方程组，整理得，又由，解得，且，所以，解得，所以直线的方程为，即.故答案为：. 9．【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b， ∴．设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则， 设∠=θ，在△中，由余弦定理得，， 即，化简可得，∴， ∵， ，，，，．故答案为：． 10．【详解】设点，则，则或为锐角，如下图所示：设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意可知，，则，解得. 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（四）解析几何 基础知识 参考答案 1．直线的倾斜角、斜率 (1)直线倾斜角的范围： (2)经过两点的直线斜率公式 = (3)斜率和倾斜角的关系 倾斜角 斜率 说明 零角 等于0 直线平行于轴或与轴重合 锐角 大于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 直角 不存在 直线垂直于轴 钝角 小于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 注意：①图像在是不连续的，是在和上分别递增。 ②斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。 2．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括垂直于轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括垂直于轴的直线)． (3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 3．直线的两种位置关系 (1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时： ①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2. ②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． (2)直线方程是一般式Ax＋By＋C＝0. ①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－B1A2＝0（注：要检验两直线是否重合）. ②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便． 4．三种距离公式 (1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离 |AB|＝. (2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))． (3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))． 提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等． 5．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 6．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离． 判断方法：①代数判断法：联立方程，用根的判别式判断 ②几何判断法：用（圆心到直线的距离）与的关系判断 当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2. ②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝ |y1－y2|(k≠0)求解． (3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含． 判断方法：①代数判断法 ②几何判断法：设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距 则：两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 (4)①当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. ②公共弦长的求法 (ⅰ)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (ⅱ)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点、焦距 焦点：(±c,0) 焦距：2c 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝＝(0<e<1) e＝＝(e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 y＝±x 通径 2p 8.椭圆、双曲线的焦点三角形 已知P为圆锥曲线上一点，F1、F2焦点， 则椭圆的焦点三角形PF1F2面积为： 对于椭圆，最大时，P点位于 短轴端点 双曲线的焦点三角形PF1F2面积为： 9.椭圆、双曲线的焦半径、焦点弦 椭圆的焦半径PF1最小为 最大为 椭圆的焦点弦最小为 （通径） 最大为 双曲线的焦半径PF1最小为 ， 无最大值 双曲线的焦点弦最小为 （同支） 、 （异支） 椭圆抛物线的焦半径公式是： 焦点在x轴，；焦点在y轴，，其中，为直线PF的倾斜角 10. 双曲线两个含a, b, c的三角形 11.抛物线的焦点弦性质 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点， A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1. (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝ 、|BF|＝ (3)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝； (4)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (5)＋＝为定值； (6)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)； (7)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，并且切点为A1和B1的中点Q，圆心为P，则PQ为梯形的中位线，QA平分，QB平分； (8)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 12.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝ ， 或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学考前回扣（四） 解析几何 基础知识 1．直线的倾斜角、斜率 (1)直线倾斜角的范围： (2)经过两点的直线斜率公式 = (3)斜率和倾斜角的关系 倾斜角 斜率 说明 零角 直线平行于轴或与轴重合 锐角 大于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 直角 不存在 直线垂直于轴 钝角 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 注意：①图像在是不连续的，是在和上分别递增。 ②斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。 2．直线方程的五种形式 (1)点斜式： (直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括垂直于轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括垂直于轴的直线)． (3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 3．直线的两种位置关系 (1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时： ①两直线平行：l1∥l2⇔ . ②两直线垂直：l1⊥l2⇔ . 提醒　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． (2)直线方程是一般式Ax＋By＋C＝0. ①若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔ （注：要检验两直线是否重合）. ②若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔ . 提醒　无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便． 4．三种距离公式 (1)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|＝ . (2)点到直线的距离d＝ . (其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))． (3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))． 提醒　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等． 5．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 6．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离． 判断方法：①代数判断法：联立方程，用根的判别式判断 ②几何判断法：用（圆心到直线的距离）与的关系判断 当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ； 当时，直线与圆 ； (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝ . ②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝ |y1－y2|(k≠0)求解． (3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含． 判断方法：①代数判断法 ②几何判断法：设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距 则：两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 (4)①当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，将两圆的方程作差，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. ②公共弦长的求法 (ⅰ)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (ⅱ)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝ (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝ (2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点、焦距 焦点： 焦距： 焦点 轴 长轴长 ，短轴长 实轴长 ，虚轴长 离心率 e＝＝(0<e<1) e＝＝(e>1) e＝1 准线 x＝ 渐近线 y＝ 通径 8. 椭圆、双曲线的焦点三角形 已知P为圆锥曲线上一点，F1、F2焦点， 则椭圆的焦点三角形PF1F2面积为： 对于椭圆，最大时，P点位于 双曲线的焦点三角形PF1F2面积为： 9. 椭圆、双曲线的焦半径、焦点弦 椭圆的焦半径PF1最小为 最大为 椭圆的焦点弦最小为 最大为 双曲线的焦半径PF1最小为 ， 无最大值 双曲线的焦点弦最小为 （同支） 、 （异支） 椭圆抛物线的焦半径公式是： 焦点在x轴，；焦点在y轴，，其中，为直线PF的倾斜角 10. 双曲线两个含a, b, c的三角形 11. 抛物线的焦点弦性质 抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点， A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1. (1)x1x2＝ ，y1y2＝ ； (2)|AF|＝ 、|BF|＝ (3)若直线AB与抛物线对称轴的夹角为θ，则|AF|＝ ，|BF|＝ ； (4)|AB|＝ ＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (5)＋＝ 为定值； (6)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)； (7)以AB为直径的圆与抛物线的准线 ，并且切点为A1和B1的中点Q，圆心为P，则PQ为梯形的中位线，QA平分，QB平分； (8)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 12. 直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝ ， 或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)． 数学考前回扣（四） 解析几何 基本题型 1．（多选）已知直线，圆C的方程为，则下列正确的是（       ） A．直线l与圆一定相交 B．当k=0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则面积的最大值为 C．当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48 2．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________. 3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（       ） A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 4．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（       ） A．2 B． C． D． 5．已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（       ） A． B． C．2 D．3 6．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 7．若双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为___________. 8．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 9．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________． 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，若，则_______． 11．斜率为的直线与抛物线交于两点，点为弦的中点，则抛物线的准线方程为_______________ 12．以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________． 13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值. 数学考前回扣（四） 解析几何 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（       ） A．3 B．6 C． D． 2．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程（       ） A． B． C． D． 3. 已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（       ） A．1 B．2 C． D．4 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于（       ） A． B． C． D． 5．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ） A． B． C． D．2 二、多选题（1小题） 6.若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 三、填空题（4小题） 7．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点，于点H.若x轴平分，则点A的横坐标为______． 8．已知抛物线的焦点为，斜率为 的直线与 的交点为，，与轴的交点为，，则的方程是_______. 9. 双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______. 10．已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 数学考前回扣（四） 解析几何 基础知识 1．直线的倾斜角、斜率 (1)直线倾斜角的范围： (2)经过两点 ))(,(),,( 21222111 xxyxPyxP  的直线斜率公式 k = (3)斜率和倾斜角的关系 倾斜角 斜率 说明 零角 直线平行于 x轴或与 x轴重合 锐角 大于 0 直线的斜率 k随着倾斜角的增大而增大 直角 不存在 直线垂直于 x轴 钝角 直线的斜率 k随着倾斜角的增大而增大 注意：① )90(tan k 图像在  ,0 是不连续的，是在 ) 2 ,0[  和 ), 2 (  上分别递增。 ②斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。 2．直线方程的五种形式 (1)点斜式： (直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括垂直于 x轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线 l在 y轴上的截距，且斜率为 k，不包括垂直于 x轴的直线)． (3)两点式： y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 (直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐 标轴的直线)． (4)截距式：x a ＋ y b ＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且 a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过 原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中 A，B不同时为 0)． 3．直线的两种位置关系 (1)当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率都存在时： ①两直线平行：l1∥l2⇔ . ②两直线垂直：l1⊥l2⇔ . 提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． (2)直线方程是一般式 Ax＋By＋C＝0. ①若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔ （注：要检验两直线是否 重合）. ②若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2⇔ . 提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便． 2 4．三种距离公式 (1)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|＝ . (2)点到直线的距离 d＝ . (其中点 P(x0，y0)，直线方程为 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))． (3)两平行线间的距离 d＝ |C2－C1| A2＋B2 (其中两平行线方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋ B2≠0))． 提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y的系数应对应相等． 5．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 6．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离． 判断方法：①代数判断法：联立方程，用根的判别式 判断 ②几何判断法：用 d （圆心到直线的距离）与 r的关系判断 当 rd  时，直线与圆 ；当 rd  时，直线与圆 ； 当 rd  时，直线与圆 ； (2)弦长的求解方法 ①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2＝d2＋l 2 4 (其中 l为弦长，r为圆的半 径，d为圆心到直线的距离)，弦长 l＝ . ②根据公式：l＝ 1＋k2|x1－x2|求解(其中 l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的 斜率)，或根据 l＝ 1＋1 k2 |y1－y2|(k≠0)求解． (3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含． 判断方法：①代数判断法 ②几何判断法：设圆 1O 的半径为 1r ，圆 2O 的半径为 2r ，两个圆的圆心距 || 21OOd  则：两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 (4)①当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，将两圆的方程作差，则两圆 公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. ②公共弦长的求法 (ⅰ)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (ⅱ)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股 定理求解． 3 7．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝ (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝ (2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点 F不在 直线 l上，PM⊥l交 l 于点 M 标准方程 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几 何 性 质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (0,0) 对称性 关于 x轴，y轴和原点对称 关于 x轴对称 焦点、焦距 焦点： 焦距： 焦点 轴 长轴长 ，短轴长 实轴长 ，虚轴长 离心率 e＝c a ＝ 1－b 2 a2 (0<e<1) e＝c a ＝ 1＋b 2 a2 (e>1) e＝1 准线 x＝ 渐近线 y＝ 通径 8. 椭圆、双曲线的焦点三角形 已知 P为圆锥曲线上一点，F1、F2焦点，  21PFF 则椭圆的焦点三角形 PF1F2面积为： 对于椭圆， 21PFF 最大时，P点位于 双曲线的焦点三角形 PF1F2面积为： 9. 椭圆、双曲线的焦半径、焦点弦 椭圆的焦半径 PF1最小为 最大为 椭圆的焦点弦最小为 最大为 双曲线的焦半径 PF1最小为 ， 无最大值 双曲线的焦点弦最小为 （同支） 、 （异支） 4 椭圆抛物线的焦半径公式是： 焦点在 x轴， 1 ecos PF    半通径 ；焦点在 y轴， 1 esin PF    半通径 ，其中， 为直线 PF的倾斜角 10. 双曲线两个含 a, b, c的三角形 11. 抛物线的焦点弦性质 抛物线 y2＝2px(p>0)，设 AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点， A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为 A1，B1. (1)x1x2＝ ，y1y2＝ ； (2)|AF|＝ 、|BF|＝ (3)若直线 AB与抛物线对称轴的夹角为θ，则|AF|＝ ，|BF|＝ ； (4)|AB|＝ ＝ 2p sin2θ (其中θ为直线 AB的倾斜角)，抛物线的通径长 为 2p，通径是最短的焦点弦； (5) 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝ 为定值； (6)S△OAB＝ p2 2sin θ (θ为直线 AB的倾斜角)； (7)以AB为直径的圆与抛物线的准线 ，并且切点为A1和B1的中点Q，圆心为P，则PQ为梯形 BBAA 11 的中位线，QA平分 ABA1 ，QB平分 BAB1 ； (8)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 12. 直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ ， 或|AB|＝ 1＋1 k2 |y1－y2|(k≠0)． 5 数学考前回扣（四） 解析几何 基本题型 1．（多选）已知直线 ，圆 C的方程为 ，则下列正确的是（ ） A．直线 l与圆一定相交 B．当 k=0时，直线 l与圆 C交于两点 M，N，点 E是圆 C上的动点，则 面积的最大值为 C．当 l与圆有两个交点 M，N时，|MN|的最小值为 2 D．若圆 C与坐标轴分别交于 A，B，C，D四个点，则四边形 ABCD的面积为 48 2．设 F1，F2是椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆 C上的一个点，且 PF1⊥PF2，若 的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C的方程为________. 3．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则（ ） A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 4．已知双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 6 5．已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，直线 与 轴垂直，且 ， 那么双曲线的离心率是（ ） A． B． C．2 D．3 6．已知 为双曲线 的左、右焦点，以线段 为直径的圆与双曲线 的右支 交于 两点，若 为等边三角形，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．若双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的渐近线方程为___________. 8．已知抛物线 C： ，则抛物线 C的准线方程为______． 7 9．斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x的焦点，且与 C交于 A，B两点，则 =________． 10．已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线 l与抛物线交于 A，B两点，若 ，则 _______． 11．斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，点 为弦 的中点，则抛物线的准线方 程为_______________ 12．以抛物线 的焦点 为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点，已知 ，则 __________． 8 13．已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在 y轴的正半轴上，直线 l： 经过抛物线 C的焦 点. (1)求抛物线 C的方程； (2)若直线 l与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点 P.求 面积的最小值. 9 数学考前回扣（四） 解析几何 测试 满分：50分 时间：20分钟 一、单选题（5小题） 1．已知直线 l 过点  1, 2A ，则直线 l 被圆 O： 2 2 12x y  截得的弦长的最小值为（ ） A．3 B．6 C．3 3 D．6 3 2．若双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程（ ） A． B． C． D． 3. 已知 分别是椭圆 的左，右焦点，点 M是椭圆 C上的一点，且 的面积为 1，则椭圆 C的短轴长为（ ） A．1 B．2 C． D．4 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 F 与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左焦点重合，若两曲线相交于M ， N两点，且线段MN的中点是点 F ，则该双曲线的离心率等于（ ） A． B． C． D． 5．设 B是椭圆 2 2: 1 5 xC y  的上顶点，点 P在 C上，则 PB 的最大值为（ ） A． 5 2 B． 6 C． 5 D．2 二、多选题（1 小题） 6.若方程 2 2 1 3 1 x y t t     所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A．若C为椭圆，则1 3t  B．若C为双曲线，则 3t  或 1t  C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在 y轴上，则1 2t  10 三、填空题（4 小题） 7．已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 l，过点 F的直线与 C交于 A，B两点， 于点 H.若 x 轴平分 ，则点 A的横坐标为______． 8．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ， ，则 的方程是_______. 9. 双曲线 C： ( ， )的焦点为 、 ，P在双曲线右支上，且 ， 为 C的渐近线方程，若 的面积为 ，则双曲线 C的焦距长为______. 10．已知双曲线   2 2 2 1 0 x y a a    ，双曲线上右支上有任意两点  1 1 1,P x y 、  2 2 2,P x y ，满足 1 2 1 2 0x x y y  恒 成立，则 a的取值范围是________．