小专题培优15-16 与圆的基本性质有关的辅助线的作法 与圆的性质有关的证明与计算-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

小专题培优15 与圆的基本性质有关的辅助线的作法 方法技巧 类型1遇弦连半径，构造等腰三角形 3.(2023鞍山)如图，AC,BC为⊙0的两条弦，D 【方法指导】如图，已知AB是⊙0的一条弦，连 G分别为AC,BC的中点，⊙0的半径为2.若 ∠C=45°，则DG的长为 接0A,OB,则OA=OB,∠A=∠B. 类型4遇直径作直径所对的圆周角（构造 1.如图，AB是⊙0的直径， 直角三角形) CD是⊙O的弦，AB、CD 【方法指导】如图，已知AB是⊙0的直径，点C 的延长线交于点E,已知 是图上一点，连接AC、BC,则∠ACB=90°. AB=2DE,∠AEC=20°， 则∠AOC的度数为 类型2遇弦作弦心距，解决弦长相关问题 【方法指导】如图，已知AB是 4.如图，AD是⊙0的直径，若∠B=40°，则∠DAC ⊙0的一条弦，过点0作OE⊥ 的度数为 AB于点E,则AE=BE,OE2+ AE"=OA". 2.如图，AB是⊙0的弦，半径OA=2cm,∠AOB= 120°，则△A0B的面积为 cm'. 0 第4题图 第5题图 5.如图，AB是半圆0的直径，C是半圆0上异于A,B 的一点，D为AC的中点，延长DC交AB的延长线于 点E,若∠CAE=14°，则∠E的度数是 类型3遇求角可构造同弧的圆周角（或圆 类型5遇90°的圆周角连直径 【方法指导】如图，已知圆周角∠B4C=90°，连 心角) 接BC,则BC是⊙O的直径 【方法指导】如图，已知A、B、P是⊙O上的点， 点C是圆上一动，点，连接AC、BC,则∠ACB= 6.如图，四边形ABCD内接于 ⊙0，∠BCD=75°，∠ADC= 90°，CD=6,对角线DB平分 ∠ADC,则边AB的长为 9100 众相原创分层练·广西数学(U) 小专题培优16 与圆的性质有关的证明与计算 广西中考视角 类型1 利用圆的性质求角度 4.如图，在⊙0中，弦AB与CD交于点M,点A为 【方法总结】圆中求角度的五个常用思路： CD中点，∠BAD=45°，∠AMC=75°，则∠CAD (1)同孤或等孤所对的圆周角相等： 的度数是 (2)一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半； (3)半圆（或直径）所对的圆周角是直角： (4)圆内接四边形的对角互补： (5)同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形 A.140° B.130° C.120° D.110° 中，等边对等角 5.易错如图，点A,B在⊙0上，∠AOB=140° 1.如图，A、B、C是⊙0上的点，且∠ACB=140° 若C为⊙0上任一点（不与点A,B重合），则 在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°， ∠ACB的大小为 80°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的是 ( 类型2利用圆的性质求线段长或面积 【方法总结】圆中求线段长的常用思路： A.40°，50°，80 B.40°，80°，140 (1)通过找“直径所对的圆周角（直角）”或“过 C.50°，80°，140 D.40°，50°，140 圆心作弦的垂线”构造直角三角形，利用勾股定 2.如图，点A,B在以CD为直径的半圆上，B是 理求解； AC的中点，连接BD,AC交于点E,若∠EDC= (2)当题目中出现30°或60°或120°角时，常利 25°，则∠ACD的度数是 用圆周角定理及其推论得到含30°角的直角三 A.30° 角形或者等边三角形，利用特殊直角三角形的 名 B.35 性质求解。 C.40° 6.如图，⊙C过原点0，且与两坐标轴分别交于点 D.45 A、B,点A的坐标为(0,5)，点M是第三象限内 3.如图，多边形ABCDE内接于⊙O,AB是直径， 0B上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为 ∠A=65°，∠B=80°，则∠D的度数为( A.1150 D A.4 B.125 B.5 C.130 C.6 D.135 D.23 九上·第二十四章9101 7.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存类型3利用圆的性质进行相关证明与计算 有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为12.如图，AB、CD是⊙0的弦，点M,N分别为 8cm,水的最大深度CD为2cm,则此管件 AB,CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证： 的直径为 OM =ON. A.5 cm B.8 cm C.10 em D.12 cm 第7题图 第8题图 8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点 P,AP=3,BP=7,∠APC=30°，则CD的 长为 () A.6 B.26 C.46 D.8 9.如图，⊙0的半径是2，直线1与⊙O相交于A、13.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E, B两点，M、N是⊙0上的两个动点，且在直线1 点P在⊙0上，∠1=∠C. 的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积 (I)求证：CB∥PD: 的最大值是 (2)若BC=3,∠C=30°，求⊙0的直径 B A.22 B.4 C.42 D.82 10.如图，AB、BC是⊙0的两条弦，A0⊥BC,垂足 为点D,若⊙0的直径为10，BC=8,则AB的 长为 第10题图 第11题图 11.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点， OC=1且∠BOC=60°，点D是BC的中点，点 P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值 为 9102众相原创分层练·广西数学(U) 14.如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，D15.如图，AB是⊙0的直径，CA⊥AB,延长C0交 为AC的中点，弦DE⊥AB于点F,交AC于点 ⊙O于点D,弦DE⊥AB于点F,且∠CDE= G,连接CE. ∠BAD. (1)求证：GC=GE: (1)求∠ADE和∠CAD的度数： (2)若AF=2,BF=8,求DE的长 (2)若AD=23,求CD的长 D 九上·第二十四章91030纯的赏物才佳通过理由虹下：马：是⊙：的总到，设 15,解：(1)年解图，设交0于点，雀报，节A结 = 开与C的交意为材，连接，m,知解属之，：月也形 8的有径.使煤上Aw,:派2而，：上m2∠n 在△aG释△BD中 产商子8 之限=∠n,去∠张■2∠球女9是⊙的自 AG=功 .△aG△O5s1 -6(0N-,0话-m。06 【史式1解：证=， ,=-D▣0-4=6(m,.H=8-◆=2m, 喇，血解相.连接4.城 3,AE∠0t+Ce=0gC1AB,∠ ,2《3.,根侧图3代多，货阳不调过网形桥供.品期水 ,01=aB.∠出年∠ 韩围 韩泪 ∠4年L 雀答分可保同的高佳多3-之m可“而 方基二：如解用主，连接心井超长，交⊙印千点B.置接以 -8. 的x1=0.年=0（负值已合）.至少登楼组相莲货售 A0是G的直及，= 在AE△0F中 4使通过 ∠0=人C=0A=2情=及6( , 24,1.3卫、孩、图心角 A点h2△F5S,4= 1.∠B∠0010A604D5D 11.A12a■A里g 1 k翻：上m=∠001， 入解：解图，诗接退 理由如下，7∠C4B=2表1AG=C 第2射■内接四边形 女A指=C,=C,4A信= 111非AB【立式1】【度式p4.5.知 (2引解图2，过点A作AN⊥边于点X,￥上C40·∠G+ 0.六，∠I室∠ 元-前40m-∠0L 直证明：，料边形》内接于⊙0，：∠Na∠E 2Ag.0",上6Bm1.LDG=".∠C=10” 得=E,之言=∠1。上1中 T.解世∠4制E=0,4∠E=10-的=3 A=BA成=士i■∠E 2A,品C=Aa￥41G2,÷2=2%在8A中 A=22A, :CD是的已等卦点成=石面=及， 4m科=∠∠4■∠E,日平计∠AGE B0∠mC-zaf寸x1m40 1.B表C天40 【要式！解：连接F,解图， .-,3CB-2n6 1454 4E■∠+∠HG= 24.1.2事直于弦的直径 分图山银市为同内移面卷。 阶段测(24.1) 1,业1日1言4.支5 &迁辆：女B=6①，=面.B=∠0w ∠DsL4 k解(1y⊙0的半是5.4=5 +乙4格-∠C∠A0-CC,图c元E乙B0 g∠Dr∠1+∠2 D=10=k-nm5-1P4 象证隔：：AB,D是@0的同条直径，∠A化▣∠的， -乙4m∠1+L2 n.5,区L.82出，可m目.2 2)花A0,C⊥Aw.Aw.2 太=品·眼量的，一正，2 ∠4+∠I+22,∠5容+∠AFB 解：m1根优1轮0子级-号对想：松 制据假定理，得心，-证，一子 1且A1160 1,2∠A+Y+=0 ,4■0 云A的=化“∠A0三∠A=L出0，六程山形n W3室14 是正方后，4第=AE是接4.女C=42.E=A原 (夏式】解：量回0的半轻为期4=t,面=t=L 上证明：西A功是正方形A情功而. 小专数培优15与阅的基喜性质有关的 y功1，情-4-子情-2 ,为D物中点，二国- 辅助线的作法 }C2五在△球中，tN+派：4，六@0 +VCD+nv..NIf-CM. 在△Ac0中.0=+k 102万11405.24*4.15 的中秘是4 1表解：光用形国以军镜正二边彩，二相保再传风的同心角和= =24r-,s释r=是@0的卡径为} 小专题培优16与裂的性质有芙的证明与计翼 15.爱明：进授AC,:同达题是心的内援月造限 答。保如华班运鲜的内能转1网，喜么在装将过理中 1.D2C天B4.45.用成10&B3.G落.C段E 么池三起激⊥，C=,÷∠Ax= 7,非k4象GaA1.C1店25183 1043112 CAD,-.∠D=2CC 4解：如解图，这点0作延14格干点层，是装 行0比和眼西形重合 12正期：点星.X分到为A婚，花的中点， i解(1)如第明，过成作0LA情于点E,交©0千点D W1思.0N1C.古∠的=∠的=0 A∠A限-乙思在△OE和△对中， 则林4相5米，减老， =A球-54 最⊙？的学臣为米， 在段△E中，M。,一压 5(I证用：yLPs∠G.∠1■2C.∠1=L,用m (21解：速接. 在△中，A+= 3-了2第 .3+t-42▣，解得r=5 在△0E中周-A正40，S+2-J "∠CD-30∠P=30,①4A8.C-0, ,调柄的半侵为5米 线：任等1：打解m1,段同心为当，延长0.期》铅过由 24.1.4圆周角 名∠C=1工P=60”,△B0为等边三角形B- (2引怎解面.车A地■8米时，AE。 0,过接40,7纤块的字经为10m的■(0-) G-3,B=20w=6.法⊙0的直径所4 第1射窗国角走理及其进论 柳：来 成aA指，A边气An=解，+A= 1A王C人A4A系G6G710 14(证明，D为0海中点，一，，么 在鱼A是中，A+害 案15约象D1每.售1L万 An是回u的直径，减上mA体=D ,+5,从■3米 1正圳示：+床。G+武 .正-D..∠E,∠DEC=E .Df-3-3-2[家1 喜：术下客本肉的量大保度为2采 得-元三上n。上无.4B= (2)解连度，：4F-2,F-8.之A恒=AF4F=0. 1点D14B5学【变或海【夏式2H 六m1“了0：5w04-AF:3是⊙的 242点和叫，直线和侧的位置关系 16”通130 24.2.1点和图的位置关系 17制：世一n明用1，元援0H,常，Lg=30…∠带= L12L30erc54内外上5DkC里 2∠A团ry4课，△40为等游三角形，4。 0F33.3r,40N✉4负值已家1，E=2F= 鲁考芒案