专题03 不等关系与基本不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

专题03 不等关系与基本不等式 【九大核心题型】（讲义） 【高考考点透视】 2 【考点纲要】 2 【重难题型精练】 4 【题型精练一：不等式关系的应用】 4 【题型精练二：直接法求最值】 8 【题型精练二：配凑法求最值】 10 【题型精练三：“1”的代换求最值求最值】 12 【题型精练四：消元法求最值求最值】 16 【题型精练五：分离常数与齐次式法最值】 19 【题型精练六：三角函数与基本不等式】 23 【题型精练七 ：柯西不等式】 27 【题型精练八：利用基本不等式证明问题】 30 【题型精练九：利用基本不等式解决实际问题】 35 【高考考点透视】 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2020年天津卷：第14题，5分 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. 【考点纲要】 知识点1：如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点2：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点3：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 知识点4：不等式恒成立关系 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 特别提醒：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点5、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2、Aczel不等式（反柯西不等式） 设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 3、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立 【重难题型精练】 【题型精练一：不等式关系的应用】 【典型例题】已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D. 【解析】因为且，所以或， 对A：若，则，若，则，A错误； 对B：∵，，∴，B错误； 对C：由或，知且，∴，C正确； 对D：当时，有，从而 当，则且，∴，D错误. 故选：C. 变式训练1：下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误； B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误； C：恒成立，故C正确； D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误； 故选：C 变式训练2.（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【分析】 分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解析】当时，，得，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，， 所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项. 故选：A. 变式训练3（2024上·山西长治·高一校联考期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【解析】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 变式训练4：（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，由题知，， 所以，即， 因为， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以 所以由可以证明 故选：D 变式训练5：已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案. 【解析】因为，，，所以 又，，所以，所以； 又， 又，，所以． 综上，． 故选：A． 变式训练6：（2024高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以 ， 故选：A． 【题型精练二：直接法求最值】 【典型例题】 若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】,当且仅当， 即时取到等号. 故答案：. 变式训练1：（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【解析】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 变式训练2：（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式训练3（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果. 【解析】由已知可得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号，即，， 此时. 故选：B． 变式训练4：已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【解析】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 变式训练5：（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【题型精练二：配凑法求最值】 【典型例题】：函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 变式训练1：若，则的最小值是 ． 【答案】3 【解析】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 变式训练2：（2024·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________． 【答案】． 【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值. 【解析】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 变式训练3：（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 变式训练4：（2024上·福建宁德·高一统考期末），恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 变式训练5：（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】由基本不等式得出结果. 【解析 】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 【题型精练三：“1”的代换求最值求最值】 典型例题:若直线过点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值． 【解析】∵直线过点， ． ，当且仅当，即，时取等号． 的最小值为． 故答案为：． 变式训练1：已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 故答案为：16. 变式训练2（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果． 【解答】解：由题意可知2a+b＝1， 则， 当且仅当，时，的最小值为， 故选：A． 变式训练3：（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【解析】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 变式训练4：（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【解析】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 变式训练5:（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 变式训练6：（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：若，则三点共线 【题型精练四：消元法求最值求最值】 典型例题（2024·高三·上海）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 变式训练1：若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，， 可消去得到， 则，令， ， 当时，， 故的最大值为． 故选：C． 变式训练2：（2024·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果. 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 变式训练3：（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【解析】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 变式训练4：（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______． 【答案】 / 【分析】利用基本不等式，结合换元法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质进行求解即可. 【解析】因为正数a，b满足， 所以有，当且仅当时取等号，即时取等号； 由，而，因此， 令 ，因为， 所以方程在区间内有解， 设， 或， 解得， 因此的最大值为， 故答案为：； 变式训练5 ：（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 4 ． 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4. 变式训练6：（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 变式训练7：（2024·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】由得， 即，所以， 令得 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：8 【题型精练五：分离常数与齐次式法最值】 典型例题：已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【解题思路】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【解答过程】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 变式训练1：求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【解析】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 变式训练2：若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 变式训练3：已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 故选：D. 变式训练4：（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【解答过程】因为为非零实数，，，均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 变式训练5：设，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】由条件可得利用均值不等式结合符号可得答案. 【解析】由，则则且 因为，所以当且仅当时，取得等号. 当时，有 当且仅当，即 时取等号 当时，有 当且仅当，，即 时取等号 综上可得的最小值为5 故选：C. 【题型精练六：三角函数与基本不等式】 典型例题：（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　） A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可． 方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可． 【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1， 令，则， ∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对， ∵x2+y2＝＝＝∈[，2]， 故C对，D错， 方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即， ∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对， 对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy， ∴x2+y2≤2，故C对； ∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝， ∴，故D错误． 故选：BC． 变式训练1：已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（　　） A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0 【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论． 【解析】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2， 又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]， ∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0． 可得：ABC成立，D不成立． 故选：D． 变式训练2：（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A：根据余弦函数的有界性分析运算；对B：换元结合二次函数分析运算；对C：换元结合对勾函数分析运算；对D：利用基本不等式分析运算. 【解析】对A：∵，则， 故的最小值为3，当且仅当时取到最小值，A正确； 对B：令，则， 故的最小值为3，当且仅当，即时取到最小值，B正确； 对C：令，且在上单调递减，故， 故的最小值为，C错误； 对D：，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为3，D正确. 故选：ABD. 变式训练3：（2024春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______ 【答案】 【分析】原不等式可转化为∀，t恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得答案． 【解析】因为∀， ∴sinx＞0，cosx＞0， ∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立⇔t恒成立， ∵＝ （当且仅当，即tanx＝时取等号）， ∴t． 故答案为：． 变式训练4：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝sinAsinB﹣sin2B． （1）求∠C的大小； （2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值． 【分析】（1）先把cos2C﹣cos2A＝sinA•sinB﹣sin2B化为a2+b2﹣c2＝ab，用余弦定理即可求解． （2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可． 【解析】解：（1）∵cos2C﹣cos2A＝sinA•sinB﹣sin2B， ∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝sinA•sinB﹣sin2B， ∴sin2A﹣sin2C＝sinA•sinB﹣sin2B， ∴a2+b2﹣c2＝ab， ∴cosC＝＝＝， ∵C∈（0，π），∴∠C＝． （2）∵a+b≥2，∴4≥2，∴ab≤4， 当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab）max＝4， ∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin＝． 变式训练5：（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求外接圆的周长； (2)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求得外接圆的半径； 【解析】（1）由， 得， 因为，所以，则外接圆的半径， 故外接圆的周长为. （2）由（1）得，因为，所以. 由余弦定理，得，即， 当且仅当时，等号成立. 所以， 故面积的最大值为. 【题型精练七 ：柯西不等式】 典型例题：已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 变式训练1：（2024•陕西模拟预测）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5． （1）求a2+b2+c2的最小值； （2）当时，求a+b+c的值． 【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件； （2）由基本不等式可得++≤5，结合条件得++＝5，从而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值． 【解析】解：（1）由柯西不等式得， （a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25， 故a2+b2+c2≥； 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立； 故a2+b2+c2的最小值为； （2）由基本不等式可得， a+2b≥2， a+3c≥2， 2b+3c≥， 故2（a+2b+3c）≥2（++）， 故++≤5， 当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5， 即a＝，b＝，c＝时，等号成立， 又∵， ∴++＝5， 即a＝，b＝，c＝， a+b+c＝． 变式训练2：（2024·高三山东青岛期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 变式训练3：设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一 根据题意，有 ， 其中，令， 解得， 于是， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法二 令，其中，则 ， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法三 根据题意，有 ， 等号当，且即时取得， 因此所求最大值为． 故选：A. 变式训练4：已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等, 所以的最小值为：2 故选：C 【题型精练八：利用基本不等式证明问题】 典型例题：（2024·陕西西安·二模）已知函数的最小值是. (1)求的值； (2)若，，且，证明：. 【解析】（1）当时，， 此时； 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，函数的最小值是2，即. （2）要证， 即证， 即证， 因为，，且， 故只需证， 由基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立， 故命题得证. 变式训练1：已知，，为正数，函数. (1)若，求的最小值； (2)若且，，不全相等，求证： 【解析】（1）由题意得， ∴， ∴当时，函数取得最小值4. （2）∵，，为正数，且，∴， ∴要证，即证. ∵， 当且仅当时取等号. 又，，不全相等，∴，即. 变式训练2：已知，，，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式. （2）根据基本不等式证明不等式. 【详解】（1）解法一：由柯西不等式得： ， 当时，等号成立．所以原式得证． 解法二： 当时，等号成立．即． （2）解法一：由及． 即． 当时，等号成立．所以. 解法二：因为， 所以： ． 又，，所以： ，当时，等号成立． 所以，． 变式训练3．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值． （2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）（2）因为，所以，所以． 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是2． （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以．当且仅当时，等号成立 则，即，当且仅当时，等号成立． 【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题. 变式训练4：（2024高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 【解题思路】由作差法证明，再由证明. 【解答过程】证明：取， 因为，所以，即. 所以 又因为，故， 所以. 变式训练5：（2024陕西省宝鸡中学高三）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设的最小值为m，若正数a，b满足，求的最小值 【分析】（1）分情况去掉绝对值的符号，分类讨论解不等式； （2）先根据绝对值三角不等式算出，然后根据基本不等式求解. 【解析】（1）当时，原不等式等价于，解得. 当时，原不等式等价于，恒成立. 当时，原不等式等价于，解得. 综上所述，不等式的解集为. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即. ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【题型精练九：利用基本不等式解决实际问题】 典型例题：某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（    ） A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【答案】B 【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为， 据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列. 则. 当且仅当，即时，取最小值38. 所以这台冰激凌机的使用年限是7年. 故选:. 变式训练1 ：（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四边形木板的一个内角满足，如图， 设，由题设可得圆的直径为， 故，因，为三角形内角，故， 故， 故， 故， 故，当且仅当时等号成立， 同理，当且仅当等号成立， 故四边形周长的最大值为， 故选：A. 变式训练 2：（2023秋·江苏常州·高三统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式训练3：（2023秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ 【答案】(1)． (2)0.6元． 【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可； （2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可. 【详解】（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至， 电力部门的收益为； （2）依题意有， 整理得， 解此不等式组得． 答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 变式训练4：目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求． (1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式； (2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润． 【答案】(1)，； (2)月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元． 【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式； （2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可. 【解析】（1）当时， ，， 当时， ，， 所以月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式为，； （2）当，时， ，时，该函数取最大值为224， 当，时， ， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，月产量为100台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300万元． 变式训练5：（2024高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 变式训练6：（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 【答案】(1)最小项为 (2)数列具有性质，理由见解析． (3)证明见解析 【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解； （2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②； （3）结合二项式定理及n元基本不等式求解. 【解析】（1），当且仅当，即时，等号成立， 数列的最小项为． （2）数列具有性质． ， ， 数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． （3）先证数列满足条件①： ． 当时， 则， 数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到） 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列. $$ 专题03 不等关系与基本不等式 【九大核心题型】（讲义）（学生版） 【高考考点透视】 2 【考点纲要】 2 【重难题型精练】 4 【题型精练一：不等式关系的应用】 4 【题型精练二：直接法求最值】 8 【题型精练二：配凑法求最值】 10 【题型精练三：“1”的代换求最值求最值】 12 【题型精练四：消元法求最值求最值】 16 【题型精练五：分离常数与齐次式法最值】 19 【题型精练六：三角函数与基本不等式】 23 【题型精练七 ：柯西不等式】 27 【题型精练八：利用基本不等式证明问题】 30 【题型精练九：利用基本不等式解决实际问题】 35 【高考考点透视】 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2020年天津卷：第14题，5分 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. 【考点纲要】 知识点1：如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点2：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点3：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 知识点4：不等式恒成立关系 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 特别提醒：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点5、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2、Aczel不等式（反柯西不等式） 设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 3、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立 【重难题型精练】 【题型精练一：不等式关系的应用】 【典型例题】已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2.（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 变式训练3（2024上·山西长治·高一校联考期末）当时，的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 变式训练4：（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式训练5：已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式训练6：（2024高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型精练二：直接法求最值】 【典型例题】 若实数满足，则的最小值为 ． 变式训练1：（2024上·贵州六盘水·高一统考期末）已知，则的最大值为 ． 变式训练2：（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 变式训练3（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 变式训练4：已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式训练5：（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型精练二：配凑法求最值】 【典型例题】：函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 变式训练1：若，则的最小值是 ． 变式训练2：（2024·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________． 变式训练3：（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为 变式训练4：（2024上·福建宁德·高一统考期末），恒成立，则实数的取值范围是 . 变式训练5：（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【题型精练三：“1”的代换求最值求最值】 典型例题:若直线过点，则的最小值为______． 变式训练1：已知，，且，则的最小值为 ． 变式训练2（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝log2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 变式训练3：（2024上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 变式训练4：（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 变式训练5:（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 变式训练6：（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【题型精练四：消元法求最值求最值】 典型例题（2024·高三·上海）若正实数满足，则的最小值是 . 变式训练1：若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练2：（2024·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________. 变式训练3：（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 变式训练4：（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______． 变式训练5 ：（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 4 ． 变式训练6：（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 变式训练7：（2024·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 【题型精练五：分离常数与齐次式法最值】 典型例题：已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 变式训练1：求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 变式训练2：若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练3：已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 变式训练4：（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练5：设，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【题型精练六：三角函数与基本不等式】 典型例题：（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　） A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 变式训练1：已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（　　） A．x2﹣1＞0 B． C．sinx﹣x＞0 D．cosx+x＞0 变式训练2：（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（    ）． A． B． C． D． 变式训练3：（2024春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______ 变式训练4：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝sinAsinB﹣sin2B． （1）求∠C的大小； （2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值． 变式训练5：（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求外接圆的周长； (2)若，，求面积的最大值. 【题型精练七 ：柯西不等式】 典型例题：（2024•湖北模拟预测）已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 变式训练1：（2024•陕西模拟预测）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5． （1）求a2+b2+c2的最小值； （2）当时，求a+b+c的值． 变式训练2：（2024·高三山东青岛期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 变式训练3：（2024•高三专题练习）设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式训练4：已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【题型精练八：利用基本不等式证明问题】 典型例题：（2024·陕西西安·二模）已知函数的最小值是. (1)求的值； (2)若，，且，证明：. 变式训练1：已知，，为正数，函数. (1)若，求的最小值； (2)若且，，不全相等，求证： 【 变式训练2：已知，，，证明： (1)； (2)． 变式训练3．已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 变式训练4：（2024高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 变式训练5：（2024陕西省宝鸡中学高三）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设的最小值为m，若正数a，b满足，求的最小值 【题型精练九：利用基本不等式解决实际问题】 典型例题：某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（    ） A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 变式训练1 ：（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 变式训练 2：（2023秋·江苏常州·高三统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 变式训练3：（2023秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ 变式训练4：目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求． (1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式； (2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润． 变式训练5：（2024高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 变式训练6：（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$