2024年北京市九年级下学期学业水平考试数学模拟试题

一、选择题(共 8题,每题 2分) 2.一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个 1.右图为某品牌车型设计图，它的俯视图是哪一张? ? A.0 B.1 C.2 D.无数个 3.下列陈述中错误的数量为 陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心 陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴 陈述三：有且仅有 4条直线同时平分它的周长和面积 陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全 等的图形 A.1 B.2 C.3 D.4 4. 中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法。经营者在底票上从小至大不重复 地写下 M个为 0-9的数字,购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下 M 个为 0-9的数字,如果购买者的彩票于经营者的底票数字完全相同,那么购买者中奖. 彼得彩票店的 M=3,加百列彩票店 M=7,比较在甲乙彩票店中奖的概率 A. 彼得彩票店大 B.加百列彩票店大 C.一样大 D.无法比较 5. 小明在银行中存入 10000元，活期月利率为 0.35%。存入足够长的时间后， 通过网络银行他获取了每个月的总存款(包含利息)信息，他惊奇的发现总存款(包含 利息)中首数字为 a的最多.则 a为多少? A.1 B.2 C.5 D.9 6. 我们学习过方差的表述意义,下列指标能刻画数据的离散程度有几个? 我们记： A.1 B.2 C.3 D.4 7. 对于实数 x,我们用 [x]表示不超过 x的最大整数.下列表述错误的是? A.[π+1]=4 B.函数 y=x-[x]的最大值为 1,最小值为 0 C.函数 y=x[x]不存在对称轴 D.随着 x的增大,函数 y=1/x和函数 y=1/(1+[x])越来越接近 8.对于最小的 n，使得任意 n个人中必定存在 r个人均相互认识或存在 s个人互 相不相识.我们称 R(r,s)=n.下列表述错误的是? A.R(a,b)=R(b,a) B.R(2,2)=2 C.R(3,3)=8 D.我不能在考场上计算出 R(2024,2024)的值 二、填空题(共 8题,每题 2分) 9.小明与小李讨论小区、学校和超市的距离. 小明:我从家到学校需要 5分钟,从家到超市需要 7分钟 小李:那你从学校到超市需要多少分钟呢? 小明:大约是 a分钟吧 假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的 a取值范围为____ 10.光速为 300000km/s,光年指光运动一年的距离,一光年的距离可以用科学计数 法表示为 ax10bm(1<a<10),通过估算可以得出 b的值为_______ A B C D 初中数 学业水平考试模拟试卷 学 命题组：东方命题组 本试卷共100分，共28小题 答题时间120分钟 11.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC=1.AD⊥BC,BH⊥AC. 已知∠BAD=a,用两种方法表示△ABC的面积_________ 【探究】你能否从这里得出 sin2a的计算公式呢? 12.对于若两个不相等的实数 a,b给出命题：如果 a-b和 ab都是 有理数,则 a和 b都是有理数.这个命题是__(真/假)命题. 根据你的选择,完成第二空: 如果这个命题是真命题,写出你的判断依据 如果这个命题是假命题,直接写出一组反例. _________ 13.平面中有四个点 A,B,C,D.AB交 CD于点 M使得 AMxBM=CMxDM.三角形 ABC 的外接圆为⊙O.表示∠DOC和∠DAC的关系_________ 14.20世纪伟大的物理学家爱因斯坦思考狭义相对论时提出了一个著名的问题： 有一辆火车以速度 v向前行驶,火车中有一束光以速度 c竖直射入地面.此时车内 有一个人观测到光射入地面所需时间为 t,在车的左侧有一个人观测到光射入地 面所需时间为 t’ 用 t表示 t’__________ 提示:研究车内和车外的人看到的光的路程,再利用光速不变 【探究】时间居然可以变化！你对相对论感兴趣吗? 如果有兴趣，不妨阅读有关著作寻找答案. 15.对于 101条直线 y=kix+bi(1≤i≤101),满足 k1=k2=…=k30 b31=b32=…=b60,则这 101条直线最多有______个交点 16. A国是一个思想独裁的国家,它共有 m个异教,因此设立了一个异教徒监狱. 监狱内有 n个房间,每个房间关押一位罪犯,每个罪犯属于一个异教.如果相邻房间的 犯人的宗教相同,就会发生暴乱. 如果异教徒监狱进入了 n个犯人,如果他们的宗教完全等可能随机,采用等可 能随机的方式安排罪犯的监狱,发生暴乱的概率为_______ 三、解答题(共 12题,共 68分) 17.计算： (4分) 18.在规定的范围内解方程 (6分) (1)x5-x=0，x为实数且 x3+6为质数 (2) cos2(A)+cos(2A)=cos445+4sinA，0°<A<90° (3分) 提示：sin2A+cos2A=1,cos(2A)=1+2sin2A (3分) 1 9.利用图形的构造可以有效解决代数问题,对于如下的函数 可以转化为这样的一个几何图像,其中 x=BC, y=AC+EC(4分) (1)AB+DE=______(2分) (2)直接写出 y的最小值,和此时 x的值(2分) 光在车内的路程 车的路程 光在车外的路程 20.如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为 1 . (5分) (1)∠BAC的邻补角为∠DAC,写出 tan∠DAC的值,并证明(3分) (2)若∠A,∠B均为小于 45度的锐角(∠A≤∠B),若 tan(A+B)=1,请直接写出 两组符合要求的 tanA和 tanB(2分) 21.关于 x的方程 ，有 n个实数根.某数学 小组对根与系数的关系进行探究. 当 n=2时，这一性质也称作韦达定理(6分) (1)请你补全证明过程(2分) (2)当 n=3，求 (用系数表示，2分) (3)直接写出 的值(用系数表示，2分) 22.如图,四边形 ABCD为正方形, DE⊥EF,FG⊥AB. (5分) (1)证明：△DAE∽△EGF(2分) (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF(3分) 23.从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理.你只需要“说 明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”. (最高可得 5分) 问题一：圆周长与直径的比值与 4哪个更大? (选本题最高可得 3分) 问题二 : 是有理数还是无理数? (选本题最高可得 4分) 问题三：n,m均为正整数,且 m≤n. 是正整数吗? (选本题最高可得 5分) 问题四：无理数比有理数”多”吗?(提示:请给出你的“多”的定义) (选本题最高可得 5分) 设：该方程的两个实数根为x1和x2 有a1(x-x1)(x-x2)=0，展开得 ① 又由题知a1x2 + a2x + a3 = 0 故x1+x2= ② 24.在边长为 1 的正三角形内放入 n个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半 径为 r最大. (6分) (1) 当 n=1，r=______ (1分) (2) 当 n=6，选择作图工具，作出一种符合情况的图形(保留痕迹,2分) (3) 当 n=5050，求 r的长度(可画示意图说明,3分) 25.等周问题的研究内容为:在所有周长相等的平面图形中,面积最大的是什么? 某数学小组对这一问题展开探究.我们记等周问题的解为图形W(7分) 第一组探究”W不可能是凹图形” 在凹图形上寻找两点 AB,将图形中”凹陷”的一部分关于 AB作轴对称,会形成 一个周长不变,面积增大的凸图形. (1) 仿照如上两图，给出一种”凹图形不可能是等周问题的解”的例子(1分) 第二组在第一组的基础上,探究”W需要满足任意一条平分其周长的直线均平 分它的面积” (2) 请你参考第一组同学的思路，证明这一结论(3分,可配图) 第三组在第二组的基础上,探究”W上取任一条既平分其周长又平分其面积的 线段 AB,那么W上任何异于 A和 B的点 P都必须满足∠APB为直角” (3) 第三组完成证明后,一些同学展开了讨论.请选择正确的选项(3分,多选) 【选对一项得 1分,选错一项扣 1分】 A.小赵说:缺少了第一组的证明，后两组依然可以得出上述结论 B.小钱说:在第二组的证明后,W不可能是正方形 C.小孙说:综合以上的证明,可以初步断定W是圆 D小李说:若封闭图形的周长为 l,面积为 S 这个证明可以得到不等式 12.56S<l2 E.小周说:但是这个证明依然存在漏洞,未证明证明W存在性,仅证明了若 W存在它一定是圆,还有待进一步分析 F.小吴说:我来为大家讲个故事吧！纪塔娜被允许在一段直线的海岸边,用一 段绳子划一片领地.她应划一个圆形使得领土的面积最大. 26.已知 a, b, c均为正整数, 交 x轴于 A(m,0) B(n, 0) 两点，其 中 m< n,AB至原点的距离均小于 1 . (6分) (1)比较：m______0 n______0 (2分) (2)求 a+b+c的最小值，并给出一组符合要求的 a,b,c(4分) 27. A和 B为圆 O上两定点, C为圆 O上不与 A,B重合的动点.△ABC的垂心为 H.M点为 BC中点,连 AM交 OH于 D.连 BH,CH. (7分) (1)直接写出 AH与 OM的位置关系(1分) (2)探究 AD和 DM的数量关系,并证明(4分) (3)直接写出点 D和点 H在运动过程中所经过距离的比(2分) 【思考题】以△ABC为例证明：三角形的内心、外心、重心共线 28. 对于两条不平行的直线 AM 和 AN，它们所夹的角之一为α.将点 P先关于 AM作 轴对称点 P',再将 P'关于 AN作轴对称点Q.称Q为 P的 A- α对称点(7分) T(- 3, 3 ),⊙T的半径为 1 . (1) 当两条对称轴分别为 y=x和 y=-x，直接写出 T的 O-90°对称点坐标(1 分) (2) 直接写出 T的 O-75°对称点横坐标的取值范围(1分) (3) A和 B是 y=ax2上两个不同的点,OA⊥OB,AB交 y轴于 C.D为 O的 C-∠OAB 对称点.D的纵坐标取值范围 0<Dy<4048,求 a的值(3分) (4) ⊙O 的半径为 2，A(k,0)为 X 轴除原点外一点,使得⊙O 上存在点 B,直线 AB 交 Y轴于点 C,⊙T上有 O的 C-∠OCB 对称点.直接写出 k 的取值范围.(2分)