2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册综合测试（一）

人教A版（2019）必修第一册综合测试（一） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A B C D C ACD BCD ABD 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 解：对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：因为是幂函数， 所以即解得或， 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数， 所以“”是“幂函数在上是减函数”的充要条件， 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为　　 A. B. C. D. 解：， ； . 故. 4. 折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ） A. B. C. D. 解：记，如图，在中，因为，，， 所以，即，， 又，即，所以， 所以扇面字画部分的面积为， 5. 设a是函数零点，若，则的值满足（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 解：因为为增函数，为减函数， 故为上的增函数，故， 6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 解：由函数， 所以只需把函数向左平移个单位，即可得到函数的图象. 7. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 解：对任意的、，有， 不妨设，则，，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数， 因为，则， 由知， 当时，，可得； 当时，，可得， 所以，不等式的解集为. 8. 已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 解：由题意知是奇函数，即， 即，即， 故的图象关于点对称，B结论正确； 又是偶函数，故， 即，故的图象关于直线对称，A结论正确； 由以上可知，即， 所以，则， 故的一个周期为8，D结论正确； 由于，令，可得， 而的图象关于直线对称，故，C结论错误， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 解：因为，，， 所以且，则，故A、C正确； 所以，所以，故D正确； 当，时满足且，但是，故B错误； 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 若集合，且，则实数的取值所组成的集合是. B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为. C. 已知函数的定义域是，则的定义域是. D. 已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是. 解：对于A，当时，方程无解，则； 当时，由方程，解得，可得或，解得或， 综上所述，的解集为，故A错误； 对于B，由题意可知：方程的解为，且， 由韦达定理可得，，则，， 解得，， 则不等式为 由，则不等式变为，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，则，所以函数的定义域为， 对于函数，则，解得，所以其定义域为，故C正确； 对于D，由题意可得，解得或， 设，其对称轴为，则，解得， ，，解得， 综上所述，的取值范围为，故D正确. 11. 已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 解：将问题化为与在上有两个交点，且横坐标分别为，， 由在上递减，且值域为； 由，且时， 在上递减，对应值域为； 在上递增，对应值域为； 综上，与交点在两侧， 即原函数的两个零点分别在区间、上各一个， 故恒成立，故A正确， 不妨设，则， 故解得，故B正确，C错误， 令，由指数函数单调性得在上单调递增， 若证，则证，，显然D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______． 解：因为是定义在上的奇函数，所以，，则． 13. 若函数（，且）的图象经过定点，若点在角的终边上（是坐标原点），则__________. 解：由对数函数图象性质易知函数过定点， 点在角的终边上，由三角函数定义可得， 所以. 14. 已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______. 解：因为函数，，若，，使得， 所以， ，令， 因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上的最小值为， 的对称轴为， 当时，即，在区间上单调递增， 所以的最小值为，所以，解得； 当时，即，在区间上单调递减， 所以的最小值为，所以，解得； 当时，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为，因为成立，所以； 综上所诉：的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）若，求和的值. 解：（1）原式； （2）， 所以. . 16. 已知集合，. （1）求； （2）集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解：（1）或， ， 故，； （2）因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又恒成立，故只能， 实数的取值范围为. 17. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据： v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用. 解：（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数， 这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型. 从而只能选择函数模型，由实验数据可得： ，得， 故所求函数解析式. （2）设超级快艇在段的航行费为（万元）， 则所需时间为（小时），其中， 结合（1）知， 所以当时，取最小值为 所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）判断的单调性，并证明； （2）解关于的不等式. 解：（1）因为是定义在R上的奇函数，则， 即 ，解得， 所以，故在R上是递减函数． 证明：任取、，且， 则，又， ∴，即，故是定义在R上的递减函数； （2）∵，∴， 是R上的奇函数，∴， 是R上的减函数，∴， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 19. 已知函数，且函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）函数，所以； （2）：， ，． 令，则． 那么：，可得：，即存在，使得成立． 即，当时取等号，的最小值为． 当时，，当时，可得，即的最大值为3． 实数的取值范围为； （3）不等式恒成立，即恒成立 当时， ，． 若时，显然恒成立． 若时，当时，分别取得最小值，所以也取得最小值． 即成立． 可得：，解得：． 若时，当时，，取得最小值，取得最大值，则取得最小值． 即成立． 得：，． 综上可得：的范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）必修第一册综合测试（一） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为　　 A. B. C. D. 4. 折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设a是函数零点，若，则的值满足（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 若集合，且，则实数的取值所组成的集合是. B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为. C. 已知函数的定义域是，则的定义域是. D. 已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是. 11. 已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则______． 13. 若函数（，且）的图象经过定点，若点在角的终边上（是坐标原点），则__________. 14. 已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）若，求和的值. 16. 已知集合，. （1）求； （2）集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据： v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. （1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）判断的单调性，并证明； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数，且函数． （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$