精品解析：四川省绵阳南山中学2024届高三下学期高考仿真演练1理科数学试题

绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练1试题 理科数学 命题人：曾皓 审题人：何宗福 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简两个集合，再利用补集运算求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以. 故选：B 2. 设复数的共轭复数为，且满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出复数的标准形式，再代入计算即可得到结果. 【详解】设，则由得：，即，得， 故选：A. 3. 已知函数是奇函数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知函数结合奇函数的定义，即可求解． 【详解】因为是奇函数，所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 4. 在区间上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得函数为增函数的等价条件，再由几何概型公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得在上恒成立， 则在上恒成立，即， 则所求概率为. 故选：D 5. 已知某几何体的三视图如图所示，该几何体最长的棱的长度为，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，即可求出其体积. 【详解】 由题意可知，该几何体为正方体中截取的三棱锥， 显然其中最长的棱为， 设正方体棱长为，则，所以， 所以三棱锥的体积为：. 故选：C 6. 如图，在棱长为2的正方体中，是正方体上底面的中心，是的中点，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作平面，垂足为点，连接，证明，则直线与平面所成的角即为与平面所成的角，则即为直线与平面所成角的平面角，利用等体积法求出，再解即可. 【详解】过点作平面，垂足为点，连接， 因为是正方体上底面的中心，所以为的中点， 因为是的中点，所以， 则直线与平面所成的角即为与平面所成的角， 因为平面，所以即为直线与平面所成角的平面角， ，则， 由，得，解得， 在中，， 所以， 即与平面所成角的正切值为． 故选：B 7. 将2名医生和甲、乙、丙、丁4名护士分成2个小组，分别安排到两个社区参加义诊活动，每个社区有1名医生和2名护士，其中甲乙不在同一小组，则不同的分配方法有（ ）种． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】安排医生有种方法，安排护士有种方法，分步乘法计数原理可得结果. 【详解】首先安排医生有种方法，再把护士分成两组，因甲乙不在同一小组， 所以有种，故安排护士有种方法， 由分步乘法计数原理不同的分配方法有种. 故选：B. 8. 关于函数，有下列命题： ①的最小正周期为；②函数的图象关于对称； ③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦函数的二倍角公式化简可得，求出周期可判断①；求出可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；根据三角函数图象平移规律可判④． 【详解】， 对于①，的最小正周期为，故正确； 对于②，，所以函数的图象关于对称， 故正确； 对于③，当时，，因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故错误； 对于④，将函数的图象向右平移个单位长度后得到 的图象，不与函数的图象重合，故错误． 故选：A. 9. 已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 10. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）. 依题意，则点到直线的距离， 所以，则. 由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为， 则且，所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立， 故选：C. 11. 已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ） A. 615 B. 620 C. 625 D. 630 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义求出，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案. 【详解】因为， 所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 则. 故选：C. 12. 若函数（且）在上单调递增，则不可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和讨论，再根据对数换底公式变形得，利用函数单调性的性质可得关于的不等式，求解即可. 【详解】当时，易知函数在上单调递增， 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴，即， ∵，∴， ∴，即，即， 结合，解得. 综上得， 比较选项知ABC均在此范围，而D选项不在上述范围内， 故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若满足约束条件则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，由条件可得，数形结合即可得到结果. 【详解】 作出不等式对应的可行域，如图所示， 联立方程，解得，则， 由可得， 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小， 此时，有最小值，则的最小值为. 故答案为： 14. 已知非零向量满足，且，则的夹角大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可. 【详解】因为，设向量 与的夹角为6， 所以， 又因为， 所以，所以. 因为，所以. 所以向量的夹角大小为. 故答案为：. 15. 已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出、、，由等比中项有，进而求得，得到等比数列的首项、公比、通项公式，再结合的单调性，即可求出最大时的值. 【详解】，，， 因为是等比数列，所以，有，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列是递减数列，，， 所以时，最大. 故答案为：. 16. 已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相切将四边形面积转化为，从而利用点点距离可得且求得最小值，由此得解； 【详解】圆的标准方程为：，圆心为，半径为3， 点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． ，，，易得， 所以， 设，，则 故，（当时取等号）， ， ， 可知四边形面积的最小值为． 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分． 17. 数学来源于生活，当然也服务于生活．某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究．经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”与“当天的气温（单位：）”线性相关．根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情况与当天的气温，对应关系如下表： 气温x（） 17 19 23 29 33 35 销量（杯） 78 87 96 110 134 149 （1）经过计算，得到当天的气温x与销量y满足回归方程．若今天的气温为31，则该超市可以配备多少杯冷饮？ （2）为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记为销量不低于110杯的天数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）127杯 （2）的分布列为： 0 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）根据回归直线过样本中心点求出，得到回归方程可得答案； （2）求出的取值及概率可得分布列和期望. 【小问1详解】 ， ， 又回归直线过样本中心点，所以，得， 所以，当时，（杯）， 所以该超市可以配备127杯左右的冷饮； 【小问2详解】 依题， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 . 18. 已知在中，D为BC边的中点，且． （1）若的面积为，，求； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，由余弦定理，求得，再由正弦定理求得，进而求得的值； （2）设，分别在和中，利用余弦定理，列出方程求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的面积为，且为的中点， 可得， 又因为，可得，所以 在中，由余弦定理得 ，所以， 由正弦定理，可得， 因为且， 可得， 即为钝角，所以为锐角，所以. 【小问2详解】 解：设，分别在和中， 由余弦定理， 即，同理可得， 所以，可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以周长的最大值为． 19. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 连接交于点，连接， 底面为平行四边形，为中点， ， 又，，平面，， 平面，又平面， 平面平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，先证平面，再证平面平面即可； （2）先根据已知条件证面，再建立空间直角坐标系，利用向量方法求平面与平面所成的二面角的余弦值，再结合平面与平面所成的二面角为，即可得到方程，解方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面，， 又为平行四边形，所以为菱形， ，， ，在中，， ，， ，在中，，， ， 在中，，，， 所以，所以，所以， 又，平面，平面，， 面； 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 可得，，，，，由， ，，， 设平面的法向量为，则， 又因为平面的法向量， ，解得（舍去）或． 经检验得：． 20. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上零点的个数； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1个零点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得在单调递减，结合零点存在定理即可得到结果； （2）根据题意，由端点效应可得，然后证明当时，，均有即可. 【小问1详解】 当时，，令， 则， 当时，，在单调递减，即在单调递减， 且，， ，使， 在单调递增，单调递减； ，， 在有1个零点； 【小问2详解】 ，注意到，要使，则须满足，即，得． 下证：当时，，均有． 当时， 此时在单调递减，此时． 当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾． 综上所述：要使成立的的取值范围为：． 21. 已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”． （1）已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程． （2）对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）． ①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值． 【答案】（1）此时曲线是“优美猫眼曲线”，：，： （2）①是定值，且定值为；② 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义可求得两椭圆离心率相等，结合条件可得椭圆方程； （2）①设斜率为的直线交椭圆于点，，线段的中点为，由“点差法”可得．同理得，从而可得结果；②设直线的方程为，由直线与椭圆相切求出m，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理及弦长公式求出，设，由点到直线的距离公式及三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 由题意知，．椭圆的离心率， 椭圆的离心率，所以， 所以此时曲线是“优美猫眼曲线”． 由曲线过点，得，所以，， 所以两椭圆方程分别为：，：． 【小问2详解】 ①设斜率为的直线交椭圆于点，， 线段的中点为， 则，，，． 由，得， 因为存在且，所以且， 所以，即．同理得， 故． ②设直线的方程为， 由，化简得关于的方程． 由，得． 由图象的对称性，与时结果一样， 不妨取，则：． 由，化简得，． 设，，则，， ，是定值， 设，由点到直线的距离公式得点到直线的距离 ，，所以， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题往往需联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、斜率公式、向量数量积公式进行求解. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会．本次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项．在开闭幕期间，运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人．武大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相．某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念．如图，在极坐标系中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线． （1）当的时；求以极点为圆心的单位圆与的交点的极坐标； （2）设和是上的两点，且，求的最大值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得或，即可求解； （2）设，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 由题意得，可得， 又因为，所以或， 所以交点的极坐标为和. 【小问2详解】 由对称性，不妨设，其中， 所以 ， 又由，所以，所以的最大值为． 23. 已知函数的最小值是． （1）求的值； （2）若，证明：． 【答案】（1） （2） 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 因为，，且， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时取等号． 所以，. 【解析】 【分析】（1）根据题意去掉绝对值符号，根据一次函数单调性求最小值，得到的值； （2）由重要不等式可得，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 当时，，； 当时，； 当时，，． 综上： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练1试题 理科数学 命题人：曾皓 审题人：何宗福 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数的共轭复数为，且满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 在区间上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某几何体的三视图如图所示，该几何体最长的棱的长度为，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，是正方体上底面的中心，是的中点，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 将2名医生和甲、乙、丙、丁4名护士分成2个小组，分别安排到两个社区参加义诊活动，每个社区有1名医生和2名护士，其中甲乙不在同一小组，则不同的分配方法有（ ）种． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 关于函数，有下列命题： ①的最小正周期为；②函数的图象关于对称； ③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 9. 已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 10. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ） A. 615 B. 620 C. 625 D. 630 12. 若函数（且）在上单调递增，则不可能的取值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若满足约束条件则的最小值为________． 14. 已知非零向量满足，且，则的夹角大小为________． 15. 已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为________． 16. 已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分． 17. 数学来源于生活，当然也服务于生活．某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究．经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”与“当天的气温（单位：）”线性相关．根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情况与当天的气温，对应关系如下表： 气温x（） 17 19 23 29 33 35 销量（杯） 78 87 96 110 134 149 （1）经过计算，得到当天的气温x与销量y满足回归方程．若今天的气温为31，则该超市可以配备多少杯冷饮？ （2）为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记为销量不低于110杯的天数，求的分布列和数学期望． 18. 已知在中，D为BC边的中点，且． （1）若的面积为，，求； （2）若，求的周长的最大值． 19. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上零点的个数； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”． （1）已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程． （2）对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）． ①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会．本次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项．在开闭幕期间，运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人．武大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相．某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念．如图，在极坐标系中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线． （1）当的时；求以极点为圆心的单位圆与的交点的极坐标； （2）设和是上的两点，且，求的最大值． 23. 已知函数的最小值是． （1）求的值； （2）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $