2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册综合测试（二）

人教A版（2019）必修第一册综合测试（二） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A B A C B A BD BCD ABD 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则集合中的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：根据可得，解得， 即可得，又 所以，因此集合中的元素的个数为2个. 2. 命题：的否定是 A. B. C. D. 解：由全称命题的否定为特称命题，知命题：的否定是， 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 解：因为， 所以. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解：因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 解：因为， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除; 又，排除. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 解：令，则，， 则. 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：因为，，所以， 要使得在上单调递增，则，解得， 又由题意可知，所以， 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 解：因为，则函数关于直线对称， 又因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以为周期周期函数， 又因为和，即， 故函数关于点对称， 令，即求方程的解， 原题等价于两个函数有3个交点， 且的定义域为， 如图所示， 则可得，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 解：对于A：，故选项A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得，故B正确； 对于C：，故选项B不正确； 对于D：，故选项D正确； 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 如果幂函数的图像不过原点，则或 C. 存在，有成立，则实数a的范围是 D. 在锐角三角形中，不等式 解：因为，所以，则 所以，故A错误， 选项B，由函数为幂函数， 所以，即 解得：或， 当时，不过原点， 当时，不过原点， 故或满足题意，故B正确， 选项C 由“存在，有成立” 的否定为：“任意，有成立” 由， 因为，令， 则， 所以， 所以“任意，有成立” 即， 令， 所以， 令， 当时，， 当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以， 又 所以，所以， 所以 “存在，有成立，” 则实数a的范围是，故C正确， 在锐角三角形中， 因为， 所以， 所以， 所以， 同理 所以， 故D选项正确， 11. 对于函数(其中)，下列结论正确的有 A. 若恒成立，则的取小值为 B. 当时，的图象关于点中心对称 C. 当时，在区间上为单调函数 D. 当时，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 解：对于A. 若恒成立，则， 又，所以的取小值为，故正确； 对于B. 当时，，所以， 所以的图象关于点中心对称，故正确﹔ 对于C. 当时，，当时，， 此时函数在上先递增再递减，故不正确； 对于D. 当时，，因为的图象向左平移个单位长度得到， 所以，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在上为增函数，则实数_______. 解：由幂函数定义得，解得：或 因为在上为增函数， 所以，即， 所以 13. 已知，则________，________. 解：， 14. 已知实数x，y满足，则的最小值是______． 解：由原式可得，且 令，则原式即为， 因为在上单调递增， 所以，所以， 则， 当且仅当时，即时等号成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值: （1）. （2）. 解：（1原式 ； （2）原式 . 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 解：（1 ， 若角的终边过点，则， 所以. （2）若， 所以； . 17. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 解：（1因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; （2）在上单调递增， 设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 18. 已知函数，其图象中相邻两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 解：（1因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为， 所以，即周期，所以， 所以， 又因为函数的图象关于直线轴对称， 所以，，即，， 因为，所以， 所以函数的解析式为； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线， 所以， 当时，，, 当时，有最小值且关于对称， 因为方程在上有两根，， 所以， ，即的取值范围. 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值. 解：（1函数是“1距”增函数. 理由如下： 由函数， 则 ， 当时，可得， 所以，即，所以是“1距”增函数. （2）由，， 因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立， 又因为为增函数，所以， 当时，，即恒成立， 所以，解得； 当时，，即恒成立， 所以，解得， 综上可得，，所以， 令，则， ①当时，即时，当时，； ②当时，即时，当时，， 综上可得，当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）必修第一册综合测试（二） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则集合中的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题：的否定是 A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 如果幂函数的图像不过原点，则或 C. 存在，有成立，则实数a的范围是 D. 在锐角三角形中，不等式 11. 对于函数(其中)，下列结论正确的有 A. 若恒成立，则的取小值为 B. 当时，的图象关于点中心对称 C. 当时，在区间上为单调函数 D. 当时，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在上为增函数，则实数_______. 13. 已知，则________，________. 14. 已知实数x，y满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值: （1）. （2）. 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 17. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 18. 已知函数，其图象中相邻两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称； （1）求出的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围. 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$