专题三　二次函数综合 课件 2024年中考数学专题复习（广东专版）

专题三 二次函数综合 数学 -返回目录- 题型1 二次函数背景下的线段问题 EXAM KEY POINTS -返回目录- 　二次函数背景下的线段问题与反比例函数背景下的线段问题的本质是一样的，最终都是将线段问题转化为点坐标的问题． 　　核心要点：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；与y轴平行的直线上的点的横坐标相等．如图， -返回目录- （1）与x轴垂直的线段的长等于纵坐标相减（上减下），即PQ=yP－yQ．当不确定点P，Q哪个点在上方时，PQ=； （2）与y轴垂直的线段的长等于横坐标相减（右减左），即MN=xN－xM．当不确定点M，N哪个点在右侧时，MN=； （3）斜线段时，通常采用“化斜为直”的思想，通过三角函数或相似等将线段转化，PE=PQ·cos∠QPE=PQ·cos∠QDF= ·cos∠QDF． -返回目录- 【例 1】（原创题）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A和B 两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如果设点P的坐标为（n，n+2），则点 C的坐标可表示为　 ；  （3）在（2）的条件下，请用含有n的式子 表示PC的长，当PC的长为3时，求点P的坐标； （n，2n2－8n+6）　 -返回目录- 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6．∴点B的坐标为（4，6）． ∵A，B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴ ∴抛物线的解析式为y=2x2－8x+6． -返回目录- （3）PC=（n+2）－（2n2－8n+6）=－2n2+9n－4， 当PC的长为3时，即－2n2+9n－4=3． 解得n=1或n=． 当n=1时，点P的坐标为（1，3）； 当n=． 综上，点P的坐标为（1，3）或． -返回目录- （4）在（2）的条件下，求PC的长的最大值，并求出此时点P的坐标； 由（3）知， PC=－2n2+9n－4=－2 ∵－2<0， ∴当n=． 此时点P的坐标为． -返回目录- （5）在（2）的条件下，过点C作CM⊥AB，垂足为M，当CM=3时，求n的值． 设直线y=x+2与y轴的交点为F，与x轴的交点为E． 令x=0，则y=2；令y=0，则x=－2． ∴F（0，2），E（－2，0）．∴OE=OF． ∴∠EFO=45°． ∵PC⊥x轴，∴∠EPD=∠EFO=45°． ∴△PCM为等腰直角三角形． 当CM=3CM=6． 令－2n2+9n－4=6，解得n=2或n=． -返回目录- 题型2 二次函数背景下的面积问题 EXAM KEY POINTS -返回目录- 一、二次函数背景下面积的求法 （1）铅垂法 如图1，过点E作EF⊥x轴，则S△BCE=S△EFC+S△EFB=EF·（xE－xC）+EF·（xB－xE）=EF·（xB－xC）=（yE－yF）·（xB－xC），即S△BCE=（yE－yF）·（xB－xC）． -返回目录- （2）割补法 如图2，过点B作BF⊥x轴，过点E作直线平行于x轴，与y轴交于点D，与BF交于点F，则S△BCE=S梯形CDFB－S△DCE－S△BEF=（DC+BF）·DF－DC·DE－EF·BF=xB（yE－yC）+xc（yB－yE）+xE（yc－yB）． -返回目录- （3）平行线法 如图3，过点E作BC的平行线，分别交x轴、y轴于点Q，点P．根据平行线间的距离处处相等，得S△BCE=S△BCP=S△BCQ．其中S△BCP=PC·OB=（yP－yC）·xB，S△BCQ=BQ·OC=（xQ－xB）·yC． （注意：当不确定点的上下、左右位置关系时，在用坐标表示线段长度时，切记加绝对值！） -返回目录- 二、面积比问题常见求解策略 （1）分别求出面积再求比值； （2）利用“同底（等高）的两个三角形的面积比=高（底）之比”，将面积比转化为线段比求解； （3）利用相似的性质“面积比=相似比的平方”，将面积比转化为线段比求解． -返回目录- 【例 2】（一题多解）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是AC上方抛物线上一点，若S△ACQ=S△ABC，求点Q的坐标（请尝试用铅垂线法、割补法、平行线法三种方法）． -返回目录- 解：（1）由题意，得解得 ∴抛物线的解析式为y=－x2－2x+3． （2）铅垂线法：令y=－x2－2x+3=0，则x=－3或1． ∴点A的坐标为（－3，0）． 设直线AC的解析式为y=k1x+b1． 则 ∴直线AC的解析式为y=x+3． 如图，过点Q作QN垂直于x轴于点N，交AC于点M． 设点Q的坐标为（t，－t2－2t+3），则点M的坐标为（t，t+3），其中－3<t<0． -返回目录- ∵S△ACQ=S△ABC， ∴AB×OC． ∴×4×3． ∴t2+3t+2=0． 解得t=－1或－2． 当t=－1时，y=－（－1）2－2×（－1）+3=4； 当t=－2时，y=－（－2）2－2×（－2）+3=3． ∴点Q的坐标为（－1，4）或（－2，3）． 割补法、平行线法略． -返回目录- 【例 3】（2022·福建节选）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，连接OP，OB，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D． 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 S1，S2，S3． 是否存在最大值？ 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． -返回目录- （1）解：（1）把A（4，0），B（1，4）代入y=ax2+bx， 得 ∴抛物线的解析式为y=－x． -返回目录- （2）∵ PD∥BO，∴△OBC∽△PDC．∴． 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．则 ． 如图，过点B，P分别作x轴的垂线，垂足分别F，E，PE交AB于点Q，过点D作x轴的平行线，交PE于点G． -返回目录- ∵B（1，4），∴F（1，0）．∴OF=1． ∵PD∥OB，DG∥OF，∴△DPG∽△OBF． ∴． 设P（其中1<m<4）． 可求直线AB的解析式为y=－ （m2－4m－n+4），DG=m－n． -返回目录- ∴．整理，得4n=m2－m+4． ∴ （m2－5m+4） =－． ∴当m=． -返回目录- 题型3 次函数背景下的角问题 EXAM KEY POINTS -返回目录- （一）相交线、平行线转化法 （1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角相等）；（3）角的平分线分得两个角相等． （二）三角形转化法 （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）全等（或相似）三角形的对应角相等． 二次函数背景下角度转化的常用方法 -返回目录- （三）利用等角的三角函数值相等转化法 （四）构造倍半角转化法 （1）构造倍角（如图1）； （2）构造半角（如图2） -返回目录- 【例 4】（一题多设问）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x－3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）该抛物线上是否存在点P，使∠PAO=∠OCE．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． -返回目录- 解：由题意，得A（－3，0），C（0，－3），D（－1，－4）． （1）假设存在．如图，当点P在x轴上方时，过点P作PH⊥x轴于点 H，设点P的坐标为（a，a2+2a－3）， 则∠PHA=∠COE=90°． ∵A（－3，0），C（0，－3），E（－1，0），P（a，a2+2a－3）， ∴AH=a－（－3）=a+3，PH=a2+2a－3，OC=3，EO=1． ∵∠PAO=∠OCE，∠PHA=∠COE=90°， ∴△PHA∽△EOC．∴． -返回目录- ∴，a2=－3（不符合题意，舍去）． 此时a2+2a－3=． 当点P在x轴下方时，如图，过点P'作P'F⊥x轴于点F，设点P'的坐标为（b，b2+2b－3），则∠P'FA=∠COE=90°． ∵A（－3，0），C（0，－3），E（－1，0），P'（b，b2+2b－3）， -返回目录- ∴AF=b－（－3）=b+3，P'F=－b2－2b+3，OC=3，EO=1． ∵∠P'AO=∠OCE，∠P'FA=∠COE=90°，∴△P'FA∽△EOC． ∴． 解得b1=，b2=－3（不符合题意，舍去）． 此时b2+2b－3=． ∴点P'的坐标为． 综上，在抛物线上存在点P，使∠PAO=∠OCE，此时点P的坐标为． -返回目录- （2）该抛物线上是否存在点P，使∠PCA=∠CAD．若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 假设存在．如图，当点P在直线AC的上方时， -返回目录- 设直线AD的解析式为y=kx+b． 把A（－3，0），D（－1，－4）代入，得 ∴直线AD的解析式为y=－2x－6．∵∠PCA=∠CAD，∴PC∥AD． 设直线PC的解析式为y=－2x+b1．把C（0，－3）代入y=－2x+b1，得b1=－3． ∴直线PC的解析式为y=－2x－3． 令x2+2x－3=－2x－3，解得x1=－4，x2=0（不符合题意，舍去）． 当x=－4时，y=－2x－3=5． ∴点P的坐标为（－4，5）． -返回目录- 如图，当点P'在直线AC的下方时，延长CP'交x轴于点G，延长AD交y轴于点H， ∵直线AD的解析式为y=－2x－6，∴当x=0时，y=－6．∴OH=6． ∵∠P'CA=∠CAD，∠OCA=∠OAC=45°， ∴∠P'CA+∠OCA=∠CAD+∠OAC，即∠P'CO=∠OAD． 在△GOC和△HOA中， -返回目录- ∴△GOC≌△HOA（ASA）．∴OG=OH=6． ∴点G的坐标为（－6，0）． 设直线CG的解析式为y=k2x+b2． 把G（－6，0），C（0，－3）代入，得 ∴直线CG的解析式为y=－x－3． -返回目录- 令x2+2x－3=－，x2=0（不符合题意，舍去）． 当x=－． ∴点P的坐标为． 综上，抛物线上存在点P，使得∠PCA=∠CAD，此时点P的坐标为 （－4，5）或． -返回目录- （3）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出∠CDF的平分线与y轴的交点M的坐标． -返回目录- ∵点D的坐标为（－1，－4），点C的坐标为（0，－3），∴DE=OH=4，OC=3，DH=1． ∴CH=OH－OC=1． ∴在Rt△CDH中，CD=．∵DM平分∠CDF，∴∠CDM=∠FDM． ∵DF∥y轴，∴∠CMD=∠FDM． ∴∠CMD=∠CDM．∴CM=CD=． 又∵点M在y轴的负半轴上，∴点M的坐标为（0，－3）． 如图，过点D作DH⊥y轴于点H． -返回目录- （4）在抛物线上是否存在点P，使得∠POC=∠PCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． -返回目录- 假设存在．  ∵∠POC=∠PCO，∴PC=PO．∴点P在OC的垂直平分线上． ∵O（0，0），C（0，－3），∴OC的垂直平分线为直线y=－． 把y=－． 解得x1=－1． ∴在抛物线上存在点P，使得∠POC=∠PCO， 此时点P的坐标为． -返回目录- （5）过点B的直线交直线AC于点M，当直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍时，求点M的坐标． -返回目录- 若点M在点C的左上方时，满足∠AMB=2∠ACB． 如图，过点M作MH⊥AB于点H，过点C作CG⊥MH交HM的延长线于点G． ∵∠AMB=∠ACB+∠MBC=2∠ACB，∴∠ACB=∠MBC．∴MB=MC． 设直线AC的解析式为y=kx+b． 把A（－3，0），C（0，－3）代入， 得 -返回目录- ∴直线AC的解析式为y=－x－3． ∵点M在直线AC上，∴设点M的坐标为（x，－x－3）． 又∵点B（1，0），点C（0，－3），∴MH=x+3，BH=1－x， MG=－x－3－（－3）=－x，CG=－x． ∴在Rt△MHB中，MB2=MH2+BH2=（x+3）2+（1－x）2． 在Rt△MGC中，MC2=MG2+CG2=（－x）2+（－x）2=2x2． ∵MB=MC，∴MB2=MC2．∴（x+3）2+（1－x）2=2x2．解得x=－． 把x=－． ∴此时点M的坐标为． -返回目录- 若点M'在点C的右下方时，Q为AC上M'下方的一点，满足∠QM'B=2∠ACB， 如图，过点M'作M'N⊥AB于点N． ∵∠QM'B=2∠ACB，∠AMB=2∠ACB，∴∠AMB=∠QM'B．∴M'B=MB． 设点M'的坐标为（m，－m－3）． 又∵B（1，0），M， ∴MH=，M'N=m+3，BN=1－m． -返回目录- 在Rt△MHB中，MB2=MH2+BH2=． 在Rt△M'NB中，M'B2=M'N2+BN2=（m+3）2+（1－m）2． ∵M'B=MB，∴M'B2=MB2． ∴（m+3）2+（1－m）2=． 解得m1=（不符合题意，舍去）． 把x=m=． ∴此时点M'的坐标为． 综上，当直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍时，点M的坐标为． -返回目录- （6）在y轴上是否存在点N，使得∠BCO+∠BNO=∠BAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 假设在y轴的正半轴上存在点N，使得∠BCO+∠BNO=∠BAC． 如图，过点N作NM⊥BN，交CB的延长线于点M，过点M作MH⊥y轴于点H， 则∠MHN=∠MNB=∠BON=90°． ∵A（－3，0），C（0，－3），∴OA=OC=3． 又∵∠AOC=90°，∴∠BAC=∠OCA=45°． ∴∠BCO+∠BNO=∠BAC=45°． -返回目录- ∴∠MBN=∠BCO+∠BNO=45°． ∵∠MNB=90°，∴∠NMB=∠MBN=45°． ∴NB=MN． ∵∠MHN=∠MNB=90°， ∴∠HMN+∠HNM=∠ONB+∠HNM=90°． ∴∠HMN=∠ONB． 在△HMN和△ONB中， ∴△HMN≌△ONB（AAS）． ∴HM=ON，HN=OB． -返回目录- ∵点B的坐标为（1，0），∴HN=OB=1． 设HM=ON=a，则OH=ON+HN=a+1． ∴点M的坐标为（a，a+1）． 设直线BC的解析式为y=kx+b． 把B（1，0），C（0，－3）代入，得 ∴直线BC的解析式为y=3x－3． 把M（a，a+1）代入y=3x－3，得a+1=3a－3． -返回目录- 解得a=2． ∴点N的坐标为（0，2）． 当点N在y轴的负半轴时，如图所示，根根轴对称的性质可得此时点N'的坐标为（0，－2）， 综上，在y轴上存在点N，使得∠BCO+∠BNO=∠BAC，此时点N的坐标为（0，2）或（0，－2）． -返回目录- 题型4 二次函数背景下的直角三角形的存在性问题 EXAM KEY POINTS -返回目录- 一、二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，通常需要分类讨论 以【例5】为例，需要分以下3种情况． 情况一：当∠ABE=90°时，过点B作直线BE⊥AB，与直线MC的交点即为点E； 情况二：当∠BAE=90°时，过点A作直线AE⊥AB，与直线MC的交点即为点E； 情况三：当∠AEB=90°时，以AB为直径作圆，与直线MC的交点即为点E． -返回目录- 二、二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，解题思路有两种 　　方法一：结合题目中的特殊角（或三角函数），利用几何方法求解．如【例5】可以结合45°角求解． 　　方法二：利用两点间的距离公式（初中可利用勾股定理推出），用点坐标直接表示出直角三角形的三边的长度，利用两直角边的平方和等于斜边的平方求解． -返回目录- 【例 5】（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象y=x2+x－2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．点M是二次函数上一点，过点M作MC⊥x轴于点C，在直线MC上是否存在点E，使△ABE为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． -返回目录- 解：设E（－1，m），则AE2=［－2－（－1）］2+（m－0）2=1+m2，BE2=（－1－0）2+（－2－m）2=m2+4m+5， AB2=［0－（－2）］2+（－2－0）2=8． 当∠AEB=90°时，AB2=AE2+BE2， ∴8=1+m2+m2+4m+5，即2m2+4m－2=0． 解得m=－1+． ∴点E的坐标为（－1，－1+）． 当∠ABE=90°时，AE2=AB2+BE2． ∴1+m2=8+m2+4m+5，即4m+12=0． -返回目录- 解得m=－3． ∴点E的坐标为（－1，－3）． 当∠BAE=90°时，BE2=AB2+AE2． ∴m2+4m+5=8+1+m2，即4m－4=0． 解得m=1． ∴点E的坐标为（－1，1）． 综上，点E的坐标为（－1，－1+）或（－1，－3）或（－1，1）． -返回目录- 题型5 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题 EXAM KEY POINTS -返回目录- 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题，通常需要分类讨论 　　以【例6】为例，需要分3种情况：（1）以AC为对角线；（2）以AM为对角线；（3）以AN为对角线．通常用到中点坐标公式． 　　中点坐标公式：已知 A（xA，yA），B （xB，yB），则线段AB的中点M的坐标为 -返回目录- 【例 6】（2021·广东）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，0），且对任意实数x，都有4x－12≤ax2+bx+c≤2x2－8x+6． （1）求该二次函数的解析式． （2）若（1）中二次函数图象与x轴正半轴的交点为A，与y轴的交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． -返回目录- 解：（1）不妨令4x－12=2x2－8x+6．解得x1=x2=3． 当x=3时，4x－12=2x2－8x+6=0．∴y=ax2+bx+c必过（3，0）． 又∵y=ax2+bx+c经过（－1，0），∴ ∴y=ax2－2ax－3a．又∵ax2－2ax－3a≥4x－12，∴ax2－2ax－3a－4x+12≥0． 整理，得ax2－2ax－4x+12－3a≥0．∴a>0且Δ=0． ∴（2a+4）2－4a（12－3a）=0．∴（a－1）2=0．∴a=1，b=－2， c=－3． ∴该二次函数解析式为y=x2－2x－3． -返回目录- （2）存在．理由如下：令y=x2－2x－3中y=0，得x=3，则点A的坐标为（3，0）． 令x=0，得y=－3，则点C坐标为（0，－3）．设M（m，m2－2m－3），N（n，0）． 根据平行四边形对角线的性质以及中点坐标公式，得 ①当AC为对角线时，解得m1=0（舍去），m2=2．∴n=1，即N1（1，0）． -返回目录- ②当AM为对角线时， 解得m1=0（舍去），m2=2．∴n=5，即N2（5，0）． ③当AN为对角线时， ． ∴N3（，0）． 综上，点N的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）． -返回目录- $$