小专题培优21 辅助圆问题的三大常见模型-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

小专题培优21 辅助圆问题的三大常见模型 模型构建 培优点：对综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题，若能根据题目的本质特征，联想到 圆的有关知识，恰当地构造辅助圆，往往可化难为易，化繁为简，找到解题捷径 模型1 定点定长模型 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD, ∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，则∠CAD= 【模型特点】情形(1)：动点到定点的距离固定， 如图，若A是定点，B是动，点，AB=2,则点B的 运动轨迹是以，点A为圆心，2为半径的圆； P(动 模型2定弦对定角模型 【模型特点】如图，固定线段AB所对同侧动角 情形(2)：如图，若P为动，点，且AB=AC=AP, ∠P=∠C,则A,B,C,P四点共圆 则B,C,P三点共圆，A为圆心，AB长为半径 如图1，当∠P=∠C<90时，点P在优孤上运动： 【依据】圆的定义一平面内到定点的距离等于 如图2，当∠P=∠C>90时，点P在劣孤上运动： 如图3，当∠P=∠C=90°时，点P在整个圆（除 定长的点的集合 A、B,点外)上运动 【寻找辅助圆技巧】若动点到平面内某定，点的距 离始终为定值，则其运动轨迹是圆或圆孤 P(动点) 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10, P动点) D是AC上一点，且CD=2,E是BC边上一点， 图1 图2 将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连 P(动点) 接BF,则BF的最小值为 图3 【依据】圆周角定理的推论—(1)同孤或等 孤所对的圆周角相等：(2)90°的圆周角所对 的弦是直径 2.如图，点O为线段AB的中点，点B,C,D到点 【寻找辅助圆技巧】AB为定值，∠P的度数固 定，则点P的运动轨迹是一个圆或圆孤（除线段 O的距离相等，连接AC,BD.则下面结论不一 AB的端点) 定成立的是 4.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB A.∠ACB=90° 90°，若∠DAC=30°，则∠DBC= B.∠BDC=∠BAC C.AC平分∠BAD D.∠BCD+∠BAD=180 9130众相原创分层练·广西数学(U) 5.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每：8.如图，AB=AD=6,∠A=60°，点C在∠D4B内部 个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的 且∠C=120°，则CB+CD的最大值为 正方形网格图形ABCD中，M,N分别是AB,BC 上的格点，BM=4,BN=2.若点P是这个网格 图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足 ∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大 值是 9.如图，M为Rt△ABC斜边BC的中点，D、E分 别在AC、AB上，∠DME=90°.求证：BE2+ CD2=AE +AD. 6.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4.P 是平面内一动点，且∠APB=90°，取BC的中点 E,连接PE,则线段PE的最大值为 B E 模型3对角互补模型 【模型特点】如图，若平面上A,B,C,D四个点满 足∠ABC+∠ADC=180°，则A,B,C,D四点 共圆. B D 【依据】圆内接四边形的性质一圆内接四边形 的对角互补 【寻找辅助圆技巧】若四边形对角互补，则它的 四个项点在同一个圆上， 7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC= 90°，E为对角线AC的中点，连接BE,ED,BD 若∠BAD=58°，则∠EBD= 九上·第二十四章91312)速：直建球.班三面，∠M℃=∠紫，W C盒，C∠∠C黑7LR=L, 16(1证男：道接业.与⊙？相切于点D,⊥ FE,二乙D=∠点.：∠E=乙C0,∠C0+4OCD 用”，4∠0◆20无=0，博∠F5)=周，本E⊥PE 上Ann。上=L闲。上第。LC,.n =D0B■0，∠零∠成公如1，.∠E- :是⊙0的字径，，为⊙0的切线 武：盈=正，：AE=切正：=Ga直边形的 ∠g-在△c与南△e中， 2)解：设⊙0的半-径D=?=,同0=F-r-|,∴fE 是五边园 0F262=2(,-1》,球=2，-1，在h△中，由年量西 离朝：量王三角形不价边长卑， ∠C0 理.斜+%玉w∴2山-2)+了=1女-1，解4rs E△的为低人号w万.都得u8,在 (21解：)可===3,=4 1 解国2 3减r=(舍左)，4⊙#的平径为3. 在emU中，∠3W0+ 天1)延群：解图.适接.：D是由△G与边上的中线 复前图，过点F作馆⊥A6于点 ,六边用A队F是无大边后。 L=0°，LN0=,C=24.在指△ mvg-0e)Cy果e) ·∠AE。1,F4F 中，由2定理.40行+3=(204)，解浮4万， ,方案一所高的e形线的自阴为0■价3=30,3)： A∠AD上六∠aWC。上A,W8A虎，E⊥A情 点41g+G=仔，了 E⊥域.：0为0的率径，.为⊙P的切线 60 a,/MOV-121" (2)解解用，连接Hf, F8, 24mk. :=8.G=6.LCw0 点直人的形的同款为6×备电桃 24,4氢长和扇形面积 ~年=-mnf+0-0a0m, 6G1,G031,-2,万1服4H 第1课时烈长和扇形面积 .D=心边=40+5 11.解：1)性接0B、0,女A4hC为等边三角形，-·。 ,方率二所雪约菱面民政的面积为0岭=5■1， 1.C1B1B4.05▣D元.C生4求B :D为⊙0的直径 心360∞不=6235.4>5400，方案二所用的石铁文青用 1n4 空a.号。2c1caD52m 少 P是格的克， 解：1)如解用.进接0， 是AG的中点.÷室C■ 4， 上W=90”,∠B-25,∠春=-5°=5 小专题培优20与圆有关的阴影部分的 .NI=CY,△wG△(4s,∠ C量，：∠C九4宝∠C4边=9" √一=支 ∠作人=∠C=13 面积计算 ∠》=10-65-6s=5的， (21B(31L作.0 长92：安 102240,婴 又解：连接然，交0于直F,红解国 +=v-m- 2:1受20 (2)如解可，过AC作W⊥8于点从 :双0为直餐的半同行G ”B是An的中点.∠月=， (2投正大酒影销诗反为测：一票-3， 相切于点参， 41)要期：如解用1，连接化 六E1CE D为⊙0的线.G1,LD.0 ∠=边-都-8-2 ⊥0，∠A=w0" 鲜齿什臂的值是 =4,BA为等迪三角形， M任△0F≌△EFs9s). 40B+∠A花=180“.AB80..∠=3 阶段测(24.2~24.3）】 去∠=0，.∠W=3, 六5t5a 704=,∠1=∠3，∠1∠1 六平分乙1且 1.非1非支G4G车G4C7A第相切 =m= 象国的切线不乘直于日切的半径2几多12有 8(2=+23 Cw=0=W=3. 1线2 用非器行的图职-58话子2不 复解：自解用，让正方题A办的中心为”，裤檀P(象，日点户 1(1)迁明：连最风，D为应的中点，一品，面 作7⊥A值于点， - I.-4 解写 霓2时型阶的侧面积和全百积 由题童，得图中闭影部分的面积 2)解：的舞国2.居E,0G交于点从 :山10，∠0=0 @0相词 1.A 2C D 4 10 45w-sw14是-2a4 ?R是⊙0的直径，C0是⊙0的切线， 1及解：1)解图型承，⊙0库为桥有 k解：1直国金.D +∠A。∠用上项0边眼从W是罪形。 (2)知解丽，连接所.0f 小专锁培优21铺动圆问陵的三大常见模型 D=Be重，LMs周，.E⊥EN,,H= 设的年为r,m= (2引设减图推的能板平径为t,根摆理意，得2知年士 120n 6 12,/而-22.C1430r52币63+/事1.32 4B=15W=14 "自 84,万 N2.六A√-。-1 ,aA是点角己角形 解得=工同孩司审的究国半径为2重 9正期之直忙=∠限=用' =,H=楼，0州是在E的中线， B■，6+至，L 位B工.A&A象1163 六图面形A和品⊙O的内接四边飞 4端=专A拔=6，=■C-m军0-6■4 L解11)周W的得线民为√2，(02下-0)： 红解博，授OU交℃于点N,连我AW.N,,a 脚∠E=∠=2HE= 24.3正多边形和树 N,x0馆+BxW) 设这个能国个脚到面彩开图的辉心角为时”。 图2x-9。:地细特#0， 下星为的中点 六要W■故如 老过期G,÷上世年LA~流m,成分别羊分 点6AC前内切同⊙#的径为2 每这个性形需平的到雀开断的属心角为1边 去Z8=∠R1球=∠BE 4,工花N4A=0G·2C管■AK:E= (21生解周1，过点0作州上A0于点”，向愿意，得州= 古w■K飞， 卧考答案 片上=∠=T,∠N+∠C=,∠N汇+L= (2:两个人箱球时盒子第黄球的数量相等 (2引列表组下 由树转用用如.共有12种等用堂的结条，其中相力奇首的相 4甲，乙模到青球的可便授一样大 ∠G=上G,x✉5，+□r=EY◆N= (3]”盒子里红球北随球常， 桃有8种2小明去)一是-子小刚去1手 AE4A0 :甲拔到灯体的闭能性北乙夜列前球的可能件大 41,1)(1241,3)1441,5)16 厚+C万=A+A厅 25.1.2悟零 第二十四章整合复习与对接中考 1B2A3840586D1务&号 3,1) (3.2 43.3) 34 43,5) (3 一子一专达个蒙城规期不经不 42》 44 4.6) 目.解：制意，两状如下： 一阶本章知识整合 平分平分3直工承直平身6同网成等周 象公8G为红A1N4是， 520 45) 常g调成等调9督等静限问圆成等洞公阀心 1版解：(1)生乙极视由红球的概率大，限由：由避意特，从甲段 角日相尊一中飞相等都直角拉宜径母外城 中描出球的概卡为：亚一务从之餐中粮岛在球伦 由表可如，共有场种等可能的站果，其中两雀耳得的黄子之 9最直料字径一个重直等切点等卡移参 e为4的信数.得1,3,2.2)，f26),(3.1),3,5,(4 二航对接中考检先练 周率为西广若会名山以任意高-个球 4非，5,3)，(621(6,6)时，才可壁落日到国A,这种结果其 D,D.D.D.D.D.D.D 1.业1B1A4uB4G工.C&C象m1线.G 志乙癸装出罐的摄率大 由树闲可如共有馨种享国宣的结绿、其中落人3与情内 11,43-31 (2)从乙袋中取棉0个红球后，从乙裂中视出杠球的题半 法(15证解！生接△4配是等边角用，。∠0心 情装有种代路人不号市一是 上G=0女n=04.n△4是尊边三角形.∠n时 有，西子各行一道甲，乙俏%翰出江球的 小专额培优22餐率的枚回与不放日同题 LC=08配义女FLr,0⊥N.,0里 半不创同，数说法不正地 第工课射用题视状图法求概家 1B1C人A ⊙0你丰径，.是⊙0的坏线 2)解：致中社为，等齿三每感打西长为4，查(1短 1下.3 1B号 4解()西树孩图下， D=,期D=量-t,E=a-2红.“限4C,渊∠C= 252用列举法求髯率 AM:)站 周在面五F刀中，∠C=0°.上T=到，CF 常一沈 第1课时用儿表法来原率 (2)周特成得如下： m-宁水mm宁a小风：罗是@0的 1G2B1士4A50号 其有9种等可氨你结求. 国线，球上A情，六△是自角三角形，且∠程0° T解：列表如下 (2)由械就写可理，共有保种等膜的结渠，其中简文额到 上Bm-30以醇-2--1-2-1.新 、小堂 片上的量字之阻月香数的行4种待果， A04 BCDABCA 一。，回0的中格与等边三角形A此背边长4之间的 小 严州两波荆列卡片上的数学之积为奇数)：青 此有6种等可物的胡果，其中事起红静听两次冠人同闸口 数超关系为一子 LA.A (A,B) 4,0 的盆果有4种，：李具权修好为次立人同一例口的氧事为 B 多，A1 (B.8(B.CI 1AA14△A,6AD,△D1线Cki2S G 1C,A14C,》(G.c 9解：占 五孩4C LA EA 由表可还，一共有9种可黄你蜡果，其中丙人选择同一种啦 (21腾转状围下： 6解：这十雪公平，具由加手： 第二十五章概率初步 号的企提线下流的部果有3种，5小数图小定连样居一种型 用列表法表不所有可能用说的结果如虹下： B E 小明 251随机事作'5腾率 小BC D A C D A B D A B C 25、1.1随机事件 长龙大0日 值数 越量 江 其有2种等可健的结果，其中两人都授有的线真是到“的 1.D2n天44随1章件 11.解：()同表下 红造 红红 5④元12n5年Dn(1U 结是有种一霄人框段有法时民夏聚”的商事为音一 直行 左转 右转 7.解：(2}410C4)《31 由表闻如，共有6种等可能的结果，其中限城紧色的站果有3 25,3川频米借计概卡 盖10多H张2 直行 1直听，直行》 直行，左装1 (直行右辩) 11.超四形地位被分为8个拿等的异形区城，且有1红色 种，图不减禁包的路是有3件，严小领上现着)一名气 1D2a5344B5方4 左 左转，直行 左勃，左站 (左转，右种】 区城，2个量包区城.2个白色（城3个黄色区城. 6.解：(111300020司 ÷香什对雅「色风线的可隆性量小，对准直色风城的能性 古转，育行) 古转，左转} (右转.右转 (3)0U×急.70×0%=6其得 最太 由表格可知，无有9种等能的结果 7D8名 落，00风0食减种的客杆耳得可油草装蒲630视 1:149或3 (2)由表格可建，至少有一辆车内左种的结果有：（直行，左 解：1)4国236 7解：1)029 )秋建夏。得4=各-，配得4，a的值为4 韩》，左刺.直行)，（左转，左转1，左转，右转），（右韩，左 (3)两时孩国妇下： 13超：1》思 (21设金千里有x个日球，根影期最，得子=05， (2)版人5个红球，2个四这.理由年平：：另界拿红球和男 转》，秀5称人更少有男车左装的低事为 解得x=盘子有非个白球 球一共7个收人将中，共有5+8+7=舒个球？损到 及解：（目）公尾一使组子有6种等可量单部果，只有花挥4时， 第一次 8解1)04 硅楠我黑球的晖佳性相同，题球相红球的数纹相等，均 才公落同到腾4 (2①：模到更库的率段定在14阳道 为1目，，皮放人5十江球，2个用球 六体国国1的每率八·方 第马234 六板托白球的领率的为.6， 4解《少盒子甲球比首球多，甲模我名球的可福节大 和345 则事场中内种国包钠球共有44且67（个 鲁考芒案