精品解析：湖北省宜荆荆2024届高三下学期五月高考适应性考试数学试题

【新结构】湖北省宜荆荆2024届高三5月适应性测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A. B. C. D. 2. 从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（    ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内分别对应点，，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则（    ） A. B. C. D. 4. 如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（    ） A. 36项 B. 37项 C. 38项 D. 39项 5. 直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（    ） A. B. C. 1 D. 2 6. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 7. 互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（    ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 8. 设，其中，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. D. 角的最小值为 11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ） A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增 C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则__________. 13. 已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________． 14. 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V=__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为. （1）证明：直线平面； （2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，. 17. 已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，， （1）求a的最小值； （2）求证：； 18. 已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1. （1）求抛物线的方程； （2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足. ①求点的轨迹方程； ②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由. 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新结构】湖北省宜荆荆2024届高三5月适应性测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】根据题意，角的终边在直线上， 为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 2. 从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案． 【详解】随机抽样每个个体被抽到的概率相等， 选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为， 故选：A 3. 复数在复平面内分别对应点，，将点绕原点按顺时针方向旋转得到点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出点的坐标，由旋转得出点的坐标即可得解． 【详解】由题得点，将点绕原点顺时针旋转得到点， 所以， 故选：C． 4. 如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（    ） A. 36项 B. 37项 C. 38项 D. 39项 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数． 【详解】依题意， 所以 因为， 所以， 所以，解得， 故选：D． 5. 直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 6. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，所以 ，故；同理， ，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 7. 互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（    ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【详解】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可， 故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法. 故选：D 8. 设，其中，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解. 【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可. 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 10. 在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. D. 角的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项. 【详解】选项A，若，由余弦定理，得，所以， 则三角形面积，A正确； 选项B，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立， 由余弦定理可得， 则，B正确； 选项C，因为边上的中点为，所以， 而，即，则， 所以 ，故C正确； 选项D，因为，即， 所以由余弦定理得， 又，且函数在上单调递减，所以，D错误. 故选：ABC. 11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ） A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增 C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可. 【详解】因为为质数，故小于或等于的正整数中与互质的数的数目为 ，此时，故A正确. 因为，所以，故数列不是单调递增，故B错误. 小于等于的正整数中与互质的数为，数目为， 所以在时递减，故当时，数列的最大值为1，故C正确. 小于等于的正整数中与互质的数的数为，数目为， 故，而，故数列为等比数列，故D正确. 故选： ACD. 【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 13. 已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可． 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． 14. 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V=__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象可知：当双曲线，它的渐近线以及，围成的图形绕轴旋转一周所形成的圆环面积恒定，所以根据祖暅原理可将题目转化为底面恒定，高为的圆柱，进而求出体积即可. 【详解】 如图：当双曲线，它的渐近线以及， 围成的图形绕轴旋转一周所形成的圆环， 令，分别代入和中， 解得：， 即外圆半径，内圆半径， 此圆环的面积为：为恒定值， 所以根据祖暅原理可将题目转化为底面为半径为的圆面，高为的圆柱的体积， 所以. 【点睛】关键点点睛：将几何体的体积转化成底面为半径为的圆面，高为的圆柱的体积是本题的关键所在. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）与的等差中项等于与的等比中项，推出并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式； （2）利用（1）得到，并利用裂项相消法求和，进而得解. 【小问1详解】 由题意，当时有，， 所以，解得：， ， 整理得，由此得， 所以， 整理得，由题意知  ， 所以，即数列为等差数列，其中，公差， 所以. 【小问2详解】 令， 则， 故， ， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为. （1）证明：直线平面； （2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，. 【答案】（1）证明如下： 因为分别是的中点，则， 因为平面， 平面，从而平面， 因为平面，平面平面，则， 因为平面平面，平面平面，，平面， 则平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，所以平面，由线面平行的性质得，再由面面垂直的性质得出平面，即可得证； （2）解法一：连接，则，，在中，在中，，因为，可得的值； 解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别表示和，结合可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：因为平面，平面，则， 又，则， 因为为正三角形，为的中点， 则，，、平面，从而平面， 连接，则，因为，，则， 在中，，在中，， 因为，则，得， 所以当时，； 解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 从而，， 设平面的法向量， 则，取，得 设点，则， 所以， ， 因为，则，得， 所以当时，. 17. 已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，， （1）求a的最小值； （2）求证：； 【答案】（1）3 （2） 由题意，即， 故 ，同理 . 所以. 【解析】 【分析】（1）首先求导，利用零点存在性定理求出函数的最小值，令结合的范围以及为大于等于1的整数可得答案. （2）利用（1）可知，，，再化简即可得出结论. 【小问1详解】 ， 令，则， 故  在  上单调递增， 且 ，， 由零点存在性定理知，存在唯一的，使得，即， 且，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故 ， 又，， 若存在两个不同的零点，则，即，， 由知，所以整数的最小值为3. 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1. （1）求抛物线的方程； （2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足. ①求点的轨迹方程； ②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义结合的最小值为1得出，可得抛物线的方程； （2）①设，过点且斜率存在的直线与抛物线联立，由，得出，可得点的轨迹方程； ②设，，且，根据直线与圆的相切得到分别是方程的两个根，由韦达定理得到的关系，用表示出，由为定值解出从而求得圆的方程. 【小问1详解】 设抛物线的准线，为抛物线上任意一点过作于点， 由抛物线的定义得：， 所以当与原点重合时，，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①设，过点且斜率存在的直线， 联立，消去，整理得：， 由题可知即， 是该方程的两个不等实根，由韦达定理得， 又，， 由，有，， ，，， 所以点P的轨迹方程为； ②由（2）①知， 设，，且， 所以式即为， 又， 由韦达定理，同理， 所以， 又因为和以圆心为半径为1的圆相切， 所以即， 同理, 所以分别是方程的两个根， 所以由韦达定理，, 所以, 若为定值，则，又，， 所以圆Q的方程是. 【点睛】方法技巧：由韦达定理得到未知数之间的关系 当两个未知数同时符合同一个一元二次方程时，可以看成这个一元二次方程的两个根，进而用韦达定理得到它们之间的关系，解决问题. 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 【答案】（1） （2） （3）①最大值为 ，最小值为； ②证明：对任意总存在正整数，其中 表示取整函数， 当 时，， 所以数列收敛. 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程； （2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解； ②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得， ， 则， 所以， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由题意知，其中， 所以，又由， 所以是首项为1的常数列，所以 所以，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以. 【小问3详解】 解：①当为偶数时，单调递减， 最大值为； 当 为奇数时，单调递增，最小值为， 综上可得，数列的最大值为，最小值为. ②略 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $