福建省泉州市鲤城区2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷

福建省泉州市锂城区20232024学年下学期高三5月联考 数学试卷 本试香共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意项： 1答委带，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上用B铅笔将试卷类型填徐在答题卡相应位置上.将 条形码横贴在答题卡右上角答题卡粘贴处二 2回答选择题时，选出每小四答案后，用组铅笔把答题卡上对欣圆目的答案标号黑.如需政动，用檬皮深涂干净 后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试香上 3非选择题必须用黑色字迹的解笔或鉴字笔作答，答案必须写在答题卡各圈目指定区城内相应位置上：如需改动， 先划帅原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效 4考生必须保持答题卡的整洁。考试站束后。考生将答题卡和试题春一并交回。 一、选择题：本题共8小题。每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. L.若全集U是实数集R,集合M=r=2法-1，keN,N=日，257，等，则图中阴影部分所表示的集合为 A.2,8 B.1,57月 C.27,8剧 D.A,25等 2.若男-高+4(1=l23“,知人则数需组4，，工，和片，月，，儿 人.有相同的平均数 B.有相同的中位最 C。有相同的方差 D.有相同的众数 玉.若复最：调足引H:5+日：，则：的一个可能值是 A-1+ B.1+ C.-3+4 D.3+4 4.若a,Bc0对，且5sn =nB-an+B)+,则 妇na A.a B.a=20 ca+-月 D.a+B 三.若平面向量a,b满足同-州-2，且-宁时-训取将最小值，则，b的夹角等于 A.0 a.月 c. D音 6.已知△S4B是闋维SO的轴截而，点C在54上，且C-√5.若过点C且平行于SB的平面怡过点O,且该平面与 圆维盛面所城的二而角等于于则战周的体积为 B. C.知 D.9x 7.若函数代x)=e+x,=nx+x,则 A.函数f国，)的图象关于直线x一y=0对称B.。但+切，使得)2三g6) C.若f(周)-=1>】，则c圆2 D.若f(侧)=g(网=0，则m+用<0 8.若坐标满足方程2+2可+5y2=1的点（红y)的轨迹为曲线C,则以下结论不成立的是 A,曲线C关于原点对称 R时 c.k+2训号 D.曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1 二、选择题：本题共3小题，每小厦6分，共18分。在每小姬给出的项中，有多项符合题目要球.全都陆对的得 6分，部分选对的得部分分，有法铺的得0分。 9.若函数f到=ahm+1+,则 A.若a-0,则既是奇函数，也是函最 B.若八x为奇函数，则a-l C.若a=-,则f)存在两个不同的零点 D.若f)的定义减为R,则a2I 10已知线C:号-a>的-一条战方程为-点，上、下在点分别为行，5.则 3 人C防程为5- B.C的离心率为2 C.若点4o,%)为双曲线C上支上的班意一点，P(20),则P+5引的最小值为25 D.若点AM2反，为双曲线C上支上的一点。则A所5的内切圈面积为2x 11.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 P A 马 若数列)是等差数列，则 人.若为奇最，则红”生}-月 B.1-哑 C.若数列P】单调送增.则明c D.ECK)-)(4-n) 6 三、填空题：本是共3小题，每小题5分，共15分. 12.若fm=2C+4C+-+rC,则f)+f2+-+f- 。(用含#的式子表示) 13.若将正方体ABCD-4BC,A绕着棱AB旋转30后，CD所在数置为CD的位置，则直线眼，和平面DC所成 的角为 14.若过抛物线C:32=4虹的棉点F,且斜率为侧（侧>0）的直线交C于点，片)和，乃)，交C的准线于点 D乃)，则m∑的最小值为 四、解落题：本题共5小题。共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步理 15.(13分) 如图，棱柱4C-,G中，侧棱44⊥底面ABC,4C=C=2,E,F分别为CB,和C4的中点. (1)求迁：EFW平面AB4: 2)设B=4 在平面AB岛4上是否存在点P,使P⊥丹？若存在，指出P 点的位置：若不存在，说明理由 16.(15分) 己知函数f代)-(-l)lnr(aeR且e*0. (1)若f国20，求a: Q)若a-0,且对于任意斗，函藏句+[侣+2+2间在区间化列上总存在极值，求=的取值 范国内 17.(15分) 已知a,b,c分别为△4BC三个内角A,B,C的对边，a-2,A-60r )写出金墨p:已知a,b,e分别为△C三个内角，B,C的对地，a-2,-6心.若b=是5. 则△4C是直角三角形的逆命题g,并判感命题？的真假： (2)若△ABC外的点D满足DB⊥AB,∠BDC=1P,求△CD面积的最大值. 18.(17分) 测试发现，某位债用期为右期的足球球员甲在罚点时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为Q5,Q1和 04,并且，踢向左侧、中问和右侧时分别有0.1,02和Q2的顺中踢飞或踢偏（设有射正）.守门员在扑球一 假会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足运动员甲在罚点球时，周向球门左侧）， 中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的唇率分别为06，Q1和03.当绝猜中方向为左 侧或者右侧来时扑出点球的版率均为Q5,当他猜中方向为中间时，扑出点球的质率为08 (1)求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的幅率： (2)若球员甲在上一轮得丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守 门员乙的信心将会激增。在猜中方向的情况下。所有方向扑出点球顺 率都会在原来的基确上增如0.山：若球员甲在上一轮过球，守门员 乙将会变得着急，会有02的顺率提前移动，在守门员乙提前移动的 情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提甫 移动时扑出三个方向点球顾率均会增加Q1.假定因为守门员乙提前 比赛情景 移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动. ()球员甲第二轮进点球的概率： ()投)为球员甲在第k轮罚进球的概半，若满足对于法。2,345列， P阻z1,直接写础符 P() 合题意的： (注：载终结采均保葡两往小数.) 19.(17分) 在相同的介质中，人《肉眼看到的光线总是呈直线蹈动的.由于光在不同的 介质中的传插速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象。在如图所 示的平面直角坐标平面Oy中，x输恰好为介质1和即的分界线，光在介质1内 从点@)以入射角a,速度：在介质1内传播至x轴上的点P红O),而后 以折射角B,速度￥在介质田内传插至点B,c). (1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解斯式T(x): (2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传通，没点B在x轴上的射影为C。根据费尔马的结论，解决 以下问题： (D迁鼎：血g。整 )若：-a下，=)，来无线从点4传错到点8所径过路程的取值范困 数学试卷答案 一、选择题：本愿共8小愿，每题5分，共40分.在每小题给出的四个送项中，只有一项是符合厦目要求的. 1.A【解析】图中阴影部分所表示的集合为N∩CM,而CM=杠x=2k,keN),所以N个CM-2,),符合 题目要求的速项为A. 2C【解析】由于男一可+4(i=引，工3题，.所以数据组月，“，水.的平均数、中位数和众最都相应地此最据 组4，，，，的平均数、中位数和众最大4，但两组量磊的方差相同。符合题目要求的选项为C 3.B【解折)由于-f-开，同-+丹，所似中+：.设：a+(a,beR)则H-2a,于是 a之0，远项A和C不符合题目要求：另一方面，由H-2a得a2+2-4d,即=32，故选项D不符合题目 要求、选项B符合题目要求. D【1由0-子+可有a-导n-o co B+sinB +1 sna cos B-sinB osa 即2n8.-2csg,m ,于是如(a+)=0.又a,Bc0对，所以a+B=x,符合题目要求的法项为D. 5.B【解析1】投O4=a,OB-B,则期■-|为直线OB上的点C与点4之间的距离 由1=二时-取得最小值可知，C为线段0B的中点且4C⊥Q4. 2 由于问=州=2，所以口，的夹角等于行符合题目要求的志项为B. 【解新2】设0，b的夹角为日(8c0).则a-b-2-2b+7b2-42-cs0+4 所烈当1=c0-时-时取最小值，于是0-行，符合怎目要求的纯项为。 6.C【解析1由过点C且平行于西的平面恰过点0可知a四∥通，且∠C0(-,于是C为S4的中点，且∠8C-于 从而，A5B为边长为25的等边三角形，所以该圈维的体积为×x×可×3一红，符合题目要求的选项为C 7.C【解新】由于O)=1,西=1，这表明函数八国图象上的点(Q)关于直线x-y=0的对称点L,0不在函数 )的图象上，志项A不符合题目要求 设-a-2-小e-2-h.于--为端函最，且-f-2<0,0小-e-b0, 所以再位小使雨r气)一0，且（句在@单调适减，在+对单调疑港。 于是p一5)-2-5=2+20（等号当且假当条件气=1时成立与 ,故c0,, (x>0,项B不符合题目要求 由于山)=g(,且几x)在(-+切)上单调送增，g(在0+0)上单调违增， 所以由f(侧)=到=0可得fh-g(同-由十月-0，从而m=nm,于是周+m=如m+m=0,选项D不符合 题目要求。 综上，符合题目要求的选项为C (事实上，若八拥)=到)=4>1，则f由)-(a=1>1,且n>1 由于c哪-m=chm-,设p小-由月-n(m>1),则P(间-三-1，可得-e时p何)取最小值0.即em-m20 选项C符合题目要求.) B.D【解析】对于曲银C上的任意点（气），点（仁多，-）也在线C上，速项A不符合题目要求 街2+2y+521得（红+y了+4炉2=1，所以4s1,从雨川卢亏，选项B不符合题目要求： +可段+m0,2血0，于是+2-o0r0与@到（中，满足 p2,所刷+2训号，选项C不特合圆目要来 综上，符合题目要求的选项为D (事实上，取1，则2+矿-0，截应-到引在鱼线c上但-副}到原点的距高大于1，所选项D 符合思目要求.) 二，选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分，在每小贬给出的项中，有多项荷合题目要求。全部话对的得 6分，部分适对的得部分分，有话错的得0分. 9.BCD【解新】当a=0时.f=0-ll+),定义减为(-L,),此倒f)为排奇且非函数。志项A不符合 题目要求 若为奇通藏，则)+-=am石i+计层+i--a2+-)=0对通数国定义线中 的任意x成立。所以a~l.而a-1时，函数的)定义线为R,项B符合题目要求. 当a--1时，由f)=-n+1+=0可特x-0或x-1,项C符合题目要求 若f)的定义城为R,则 1+0,对任意xR成立千是 2+1>-x, a2+120 a20. 当r20时，+打-恒成立：当x<0时，有m2+1>2即a-r2+1>0对任意xcR成立，所以a21,适 项D符合题目要求 综上，符合题目的远项为B、C和D 10.C【解折】由于双线的近线方程为一士，所以a.。双曲线c的方程为时-产1。适项A不 3 符合烟目要求： 由。2-21将2：子，所以的离心*为2，选频B符合想目要求 42 于P小422+2a-方方-26，选项c符合目要来： 由盒利为双鱼线上技的一点可得5镭积为浙26.兰，且：万，于是5 的周长为计方方学，由于5的青国，满足S.华，所型 ,一，因此A5的内切烟面积为宁，志顿D不符合题目要求 综上，符合题目要求的适项为B和C 山.A①【解折】由藏列积是等差藏列组胃+及++2-1特+且，所烈月+-子 2 当a为奇时， 2 ,速项人符合题目要求 由+几-2得-2-吗，法项B不符合图目要果 若藏列视1单调碰增。则见-片-2-2识≥0，故明<1，志项C符合圈目要求： 由=[6+-]小-+d-a,钟d-.2-2 -一】n-月 烈n-宫--小.a- 选项D符合题目要求。 6 6 综上，符合题目的链项为A、C和D. 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共5分. 2 3-1 2 3.15【解析】如图，由对称性，不畅设C在正方形CC具内，则A8CC为顶角∠CC"一3灯的等腰三角形， 且所以直线鸥和平而CDC'(即直线QG和平面CDC)所成的角为CCC'.又 ∠Qc'.75,所以∠CCC=15. 14.12+55【解折】抛物线C:y2=4r的焦点为FL,0,准线为x=-1,直线4B的方程 为-。曲：--用0，手是店为 =在-) 为4 在方程y=四-)中令与·-小，得为·-2m 所以豆w小+至+2小-+为-男++2 ++-明]2加29+2+2m22+2,当且假当225时等成立. 四、解答厘：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步理. 15.解：(1)由E,F分别为CR和C4的中点得EFM感，· 因为4码c平面4BB4,且Fc平面4B码4： 所以EF复平而ABR4· 一5分 (2)取B中点0,4民中点M,则OC,OB,OM两两垂直，于是可建立如图所示的空间直角坐标系. 设棱柱4-h,由于C=E=2,=a,所以C2-日，00,40-2a,02a),一、。 F-反，a 若在平面4B风4上是否存在点P,使EP1F印，设PO:), 则有面厅-（正--小正，y+a-利-0， 即y+(e-h-22-1. 因为0as ,所似202-1s0. 面广+--2a-120。于是当且取当a-乎时广化--2d-1成立.此时-0，：-h 所以当0Ca三号时，存在室的点P间A小，使得1P.一 -13分 16.解：(1)解法 当21时.h20,于提由国=a-恤20可知面-20在e+网上藏立故a之目 当0<xc1时，hrc0,于是由f=(am-1nx之0可知ar-ls0在xe0,1)上恒成立， 综上，a-l. 6分 解法二：因为f他)=0，所以由f日20得f)2f初 由于f)的定义城为0+，所以x是八的极小值点，.于是f切=0 因为/八=ahx+匹-，所以了八=a-l=0,故a-l. 当a-1时，r句=hr+-上是增函数且=0. 所拟当xa0,时，代)<0：当xc(L+)时，f代>0，故)2f=0成立. 综上，a-l. -6分 2)由于a0,所以/间h,f- 于是[2+f问小{2*}-2，r-2 记x句-0的两限为气，与： 因为华一子<0，要使句在区同么止道存在值，须且只须 g3)>a① x)ca② 如式将-号，2式将mc子4，国 注意到函数y一二-3-4印2上单调鞋减。所似当1中时该函藏的最小值为9. 要使③式对任意的1c九，2恒成立，只须《9. 除上，当…在（子-内取值时.对于任意斗函数-六行了间区同么动上®存在极 值 15分 17.解：(1)逆命题g为：已知a,b,e分别为△4BC三个内角A,B,C的对边，a-2,A-6. 若△C是直角三角形，则6-5 命题？的为限命题.证明如下： 由△4C为直角三角形，且A-60°可知B-90°或C-90°. 当0心时6 当cw陈品6 综上，逆金题g是假金题.一 -6分 2)由于△AC外的点D满足∠BDC-120°，又∠R4C-6,所以A,B,C,D四点共捆. 于是由DB⊥AB可得D4=90°，且∠DCA-90°. 设400,0ea2y则C0,在△4c中由E弦定理可精c~方h0, 于是，在DB中DB后”有A 同法可得DC■ 4 c0s120P-0. 综社.△CD的面积S-D-DCa10: cw0am120-0 、设e=c0co20-,则9=四-casP+点nd me-1+cs20+5 m20-+an20-09, 2 22 42 于是当20-30°-9r+2kx36心时取到最大值，因为e≤但120).所以0=6心时，f@取得最大值：，所以 △CD面积的最大值为上 一-15分 18。解：设球员甲罚点倒，男向左侧、中间和右侧的事件分别为4，人，4，球员甲男飞或野偏（没有射正） 的事件为D,守门员乙在扑球时扑向右侧、中间和左侧的事件分别为具，鸟，昌，守门员乙扑出点球的事 件为E, 则P4=05,P\4)=a1,P(4)=a4,P(D4)=a1,P4=02,PD4=a2, P4)-06,P(4)-0.,P(4)-a3,P=a5,P叫可=as,P8=05. (1)设球员甲第1次罚点球罚去的事件为F,则F=DUE,且D,E为互斥事件， 于是PF-P(DUE)-P(D+P(E间 =2Po4P4)+2回P4小PEPa】 =05x01+01x02+02x04+Q9x05x0.6x05+08x01xa1x0.8+08x0.4x03x05 =03394 =034. 一5分 (2)()当球员甲在上一轮可丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的顺率都增如Q1,或者守门员乙提前移动 时，所有方向扑出点球的他增加0.1。所以球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互异事件： ①第轮进，第二轮守门员乙未提前移动且过，版率为(1-034xQ8x1-034)=03484螺： 第轮进，第二轮守门员乙提前移动且罚进， 此时丢球的幸为三叫4小P4)+三P问P4小P4)P) =0.5×01+01×02+02x04+09×06x06x05+09x0.1x0.1×08+08x04x03x06 =03768 所以此时进的点球的版率为1-034号×02×0-03端)-008184： ③第一轮进。第二轮守门员乙提酸移动未罚进，但重罚后罚进，此讨罚进的吸率为 1-034x02x038x1-034)=00331056: ③第轮未罚进，第二轮进，此时罚进的版*为Q34x(0-03写-0210感。 综上，第二轮球员甲罚进的顺率为034848+008184+0053引1056+02108=06742256067.一-13分 ()ξ5. 一-17分 (理由如下：由题意可知P()-1-Q34-066,P(2-067,故第三轮的韩祝如第二轮时情形，但第二轮罚进点 球的概率增如了，故第三轮罚进点球的质率比第二轮时要高，从而)(k具2，马4，习)随的增大而增大 于是，若满是对于￥kc234妈，均射组21，则-5.) P(k)