小专题培优17 与切线的判定有关的辅助线的作法-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

小专题培优17 与切线的判定有关的铺助线的作法 方法技巧 类型1已知公共点，连半径，证垂直 2.如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（点 【方法指导】当待证切线与圆有明确公共点时， D与点A,B不重合)，CD⊥AB,连接CB,与⊙O 连接圆心和该公共点，即为半径，证明该半径与 交于点F,在CD上取一点E,使EF=EC.求 待证切线垂直.常用的证明垂直的方法有：角度 证：EF是⊙O的切线， 转换、勾股定理的逆定理、全等 D (一)利用角度转换证垂直 (0 1.如图，以AB为直径的⊙0经过点P,C是⊙O 上一点，连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°， PA=PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说 明理由. (二)利用勾股定理的逆定理证垂直 3.如图，C是⊙0上一点，点P在直径AB的延长 线上，⊙0的半径为3，PB=2,PC=4.求证：PC 是⊙O的切线。 9114众相原创分层练·广西数学(U) (三)利用全等证垂直 (一)直接求线段长证半径 4.如图，AB是⊙0的直径，直线BC与⊙0相切5.如图，在△0AB中，0A=25,0B=45,0A1 于点B,过点A作AD∥OC交⊙O于点D,连接 0B,以0为圆心，4为半径作⊙0，求证：AB是 CD.求证：CD是⊙O的切线. ⊙0的切线. (二)利用角平分线的性质证半径 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以 0为圆心，OA长为半径的⊙0与BC相切于点 M,与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与 ⊙0相切. 类型2未知公共点，作垂线，证半径 【方法指导】当待证切线与圆没有明确公共，点 时，过圆心向待证切线作垂线，证明垂线段的长 等于半径，常用的证明半径的方法有：角平分线 的性质、全等， 九上·第二十四章91151.解：解想.直接地过边？行 ÷E是⊙P的银叹 1之解：如解闲，设线并的调心为，庄擅字，因 小专题培忧18与切线的性质有芙的 0L此干点D, 4证瑞：蓬移风C,”眼是⊙？的直整 过这U作世L信于垫 插助钱的作话 州m5m,题子度 ∠Am■，乙A+L雀■，片G■m,4W■ 女AP,以为@0的词民， L证期：连接以，是0的线，吧上，∠P LOC.LNCD=上C,2香+∠CB=0°.1 云切为40的平分线，国 12m ,.∠g+∠0=.AB是@的直径.，∠W 业“托为⊙0的中径，∴家是名#的虾线 ∠B0=∠A 在脸△m山中城=+= 5A数B天.65 r∠C0年CO团=r-LA0=上R号0=C0 2nC=0°，∠0·200+ 1w), L7=L0,上B=△C0,原∠0=L 暴证W:归⊙A相情于点D:山⊥气.∠W=LG 目△A0C的外H接国的车轻为5m 2(I证期：道接心，过点B作中周？的切收F,交T点 0,80=∠山，AB*AD,△A8eAD(SA} ∠P0■∠0■r 1AGA8153过4q5.8 AB= F,,上球=9翰，A乙m+∠N=字4=D 在由△4中，A=∠4=如” 161)1-2.9)1123(31内14)23-217.日 象.Bi11. 六L0山mL2∠心+∠山fm0.g∠C=P 24.2.2直线和国的位置关系 1上1解：球4.5理由如下，如解图.逐EWM空E是⊙？的 点0川里0m,-÷重VA-Po5(m}, 六山+∠B■0，■∠，以=F 无【时直钱和的位置关系 线.∴⊥g,∴∠1减=0 博授环的半轻为53 2解：摄0的*登为是 I.A 2A XA ,点B是黑C的中点，品=面二之E山■∠A值 3正用：连信0，“点后是△AG的内心，∠B=∠千0 :则-.0n上既又？∠则W-上PC.LaG- 1解：复.接4，P,则从 +相：由唱意，得m10~宁子×+~区 ,=从，∠0=上Pg LAW■∠EAD ∠，5上即明。∠，古面国，+⊥厚夏智的 PlePR B克B到A忙的即肉为5，号©B的平径相等，直线C与 ODVAE. 为E7约半径，直线0量是⊙0的0线 +E+地+=m}, ⊙相间F,上0一照1，且既-2 :∠其=0-∠山E。T 14C Cl+P-18ml, 成1A 小专爱培优17与切线的判定 分1-1<及雀线F与回板交 (2)正期：触解西，连移2，过或B作 有关的韩助线的作法 5解过点慧作W1M干或秀， WLA信于点R 女1，带是O0的强上m=了∠4常-0 如解围：乙A想=30，. :F4A据，E⊥E,AFm=∠B=0 之L球=20，∠w0.004▣0，∠AP■ 由I)知∠40=上w,且AB=A边 ∠明=4。m,上"附■∠0■，济Lw 在鱼40中，0=201，值0+9=204门. 0寸525,5r2s .△UFT AAS，.AF=AE.E=F 的-∠0-LB=,7r是⊙度的牛垫.m是⊙0 解得14=35（负值已希》，战⊙）的卡是为5，多 时.合W与射线以4只有一个公 .C0-D.D=0 的切岘 4适潮：连接L、E.是O0的切线，.D年A,L? 其点：当0%：《25时，⊙"射找04位有公共点：当25≤ 1迂明道报F,,01A格，：乙以+∠C=的.：■5 4的，4然看直平异题又，信是©0的直经，：.4 <5时，回期与程有得个公其成：当，>5时，⊙"与则 )..CE-F. -4DC=LFRF=C,.4C=∠EC,∠0FB+ A山,每AC星为AB的中点，.为 线月有=个公共点峰上所述.者0元t心2.5时，©样与制 行A相■F+FAn=g+花 ∠G=0.24FE=1幻P=0=用，.0F1F.tF △8G的中的线.E-CW-EC=重 线4设有经共或：当r■23淡r>5时，@与射线0四贝有 1线(1Q出1由4必=4c,∠且年0 解：连接0F,∠F=0,∠DF=2上F=国 一个公八点：当29<写时.⊙n与权4有阿个会共点 为⊙0的半经，EF是⊙0铃切线 (2)证师：如解丽1.个直轻A0.连极0， 长0T,G 表证明：或接C,6的半径为3.W=2.g=带=3 宁⊙是6A面的内切国，与AnC4分湖相切T点D.F。 系解：无于，的方程2-22：+%-10有实世， =组+m=天C显4.六，+，六△平是 六m⊥山.F⊥C.∠=.∠A行=，LA+ 43=4g30.厚8-42x(m-1)0.解得ng2 自角三身银，且C⊥￥：是0印的牛登，六气是O0的 40,∠A=0-1P=3 五解：每解调，连模馆，E,W,因 ?⊙0的率径为2,4直线与@0解国减相完 象解：(1)如解国，过直户作直线1■2的有线干点A 想.0汇.度色0的登为r. 点严在在现2右和 ⊙？是4？的内调.分别切边 释团1 解2 ∠00D=上1，∠08=∠0，∠00=∠C0服 P=1-2=3.解利=5， C,CW于点BE,F, ,n为@0的直径乙A■” +m55: A4D年∠CB=9 ∠%7C用星⊙0的切线且n为@的半经，。 ,p1g,KLG.时⊥A程 在面△4r中，∠An=0,c■1,4Ga4 嘴点P直直线=2左飘时，目= ∠D=∠自.∠心ARa∠B.左∠EK。∠D ÷边务00的切现， 六，A作eW+G=5 2-年m3. 2Ec+20=,.Ah4fEF为e的线 期形川-多 (3)制：F场是⊙0的切线 线解：且点0作1An于点，：4⊥8，六∠业=闭，在 =2 y56mn8+5+8,人空34】×+宁 罪A韩下：如丽2，年直经A,连接， :△a情中.An■√0+w量V《23'+(4,5'Eo 绿上辉逐，当@P与直线：一2相回时.点P的学际为5，气 yA0为@0的直径.上40= 4+了5，解得10的学径为 ,∠CAB∠A,,LR+∠4G车∠Ab+∠C “c=号a之c=350区et⊙e 30 (1,子 g∠DC=∠..∠Bg=∠Am=0, 卡径为4÷忙为非的学径：江⊥体，二国题Q的 小专镜培优19与切性有关的证明与计算 n上求，T为⊙0的切线 线 )州-16x发5时，⊙P与直线121交 6正南红解眉，连授f,过静作N1CD,垂足为N, 1(1)E期：”g为⊙0自直径，5∠明=0，云∠即派+ 当：<-1减x>5时.0P与自线=1相 两3漫封切线长足短风三角形的内切团 ∠Aa0Y4Can,i∠p=∠∠AGD= ⊙0与G相回干点星-.4C 第2课时切线的阴定和性周 1.B1C314.0反A反0【变式25 是，六∠乙AD牛mE,∠E■震L求+ 5,解：如解国，分划作∠4里，∠AC的 :边形W功是正为B. 1.02 ·C早分∠积 C出=0-乙=10-4么E+2省)=，.N 平分视，交我即为隔心)，再过青)用 人证期：如解国挂找，过点？行体⊥笔干 E:用是0的丰径，.是自0的时线 G的函线，以平线的长灯半拉作横， N⊥中唐⊥G 点， (2)解：度⊙0约率极为元，：灯=3..■40=4 明⊙心口为乐求 △A配为等感三角B,)是置边C的中 3+E=6,D=E=6在AA0以而 kA象(23月1a1122司 4A3为@U的半径 点，六A0L,A0平分∠NG 上》与⊙0幅 w六3劲+(t+3产，解得-5.与 201w,F1C,球=那 1.6 cm ⊙的径为 卧考善案