辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三第十次质量监测（最后一卷）数学试题

试卷第 1页，共 4页 沈阳市第 120中学 2023-2024学年度下学期 高三年级第十次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高三数学组 校对人：高三数学组 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { 1 2}, { 2 1}A x x B x x       ∣ ∣ ，则集合   BAC BA （ ） A．  1,1 B．  2,2 C．    2, 1 1,2   D． ( 2, 1] [1,2)   2．已知数列 na 等比数列，且 1 2 3 41, 64a a a a  ,则 2log 5a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 y xC a b a b     的离心率 5e  ，则 C的渐近线方程为（ ） A． 4 0x y  B． 2 0x y  C． 2 0x y  D． 4 0x y  4．设 a，b都是不等于 1的正数，则“3 3 3a b  ”是“ log 3 log 3a b ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出 10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为 1 2 10x x x､ ､ ､ ，乙班的十个人成绩分别为 1 2 10, , ,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同， 则把这 20个数据合并后（ ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 6．在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废 弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地 计划将如图所示的四边形荒地����改造为绿化公园，并拟计划修建主干路��与��.为更好 的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ��平分∠���，�� = ��，则 cos∠��� =( ) 试卷第 2页，共 4页 A. 63 B. 2 2 9 C. 2 2 3 D. 3 3 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设�, �,�(� > 0)为整 数，若�和�被�除得的余数相同，则称�和�对模�同余，记为� ≡ �(����).若� = �201 ⋅ 2 + �202 ⋅ 22 +⋯ + �2020 ⋅ 220, � ≡ �(���7)，则�的值可以是 ( ) A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 8．在 ABC 中， 6BC  ， 8AB AC  ，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将 AFG ， BEG ， CEF△ 分别沿 FG，EG，EF 向上折起，使得 A，B，C重合，记为 P，则三棱锥 P EFG 的外接球表面积的最小值为（ ） A． 15π 2 B． 17π 2 C． 19π 2 D． 21π 2 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 1z 、 2z 都是复数，下列正确的是（ ） A．若 1 2z z ，则 1 2 z z B． 1 2 1 2z z z z C．若 1 2 1 2z z z z   ，则 1 2 0z z  D． 1 2 1 2z z z z   10．设函数   3log 3 0af x x ax a   且 1a  在 3 ,2 2       上单调递减，则 a的取值可以为（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 4 3 D．3 11．设M N、 为随机事件，且 ( ) ( ) (0,1)P M P N 、 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ( ) ( )P N M P N ，则M N、 可能不相互独立 B．若 ( ) ( )P N M P N ，则 ( ) ( )P M N P M C．若 ( ) ( )P N M N P N M N   ，则    NMPNP  D．若                MNP MNP NMP NMP b NMP NMP MNP MNP a  , ，则 a b 试卷第 3页，共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．若向量 a在向量b  上的投影为 1 3 b  ，且 | 3 | | |a b a b      ，则 cos ,a b    . 13．已知函数   xxf cos ，将  f x 的图象向右平移 12 个单位长度，得到函数  g x 的图 象，则函数        y f x g x f x g x   的值域为 ． 14．已知点M 在抛物线 2Γ: 4x y 上运动，过点M 的两直线 1 2,l l 与圆 2 2: ( 3) 4C x y   相 切，切点分别为 ,A B，当 AB MC 取最小值时，直线 AB的方程为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题 13分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在 全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共 1500 名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取 200名学生，并按成绩分为五组： 50,60 ，  60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 3 7 ． (1)求抽取的 200名学生的平均成绩 x（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是 92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方 法抽取 7人，甲被抽到，再从中选取 2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高 三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩 79x s  （ s为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的 1500 名学生成绩优秀的人数． 参考公式：  2 1 n i i i s x x f    ，（ if 是第 i组的频率），参考数据： 30 5.5 试卷第 4页，共 4页 16．（本题 15分）如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD和侧面 1 1ABB A均是边长 为 2的正方形． (1)证明： 1 1BD BC ． (2)若二面角�1 − �� − �的大小为 2� 3 ，求 1BD 与平面 1 1BCD 所成角的正弦值. 17.（本题 15分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的离心率为 3 3 ，点 ,E F分别为其下顶点 和右焦点，坐标原点为O，且 EOF 的面积为 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线 l，使得 l与椭圆C相交于 ,A B两点，且点 F 恰为 EAB 的垂心？若存在，求直线 l的方程，若不存在，请说 明理由. 18.（本题 17分）设函数 2 1( ) ln 2 f x x x x ax   的两个极值点分别为 1x ，  212 xxx  ． (1)求实数 a的取值范围； (2)若不等式  21 xxa  恒成立，求正数 的取值范围（其中 2.71828e  为自然对数的 底数）． 19.（本题 17分）若数列 nx 满足：存在等差数列 nc ，使得集合 *n nx c n N∣ 元素的个 数为不大于  *k kN ，则称数列 nx 具有  Q k 性质. (1)已知数列 na 满足 1 2a  ，  *1 π π2 cos sin2 2n n n na a n     N .求证：数列 πcos 2n na     是 等差数列，且数列 na 有  3Q 性质； (2)若数列 na 有  1Q k 性质，数列 nb 有  2Q k 性质，证明：数列 n na b 有  1 2Q k k 性质； (3)记 nT 为数列 nf 的前 n项和，若数列 nT 具有  Q k 性质，是否存在 *mN ，使得数列 nf 具有  Q m 性质？说明理由. 试卷第 1页，共 12页 沈阳市第 120 中学 2023-2024 学年度下学期 高三年级第十次质量监测 数学试题答案 一、单选题 1．已知集合 { 1 2}, { 2 1}A x x B x x       ∣ ∣ ，则集合   BAC BA （ ） A．  1,1 B．  2,2 C．    2, 1 1,2   D． ( 2, 1] [1,2)   【答案】D 【详解】由题意，    1,1 , 2, 2A B A B      ，所以     2, 1 1,2A B A B     ð . 故选：D. 2．已知数列 na 等比数列，且 1 2 3 41, 64a a a a  ,则 2 5log a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由等比中项性质可知 3 2 3 4 3 364 4a a a a a    ， 又 2 3 1 5 5 216 16, log 16 4a a a a      . 3．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 y xC a b a b     的离心率 5e  ，则 C的渐近线方程为（ ） A． 4 0x y  B． 2 0x y  C． 2 0x y  D． 4 0x y  【答案】C 【详解】双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 y xC a b a b     的渐近线方程为 ay x b   ， 又离心率 2 2 2 5 c a be a a     ，所以 2 2 4 b a  ，则 2 b a  ， 所以双曲线的渐近线方程为 1 2 y x  ，即 2 0x y  . 故选：C 4．设 a，b都是不等于 1的正数，则“3 3 3a b  ”是“ log 3 log 3a b ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 试卷第 2页，共 12页 【详解】由3 3 3a b  ，得 1a b  ，于是 3 3 1 1log 3 log 3 log loga ba b    ， 反之，若 log 3 log 3a b ，取 1 , 3 3 a b  ，满足 log 3 log 3a b ，而3 3 3a b  不成立， 所以“3 3 3a b  ”是“ log 3 log 3a b ”的充分不必要条件. 故选：B 5.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出 10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为 1 2 10x x x､ ､ ､ ，乙班的十个人成绩分别为 1 2 10, , ,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同， 则把这 20个数据合并后（ ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【详解】不妨设 1 2 10 1 2 10,x x x y y y      ， 则 1 2 10x x x､ ､ ､ 的中位数为 5 62 x x ， 1 2 10y y y､ ､ 的中位数为 5 62 y y ， 因为 5 6 5 6 2 2 x x y y   ，所以 5 5 6 6x y y x   或 5 5 6 6y x x y   ， 则合并后的数据中位数是 5 6 2 x x 或者 5 6 2 y y ，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为 2s ，平均数为 x，第二组数据的方差为 2s ，平均数为 y， 合并后总数为 20，平均数为，方差为 2s ，  2 2 2 2 21 10 ( ) 10 ( )10 10s s x s y             2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 s x s y s x y s                     如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃 资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计 划将如图所示的四边形荒地����改造为绿化公园，并拟计划修建主干路��与��.为更好的 规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ��平分∠���，�� = ��，则 cos∠��� =( ) 试卷第 3页，共 12页 A. 63 B. 2 2 9 C. 2 2 3 D. 3 3 【答案】A 【解答】 解：设∠��� = �，则∠��� = 2�，设�� = �� = �，则�� = �cos�，�� = �cos2�， 故在△���中，由余弦定理可得 cos2� = � 2+�2cos4�−�2 2�⋅�cos2� = 1 2 cos 2�， 而 cos2� = 2cos2� − 1，故cos2� = 23，cos2� = 1 3， 直角三角形���中，�为锐角，故 cos� > 0，故 cos� = 63 ． 故选 A． 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设�, �,�(� > 0)为整 数，若�和�被�除得的余数相同，则称�和�对模�同余，记为� ≡ �(����).若� = �201 ⋅ 2 + �202 ⋅ 22 +⋯ + �2020 ⋅ 220, � ≡ �(���7)，则�的值可以是 ( ) A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 【答案】D 【解答】 解：� = �201 ⋅ 2 + �202 ⋅ 22 +⋯ + �2020 ⋅ 220 = (1 + 2)20 − 1 = 910 − 1 = 7 + 2 10 − 1， 所以�除以 7的余数是 1，故选：� 8．在 ABC 中， 6BC  ， 8AB AC  ，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将 AFG ， BEG ， CEF△ 分别沿 FG，EG，EF 向上折起，使得 A，B，C重合，记为 P，则三棱锥 P EFG 的外接球表面积的最小值为（ ） A． 15π 2 B． 17π 2 C． 19π 2 D． 21π 2 试卷第 4页，共 12页 【答案】B 【详解】设 2AB m ， 2AC n ，由题设 4m n  . 三棱锥 P EFG 中， 3FG PE  ， EF PG m  ， EG PF n  ， 将 P EFG 放在棱长为 x，y，z的长方体中，如图， 则有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3x y y z m z x n          ， 三棱锥 P EFG 的外接球就是长方体的外接球，所以  2 2 2 2 2 21(2 ) 92R x y z m n      ， 由基本不等式 2 2 2 ( ) 8 2 m nm n    ，当且仅当 2m n  时等号成立， 所以外接球表面积 2 1 17π4π (9 8)π 2 2 S R    . 故选：B. 二、多选题 9．已知 1z 、 2z 都是复数，下列正确的是（ ） A．若 1 2z z ，则 1 2 z z B． 1 2 1 2z z z z C．若 1 2 1 2z z z z   ，则 1 2 0z z  D． 1 2 1 2z z z z   【答案】BD 【详解】对于 A：令 1 2 iz   、 2 1 2iz   ，则 1 2 5z z  ，显然不满足 1 2 z z ，故 A错误； 对于 C：令 1 1 iz   、 2 1 iz   ，则 1 2 2z z  ， 1 2 2iz z  ， 所以 1 2 1 2z z z z   ，但是   21 1 i 1 i 2z z     ，故 C错误； 设 1 iz a b  ， 2 i( , , , R)z c d a b c d   ， 所以     1 2 i i iz z a b c d ac bd ad bc        ， 试卷第 5页，共 12页 则  1 2 iz z ac bd ad bc                2 2 2 2 2 2ac bd ad bc ac bd ad bc        ， 又        2 2 2 22 2 2 21 2z z a b c d ac bd ad bc         ， 所以 1 2 1 2z z z z   ，故 B正确；  1 2 iz z ac bd ad bc     ，又      1 2 i i iz z a b c d ac bd ad bc        ， 所以 1 2 1 2z z z z   ，故 D正确. 故选：BD 10．设函数   3log 3 0af x x ax a   且 1a  在区间 3 , 2 2       上单调递减，则 a的取值可以为 （ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 4 3 D．3 【答案】AC 【详解】令 3 3y x ax  ，   3 3g x x ax  ，     23 3 3g x x a x a x a     ， 当    , ,x a a      时，   0g x  ；当  ,x a a  时，   0g x  ；  g x 在  , a  ，  ,a  上单调递增，在  ,a a 上单调递减； 令   0g x  ，解得： 0x  或 3x a  ， 3 3y x ax   的大致图象如下图所示， 当 1a  时，若  f x 在 3 ,2 2       上单调递减，则 3 3y x ax  在 3 , 2 2       上单调递减， 3 2 3 2 a a    ，解得： 4 9 3 4 a  ； 当 0 1a  时，若  f x 在 3 , 2 2       上单调递减，则 3 3y x ax  在 3 ,2 2       上单调递增， 试卷第 6页，共 12页 2 a  或 3 3 2 a ，解得： 30 4 a  ； 综上所述：实数 a的取值范围为 3 4 90, , 4 3 4           ， a 可能的取值为 2 2 和 4 3 . 故选：AC. 11．设M N、 为随机事件，且 ( ) ( ) (0,1)P M P N 、 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ( ) ( )P N M P N ，则M N、 可能不相互独立 B．若 ( ) ( )P N M P N ，则 ( ) ( )P M N P M C．若 ( ) ( )P N M N P N M N   ，则    NMPNP  D．若 ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) P M N P N MP N M P M N a b P N M P M NP M N P N M     ，则 a b 【答案】BCD 【详解】对于 A选项，根据条件概率公式      P MN P N M P M  及    P N M P N ， 得       P MN P N P M  ，即      P MN P M P N ，所以，M 、N相互独立，A错； 对于 B选项，由 A知，当    P N M P N 时，      P MN P M P N ， 所以，              P MN P M P N P M N P M P N P N     ，B对； 对于 C选项，由    P N M N P N M N   ，得        P MNP N P M N P M N    ， 所以    P N P MN ，C对； 对于 D选项，                     P MN P NP MN P M P MN a P M P MN P N P MN P MN      ，                     P MN P MP MN P N P MN b P N P MN P M P MN P MN      ，所以， a b ，D对. 故选：BCD． 三、填空题 12．若向量 a在向量b  上的投影为 1 3 b  ，且 | 3 | | |a b a b      ，则 cos ,a b    . 试卷第 7页，共 12页 【答案】 3 3 【详解】 a在b  上的投影为 1 3 b  ， 1 3| | | | a b b b b b         ，则 2 1 3| | a b b     ，即 3b a b    又 | 3 | | |a b a b      ，平方得 28 8a a b    ，则 a a b    3 3,cos  ba baba ，故答案为： 3 3 ． 13．已知函数   xxf cos ，将  f x 的图象向右平移 12 个单位长度，得到函数  g x 的图 象，则函数        y f x g x f x g x   的值域为 ． 【答案】 11, 2 2      【详解】   cosπf x x ，所以   1 sinπ 2 g x f x x       ，故 cosπ sinπ cosπ sinπy x x x x   ． 令 πcosπ sinπ 2sin π 4         t x x x ，则 2, 2t     ，且 2 1cosπ sinπ 2 tx x  ， 所以   2 21 1 1 1 2 2 ty t t     ， 当 1t   时， min 1y   ；当 2t  时， max 1 2 2 y   ，所以所求函数的值域为 11, 2 2      ． 故答案为： 11, 2 2      ． 14．已知点M 在抛物线 2Γ: 4x y 上运动，过点M 的两直线 1 2,l l 与圆 2 2: ( 3) 4C x y   相 切，切点分别为 ,A B，当 AB MC 取最小值时，直线 AB的方程为 . 【答案】 1 0x y    【详解】如图，设 2 0 0 , 4 xM x       ，设 AB与MC交于H，由题意知 AB MC^ ， 2AC  ， Rt ACM 中， 22 2 4AH MC AC MA MA CM      ， 试卷第 8页，共 12页 而 2AB AH ，则 22 4 4AB MC AH MC CM     ， 当 CM 最小时， AB MC 取最小值. 而     22 4 2 22 20 0 0 0 0 10 3 9 4 8 4 16 2 16 x x xCM x x                ， 当且仅当 2 0 4x  时，   22 0 1 4 8 16 x   取得最小值，此时  2,1M  ， 2 2CM  ， 2MA  ， 则以M 为圆心， MA 为半径的圆的方程为： 2 2( 2) ( 1) 4x y   ， 与圆 2 2: ( 3) 4C x y   的方程相减，可得 AB的直线方程为： 1y x   ，即 1 0x y    ， 故答案为： 1 0x y    四、解答题 15.（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：  55 0.011 65 0.02 75 0.034 85 0.028 95 0.007 10 75x             ， 所以抽取的 200名学生的平均成绩 75x  ．…………………………………………4分 （2）由于第五组总共要抽取 7人，高三学生占 3 7 ，所以抽到的高三学生应该有 37 3 7   人， 设宣讲组 2人有高三学生为事件 A，高三甲同学不入选为事件 B, 7 51)( 2 7 2 4  C CAP , 7 3)( 2 7 2 2 1 4 1 2    C CCCABP 由条件概率计算公式得，     5 3 7 5 7 3 )(  AP ABPABP 宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率为 5 3 ．…………………………8分 （3）依题意，由方差的计算公式，可得：          2 2 2 2 255 75 0.11 65 75 0.2 75 75 0.34 85 75 0.28 95 75 0.07s                44 20 0 28 28 120 2 30 11        ，…………………………………… 所以优秀的比赛成绩应该 79 79 11 90x s     ， 而比赛成绩在  90,100 的频率为 0.007 10 0.07  ， 因为1500 0.07 105  ，故参赛的 1500名学生成绩优秀的人数为 105人．…………13分 试卷第 9页，共 12页 16．（1）连接 1BC ，因为底面 ABCD和侧面 1 1ABB A均为正方形， 所以 1 1 1 1 1BB A B AD  ，则四边形 1 1BCC B 为菱形，则 1 1BC BC ， 由底面 ABCD和侧面 1 1CDDC 均为正方形，得 1 1 1 1 1 1 1C D BC C D CC ， ． 因为 1 1 1 1 1 1 1, ,BC CC C BC CC  平面 1 1BCC B ，所以 1 1C D 平面 1 1BCC B ， 又 1 1 1BC BCC B平面 ，所以 1 1 1C D BC ． 因为 1 1 1 1 1 1 1, ,BC C D C BC C D  平面 1 1BC D，所以 1B C 平面 1 1BC D， 又 1BD 平面 1 1BC D，所以 1 1BD BC .……………………………………………………6分 （2）因为平面 ABCD和平面 1 1ABB A均为正方形，所以 1AB AA AB AD ， ，又 1AA AD A  ， 1 1 1,AA AD AAD D平面 ，所以 1 1AB AAD D平面 ， 又因为二面角�1 − �� − �的大小为 2� 3 ，所以 1 120B BC  ，则 1 1 60AAD  ，所以 1 1AAD 为 正三角形，取 1 1AD 中点 E，连接 AE，则 AE AD ， 以 A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，    12,0,0 , 0,1, 3B D ，    1 2, 1, 3 , 2,2,0B C ， 所以      1 1 1 12,1, 3 , 2,2,0 , 0,3, 3BD B D BC         ， 设平面 1 1BCD 的法向量为  , ,n x y z  ，则 1 1 1 2 2 0 3 3 0 B D n x y BC n y z                令 1x  ，则法向量  1,1, 3n  ， 设 1BD 与平面 1 1BCD 所成角为 ，则 1 1 1 2 1 3 10sin cos , 102 2 5 BD n BD n BD n                 ， 所以 1BD 与平面 1 1BCD 所成角的正弦值 10 10 ．………………………………………………15分 试卷第 10页，共 12页 17.解：（1）由题可知 2 2 2 3 3 1 2 2 c a bc a b c           ，解得 6 2 2 a b c       ，所以椭圆C的方程为 2 2 1 6 4 x y   ； （2）假设满足条件的直线 l存在，由    0, 2 , 2,0E F ，所以 2EFk  ， 因为点 F为 EAB 的垂心，所以 AB EF ，所以 2 2AB k   ， 设直线 l的方程为 2 2 y x t   ，代入 2 2 1 6 4 x y   ，得  2 27 6 2 6 4 0x tx t    ，(*)，    2 2 26 2 4 7 6 4 96 672 0t t t           ，即 7 7t   ，记    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则   1 2 2 1 2 6 2 7 6 4 7 x x t t x x        ，由 AF BE⊥ ，得 1 2 21 2 1 2 y y xx      ，所以 1 2 1 1 2 22 2 0y y y x x x    ， 将 1 1 2 2 2 2, 2 2 y x t y x t      代入上式，得      21 2 1 23 2 2 2 4 0x x t x x t t      ， 所以       2 2 6 4 6 23 2 2 2 4 0 7 7         t tt t t ， 所以 25 18 0t t   ，解得 9 5 t  ( 2t   舍去)， 代入(*)满足 0  ，所以直线 l的方程为 2 9 2 5 y x   ．……………………………15 分 18．（1）由题 2 1( ) ln 2 f x x x x ax   ，定义域为 (0, ) ． 则 ( ) 1 ln 1 lnf x x ax x ax       ，由题可得 ( ) ln 0f x x ax    有两个不等实数根 1x ， 2x ， 于是 ln xa x  有两个不同的实数根，等价于函数 y a 与 ln( ) xh x x  图象在  0,  有两个不同 的交点，…………………………………………………………………………………….2分 2 1 ln( ) xh x x   ，由 ( ) 0 0 eh x x     ，由 ( ) 0 eh x x    ， 所以  h x 在  0,e 递增，在  e, 递减， 又  1 0h  ，  h x 有极大值为 1(e) e h  ，当 x时， ( ) 0h x  ，所以可得函数  h x 的草图 （如图所示）． 试卷第 11页，共 12页 .............5分 所以，要使函数 y a 与 ln( ) xh x x  图象在  0,  有两个不同的交点，当且仅当 10, e a      ． 即实数 a的取值范围为 10, e       ………………………………………………………….7分 （2）由（1）可知： 1x ， 2x 是方程 ( ) ln 0F x x ax    的两个实数根，且 1 21 ex x   ． 则 1 1 2 2 ln ln x ax x ax    1 1 2 2 1 2 1 2 ln ln ln x x x xa x x x x       ．............9分 即λ < a(x1 + x2)=ln( x2 x1 ) x2+x1 x2−x1 ，令 �2 �1 = t >1 λ < ln(t) t+1 t−1 .………………………………12分 因为 ln(t) t+1 t−1 >2．(此处需要证明)…………………………………………16分 综上所述，λ ≤2，即 的取值范围是( − ∞,2]…………………………………………17分。 19.（1）由  1 π π π πcos cos sin 2 2 2 2 n n n         ， 故   1 π π π π2 cos sin sin cos 2 2 2 2 1 π co 2 2 sn n n n n n na n a a          ， 即   1 c 1 π cos πos 2 22n n na a n           ， 又 1 1 πcos 2 2 a a   ，故数列 πcos 2n na     是以 2为首项， 2为公差的等差数列， 则 πcos 2 2n na n  ，即 π2 cos 2n na n  ， 故存在等差数列 2nd n  ，使 π π2 cos cos 2 2 2n n nd nna n     ， 由  πcos 1,0,1 2 n    ，故数列 na 有  3Q 性质；………………………………6分 （2）设对数列 na ，存在等差数列 ne ，使  11 2, , ,n n ke a s s s   ， 对数列 nb ，存在等差数列 ng ，使  21 2, , ,n n kg b t t t   ，则对数列 n na b ，存在等差数 列 n ne g ，使 n n n na b g e   的值为  1 21,2,3 , 1,2,3i js t i k j k    ， 这样的 i js t 最多有 1 2k k 个，即数列 n na b 有  1 2Q k k 性质；…………………………10分 试卷第 12页，共 12页 （3）设对数列 nT ，存在等差数列 nH ，且其公差为d ，使得  1 2, , , kn nT H h h h   ， 当 2n  时，有      1 1 1 1n n n n n n n n nf T T T H T H H H              1 1n n n nT H T H d      ， 由  1 2, , , kn nT H h h h   ， 故当 2n  时，      1 1 , 1,2,3, ,n n n n i jT H T H d h h d i j k          ， 当 i j 时， i jh h d d    ，当 i j 时， i jh h d  可能有   21k k k k   种， 故这样的 i jh h d  最多有 2 1k k  个， 即存在等差数列  :np 0np  ，使     * 1 , 1, 2,3, ,n n i jf p n f h h d i j k      N  ，  *n nf p n N 的元素个数不超过 2 2k k  个， 故一定存在 2 2m k k   ，使得数列 nf 具有  Q m 性质.…………………………17分 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 沈阳市第120中学2023-2024学年度下学期 高三年级第十次质量监测 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班 级、考场填写清楚。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂 方框。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米 黑色墨水签字笔书写。 4．请勿折叠，保持卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 单选题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分）