2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册综合检测

人教A版（2019）选择性必修第三册综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C A D A D B ACD ABD AB 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设随机变量，已知，则（    ） A. 0.95 B. 0.05 C. 0.975 D. 0.425 解：. 2. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 解：由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 3. 变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则=（ ） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 解：由已知得，，而回归直线过样本中心， ∴，∴， 4. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ） A. B. C. D. 解：设试验成功的概率为，解得：； 记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1， 则随机变量X的数学期望, 5. 若，则（ ） A. 45 B. 55 C. 120 D. 165 解：因为， 所以， 解得. 故 . 6. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ） A. B. C. D. 解：由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”， 则, 表示事件“抽到两名女同学”，则, 故, 7. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 解：令， 则， 8. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和n个红球．先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是，则（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 4 解：设“取出的球来自甲袋”为事件，“取出的球来自乙袋”为事件，“取出的球来自丙袋”为事件，“该球为红球”为事件， 则，，，， 所以，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量~，则． B. 若随机变量的方差，则． C. 若，，，则事件与事件独立． D. 若随机变量服从正态分布，若，则． 解：随机变量，则，故A正确； 随机变量的方差，则，故B错误； 由，即事件与事件独立，故C正确； 随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 解：令得：，所以，故A正确； 令得：，即，故B正确； 展开式的第项为：， 所以，即，所以，故C错误； 令得：， 所以，故D正确； 11. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是减函数 D. 解：因为，所以，故A正确； 若，则， 所以，故B正确； 当增大时也增大，所以在上是增函数，故C错误； 因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项为______.（用数字作答） 解：由题设，， 当时，常数项为. 13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________． 解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为， 因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜， 所以最后甲获胜的概率, 14. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 给出下列四个结论： ①当为等差数列时，； ②当为等差数列时，公差； ③当数列满足时，； ④当数列满足时，时，. 其中所有正确结论的序号是__________. 解：由题意可得：，且,，，2，，10， 对①：当为等差数列时，则， 可得，故，①正确； 对②：当为等差数列时,由①知，所以， 由于,，所以，解得：，故②错误； 对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10， 则， 可得,，③正确； 对④：当数列满足，2，时，则， 可得，,3，时,所以， 由于，所以， 因此， 由于，所以，因此， 当也符合，故，④正确． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2∶1． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数；（用数字作答） （3）求值：． 解：（1）由题意可得， 即， 即，故； （2）， 其展开式的通项公式，， 令，解得， 故展开式中含的项的二项式系数为； （3） ， 由， 故， 故原式. 16. 某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． （1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) （2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； （3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 解：（1）因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布， 所以， 因为， 所以这个社区中“超标”社区的个数为. （2）由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以，的分布列为： 则. （3） 由（1）可知随机变量 所以， 所以的值约为0.35． 17. 某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的． （1）求该同学所有题目都答对的概率； （2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望； （3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率． 解：（1）该同学所有题目都答对的概率为， （2）由题意可得：可能的取值为， ， ， 所以X的分布列为： ， （3）该同学总分为分得情况为：只答对或只答对， 所以该同学总分为3分的概率：. 18. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望． 附：，其中． 0100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：（1）零假设学生对长跑喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联. （2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 （3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即，所以. 19. 有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点． （1）求； （2）若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率； （3）若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据) 解：（1）设恰有3次得到6点朝上的概率为， 则，， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的极大值点． （2）设事件{3次6点朝上}，事件{选择了乙骰子}， 则，， 故所求概率为. （3）设事件{10次有次用了乙骰子}，则. 设事件{10次6点朝上}，则. ， ， 令，， 则. 由可得，，解得 所以的最大值是，所以当时最大， 且最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第三册综合检测 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设随机变量，已知，则（    ） A. 0.95 B. 0.05 C. 0.975 D. 0.425 2. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 3. 变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则=（ ） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 4. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 45 B. 55 C. 120 D. 165 6. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和n个红球．先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是，则（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量~，则． B. 若随机变量的方差，则． C. 若，，，则事件与事件独立． D. 若随机变量服从正态分布，若，则． 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是减函数 D. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项为_________.（用数字作答） 13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________． 14. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 给出下列四个结论： ①当为等差数列时，； ②当为等差数列时，公差； ③当数列满足时，； ④当数列满足时，时，. 其中所有正确结论的序号是__________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2∶1． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数；（用数字作答） （3）求值：． 16. 某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． （1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) （2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； （3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 17. 某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的． （1）求该同学所有题目都答对的概率； （2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望； （3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率． 18. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望． 附：，其中． 0100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点． （1）求； （2）若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率； （3）若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到0.01）．(参考数据) 学科网（北京）股份有限公司 $$