第2章一元二次方程01章末总复习十大题型【考点分析】 【典例专练】 【举一反三】（原卷 解析版）2023-2024学年浙教版数学八年级下册

第二章 一元二次方程章末总复习十大题型01 【浙教版】 ( 题型梳理 ) ( 知识点1 一元二次方程定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 ) 题型一：利用定义判断一元二次方程 【例题1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【变式训练1-1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 ( 知识点2 一元二次方程的一般形式是 （ ， 、 、 为常数 ） ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 ) 题型二：一元二次方程的一般式形式 【例题2】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 【变式训练2-1】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【变式训练2-2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．2，3 B．3，1 C． D． 【变式训练2-3】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-4】把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2， 【变式训练2-5】将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， ( 知识点3 一元二次方程解的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 ) 题型三：一元二次方程的解 【例题3】关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（     ） A．0.5 B．1 C．1或-1 D． 【变式训练3-1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式训练3-2】已知a是方程 的一个根，求代数式   的值（    ） A． B．1 C． D．3 【变式训练3-3】已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式训练3-4】若方程的根也是方程的根，则（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练3-5】关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 题型四：利用降次求代数式的值 【例题4】若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【变式训练4-1】已知m是方程的根，则式子 的值为（    ） A．2015 B．2014 C．2013 D．2012 【变式训练4-2】已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式训练4-4】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个根，则m+﹣2015+的值为（　　） A．2016 B．2015 C． D． ( 知识点4 直接开平方法 ： 一般地，对于方程 （ 是最简单的一元二次方程） 配方法 ： 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 的形式 ； 公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 因式分解法：一般地，对于方程 。 ) 题型五：一元二次方程的解法 【例题5】解下列一元二次方程 (1) ； (2)； (3)（配方法）； (4)（公式法）． 【变式训练5-1】选择合适的方法解方程： (1) (2) 【变式训练5-2】用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【变式训练5-3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练5-4】解方程： (1)； (2)． 【变式训练5-5】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． ( 知识点5 根的判别式 一元二次方程 ： （ ， 、 、 为常数 ） 当 △ ＞0时，方程有2个不相等的实数根； 当 △ =0时，方程有2个相等的实数根； 当 △ ＜0时，方程没有实数根。 ) 题型六：根的判别式 【例题6】已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式训练6-1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【变式训练6-3】已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【变式训练6-4】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【变式训练6-5】已知关于x的方程． (1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根． 【变式训练6-6】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 题型七：利用直接开方求方程的解 【例题7】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-3】关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【变式训练7-4】关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-5】若关于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型八：利用特殊法解一元二次方程 【例题8】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练8-2】若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【变式训练8-3】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（    ） A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2 【变式训练8-4】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【变式训练8-5】根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（  　   ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 ( 知识点6 一元二次方程 ： （ ， 、 、 为常数 ） 的两个根是 、 注意：用根与系数的关系的前提是一元二次方程要有根。 ) 题型九：根与系数的关系 【例题9】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【变式训练9-1】关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【变式训练9-2】已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【变式训练9-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【变式训练9-4】已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围． 【变式训练9-5】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【变式训练9-6】已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根． (2)若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？ 题型十：配方法的应用 【例题10】小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【变式训练10-1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【变式训练10-2】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【变式训练10-3】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 【变式训练10-4】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【变式训练10-5】仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理： 解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴ 上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性 质来解决问题． 请利用拆项配方解题思路，解答下列问题： (1)若，则___________ ， ___________ ； (2)已知满足，求，的值； (3)直接写出的最大值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程章末总复习十大题型01 【浙教版】 ( 题型梳理 ) ( 知识点1 一元二次方程定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 ) 题型一：利用定义判断一元二次方程 【例题1-1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、,是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【例题1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式训练1-1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．， 整理得：，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故此选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．，不是整式方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练1-2】下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中，有2个未知数，不属于一元二次方程，故不符要求； B中，不是整式，不属于一元二次方程，故不符要求； C中，属于一元二次方程，故符要求； D中，当时，不属于一元二次方程，故不符要求； 故选：C． 【变式训练1-3】关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【详解】将原方程化为一般式得：， ∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：C． ( 知识点2 一元二次方程的一般形式是 （ ， 、 、 为常数 ） ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 ) 题型二：一元二次方程的一般式形式 【例题2】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 【答案】B 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3；；， 故选；B． 【变式训练2-1】将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 【变式训练2-2】将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．2，3 B．3，1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ ∴二次项系数和一次项系数分别为 故选：D 【变式训练2-3】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：， 移项，得， 这里， 故选：D． 【变式训练2-4】把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2， 【答案】A 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1， 故选：A 【变式训练2-5】将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． ( 知识点3 一元二次方程解的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 ) 题型三：一元二次方程的解 【例题3】关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（     ） A．0.5 B．1 C．1或-1 D． 【答案】D 【详解】把代入方程中，得 ， 解得， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故选：D． 【变式训练3-1】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意得：， 即：， 故选A． 【变式训练3-2】已知a是方程 的一个根，求代数式   的值（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】解： ， ∵a是方程的一个根， ∴， 即．     ∴原式． 故选：D． 【变式训练3-3】已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 【变式训练3-4】若方程的根也是方程的根，则（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵方程的根也是方程的根， ∴存在实数m，n，使得， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式训练3-5】关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024， ∴， ∴， ∴， ∴是方程一定有实数根． 故选：D 故选：A． 题型四：利用降次求代数式的值 【例题4】若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】A 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练4-1】已知m是方程的根，则式子 的值为（    ） A．2015 B．2014 C．2013 D．2012 【答案】A 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A 【变式训练4-2】已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】B 【详解】∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 故选： 【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【变式训练4-4】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【变式训练4-5】已知m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个根，则m+﹣2015+的值为（　　） A．2016 B．2015 C． D． 【答案】C 【详解】∵m是方程x2﹣2016x+1＝0的一个不为0的根， ∴m2﹣2016m+1＝0， ∴m2+1＝2016m， ∴m+＝2016 ∴原式＝2016﹣2015+＝， 故选：C． ( 知识点4 直接开平方法 ： 一般地，对于方程 （ 是最简单的一元二次方程） 配方法 ： 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 的形式 ； 公式法：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 因式分解法：一般地，对于方程 。 ) 题型五：一元二次方程的解法 【例题5】解下列一元二次方程 (1) ； (2)； (3)（配方法）； (4)（公式法）． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ∴ ∴， 解得； （4）解：， ， ， 解得． 【变式训练5-1】选择合适的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)，；(2)，． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， 即， ∴或者， ∴，． 【变式训练5-2】用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 【变式训练5-3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， 即， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 【变式训练5-4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴， 则； （2）解：， ， ， ， ， 解得． 【变式训练5-5】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：直接开平方得：， ∴或， 解得：，； （2）解：移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：，． ( 知识点5 根的判别式 一元二次方程 ： （ ， 、 、 为常数 ） 当 △ ＞0时，方程有2个不相等的实数根； 当 △ =0时，方程有2个相等的实数根； 当 △ ＜0时，方程没有实数根。 ) 题型六：根的判别式 【例题6】已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解： ∵ ∴即 ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式训练6-1】若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， A、若，，不符合题意； B、若，，不符合题意； C、若，，符合题意； D、若，，不符合题意． 故选：C． 【变式训练6-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）解：∵； ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴， ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴或． 【变式训练6-3】已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 【变式训练6-4】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）证明：． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． 【变式训练6-5】已知关于x的方程． (1)求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个实数根为 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）把代入得，， 解得 ∴， ∴， 即 ∴ ∴ 【变式训练6-6】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得； （2）证明：由题意得，， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 题型七：利用直接开方求方程的解 【例题7】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴则方程的解是 故选：D 【变式训练7-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：解方程（，，均为常数，）， 得：， 关于的方程（，，均为常数，）的解是，， ，， 方程的解为， ，， 故选：． 【变式训练7-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：（m，h，k均为常数，m≠0）， 解得， 而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是， 所以， 方程的解为， 所以 ． 故选：C． 【变式训练7-3】关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（     ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【答案】B 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【变式训练7-4】关于x的方程的解是，、m、b均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， 而关于x的方程的解是，， 所以，， 所以，． 故选A． 【变式训练7-5】若关于x的一元二次方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣m±＝﹣3或1. a（x＋m－2）2＋b＝0可变形为x＝2－m±，所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的两根分别为x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故选C. 题型八：利用特殊法解一元二次方程 【例题8】若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 故选：D． 【变式训练8-1】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程即， 设t＝x＋2，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为t＝2022， 所以x＋2＝2022， 解得x＝2020， 所以一元二次方程必有一根为x＝2020， 故选：A． 【变式训练8-2】若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【答案】D 【详解】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：D． 【变式训练8-3】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（    ） A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2 【答案】A 【详解】解：A.把x=-2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a﹣2b十c＝0，所以，x=-2是方程的一个根，故选项A符合题意； B.把x＝代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得a﹣b十c＝0，所以，x=-不是方程的一个根，故选项B不符合题意； C.把x＝-4代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得16a﹣4b十c＝0，所以，x=-4不是方程的一个根，故选项C不符合题意； D.把x＝2代入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）得4a+2b十c＝0，所以，x=2不是方程的一个根，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式训练8-4】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵a﹣b+c＝0， ∴a×12﹣b×1+c＝0， ∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1． 故选：B． 【变式训练8-5】根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（  　   ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 【答案】C 【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0， x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0， ∴ 1.1<x<1.2时，x2 +12x﹣15=0 即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1<x<1.2， 故选C． ( 知识点6 一元二次方程 ： （ ， 、 、 为常数 ） 的两个根是 、 注意：用根与系数的关系的前提是一元二次方程要有根。 ) 题型九：根与系数的关系 【例题9】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 【变式训练9-1】关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 【变式训练9-2】已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 【变式训练9-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析(2)或 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 【变式训练9-4】已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴n的取值范围为； （2）解：由题意知，， 设方程的两根为， 依题意得，，即， 解得，或， ∴m的取值范围为或． 【变式训练9-5】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为17 【详解】（1）解：根据题意得判别式，解得， ，， ，即， ， 整理得，解得，， 而， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去， 所以这个三角形的周长为17． 【变式训练9-6】已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根． (2)若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？ 【答案】(1)见详解(2)5 【详解】（1）证明： ， ∵无论取什么实数值，， ， 所以无论取什么实数值，方程总有实数根； （2） ∵恰好是这个方程的两个实数根， 设 当、为腰，则，而，所以这种情况不成立， 当、为腰，则，解得， 此时三角形的周长． 题型十：配方法的应用 【例题10】小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值， ∴关于的多项式关于对称， 又∵关于的多项式关于对称， ∴， 故答案为：4； （3）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 【变式训练10-1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 【变式训练10-2】如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析 (2)最小值为 【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【变式训练10-3】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 【答案】(1)；．(2)17． 【详解】（1）解：， 该多项式关于对称； ， 关于对称， ； 故答案为：；． （2）， 关于对称， ， ， 当时，多项式的值为5， ， ， 时， ． 【变式训练10-4】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 【变式训练10-5】仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知满足，求的值．我们可以这样处理： 解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴ 上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性 质来解决问题． 请利用拆项配方解题思路，解答下列问题： (1)若，则___________ ， ___________ ； (2)已知满足，求，的值； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值 【详解】（1）解：∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）∵（拆项）， ∴， ∴（配方）， 又∵， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴的最大值为5． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$