精品解析：吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 出题人：康乐 审题人：徐赢 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则（ ） A. 48 B. 52 C. 66 D. 80 2. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ） A. 样本中不愿意选该门课的人数较多 B. 样本中男生人数多于女生人数 C. 样本中女生人数多于男生人数 D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 3. 以下有关直线拟合效果的说法错误的是（ ） A. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心 B. 相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱 C. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的a，b的值 D. 决定系数R2越接近1，表明直线拟合效果越好 4. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，） A. B. C. D. 6. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项不正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望 C. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望 D. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 7. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ） A. 当，时， B. 时，有 C. 当，时，当且仅当时概率最大 D. 时，随着的增大而增大 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量X服从二项分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布且，则 C. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则 D. 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，现有五名大学生决定去海南三亚、四川九寨沟、东北长白山旅游．若每人只去一个景点，每个景点至少有一人前往，其中甲、乙需要到同一景点，则不同的人员分配方案种数为__________． 13. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推. 假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件｛第k次取单恰好是从1号店取单｝，是事件发生的概率，显然，，则_____________，_____________（用含有n的代数式表示）； 14. 已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 16. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） （2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 出题人：康乐 审题人：徐赢 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则（ ） A. 48 B. 52 C. 66 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】由，求出，由回归方程求出，可得. 【详解】，则有，y关于x的线性回归方程为， 有，又，则. 故选：C. 2. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ） A. 样本中不愿意选该门课的人数较多 B. 样本中男生人数多于女生人数 C. 样本中女生人数多于男生人数 D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 【答案】B 【解析】 【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可. 【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课， 则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误； 对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大， 所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误. 故选：B． 3. 以下有关直线拟合效果的说法错误的是（ ） A. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心 B. 相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱 C. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的a，b的值 D. 决定系数R2越接近1，表明直线拟合效果越好 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断． 【详解】线性回归直线一定经过样本的中心，A正确； 相关系数r的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，B错； 最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小的a，b的值，C正确； 越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，D正确． 故选：B． 4. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为，， 现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从该厂产品中任意取出一件成品是优等品，则此件优等品可能来自甲、乙、丙三地，所以根据全概率公式的步骤及性质进行运算即可得出其概率. 【详解】设事件表示“药材来自甲地”，事件表示“药材来自乙地”， 事件表示“药材来自丙地”，事件表示“抽到优等品”， 则，，， ， 所以， 所以 ， 所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是. 故选：D. 5. 已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（ ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质及原则，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】∵随机变量服从正态分布， ∴， ∴，故A正确； ，故B正确； 根据题意可得，，， ∴，故C正确； ，故D错误． 故选：D． 6. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项不正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望 C. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望 D. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式，逐项分析、计算判断作答. 【详解】选项A：的可能值：1，2，3，，， ，则，错误； 选项B：的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为， 因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，所以，正确； 选项C：的可能值：0，1，2，，， ， 则，正确； 选项D：的可能值：0，1，2，3，，， ，， 则，正确. 故选：A 7. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ） A. 当，时， B. 时，有 C. 当，时，当且仅当时概率最大 D. 时，随着的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确. 【详解】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 因为，所以，， 所以，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即， 即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式， 当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 故选：A. 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，构造函数，利用导数研究单调性，比较出，构造函数，比较出，即可求解. 【详解】依题意，则. 令，故， 故当时，在上单调递增， 故，则.令， 则，故当时，在上单调递增， 则，则. 综上所述：. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分：若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量X服从二项分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布且，则 C. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用二项分布的概率公式求解判断；对于B，利用正态曲线的对称性求解；对于C，利用条件概率公式求解；对于D，利用期望和方差的性质判断. 【详解】因为随机变量服从二项分布，则， 所以A错误； 因为随机变量服从正态分布且， 所以， 所以，所以B正确； 因为事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 所以由题意得，所以，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 11. 已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性综合求解. 【详解】， 与均为偶函数，则为偶函数， 关于对称，又 关于点对称，------（1） 又， ，关于点对称， ------（2） 由（1）（2）可知，， 是周期函数，最小正周期是4. 综上所述，选项A错误，选项B正确； ， 令得，------（3） 令得，------（4） 将（4）代入（3）中得，故选项C正确； ， 令得， 令得， ，故选项D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，现有五名大学生决定去海南三亚、四川九寨沟、东北长白山旅游．若每人只去一个景点，每个景点至少有一人前往，其中甲、乙需要到同一景点，则不同的人员分配方案种数为__________． 【答案】36 【解析】 【分析】按照分组分配法进行计数即可. 【详解】由于甲、乙需要到同一景点，则该问题转化为四名大学生去三个不同的景点，每个景点至少有一人前往，则不同的人员分配方案种数为. 故答案为：. 13. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推. 假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件｛第k次取单恰好是从1号店取单｝，是事件发生的概率，显然，，则_____________，_____________（用含有n的代数式表示）； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据事件的含义结合条件概率公式可求答案； 【详解】由题意; ， ，即是公比为，首项为的等比数列， 所以，即. 故答案为：；. 14. 已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】先利用导数讨论的单调性，然后进行分离参数可得，构造，求其最值即可 【详解】由，可知，由题可知， 当时，恒成立，则单调递增，，不恒成立， 当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增， ∴， ∵恒成立，∴， ∴， ∴， 令，则， 由，可得，由，可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，即的最小值为0． 故答案为：0. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】（1）68； （2）2520. 【解析】 【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可. 【小问1详解】 由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有16+36+16=68种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； 【小问2详解】 由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 16. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1）1 （2）56 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【小问1详解】 因为， 令，可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， 【小问3详解】 由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） （2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 【答案】（1）模型② （2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件 【解析】 【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断； （2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程； （ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可. 【小问1详解】 由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型②. 【小问2详解】 （i）令，则， 可得，， 则，， 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程； （ⅱ）令，可得， 预测12月份的销售量大约是13.9万件. 18. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，可得切线斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程. （2）求出导函数，把所求问题转化为在上有解，即有正零点，根据二次型函数零点分布列式求解即可. （3）由题意是的两个根，则，将所证不等式转化为，令，构造函数，综合导数的运用，求单调性和最值，即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根，则且， 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明，令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $