1.5全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 思考1 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题. 概念 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 例如：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形. 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为： 例1 判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2) (3)对每一个无理数x，x2也是无理数. 解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. 练习1 判断下列全称量词命题的真假: (1)所有的有理数都有倒数. (2)任何实数都有平方根. (3)∀x∈R,使x2+x+1>0. (4)凸多边形的外角和等于360° 假 假 真 真 小结 判断全称量词命题真假的一般方法： 要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合的每一个元素，使命题为真； 但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假 思考2 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题. 概念 短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 例如：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数. 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立 ”可用符号简记为： 例2 判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解:(1)由于△=22-4×3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根，所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2+2x+3=0”是假命题； (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题； (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 练习2 判断下列存在量词命题的真假: (1)存在有理数x,使x2-2=0. (2)存在一个x∈R,使 =0. (3)存在x∈Q,使2x-x3=0. (4)∃x∈Z,使3x+4=5. 假 假 真 假 小结 判断存在量词命题真假的一般方法： 要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真； 要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合的每一个元素，使命题为假。 典例 (1)已知命题p:" (1)已知命题p:“∃x∈R,关于x的一元二次方程x2+2x+2=m有实数根”是真命题,则实数m的取值范围是_________ (2)已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是__________ m≥1 m≥0 全称量词命题和存在量词命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. 例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数” “空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定为“空集不是集合A={1,2,3}的真子集” 探究 写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x∈R, x+|x|≥0. 经过观察，我们发现，以上三个全称量词命题的否定都可以用存在量词命题表示. 例如：上述命题的否定可写成: （1）存在一个矩形不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）∃x∈R，x+|x|<0. 一般地, 对于含有一个量词的全称量词命题的否定, 有下面的结论: 全称命题p:∀x∈M，p（x）， 它的否定﹁p:∃x∈M,﹁p（x）. 例1 写出下列全称量词命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆 （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数； （2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆； （3）﹁p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3. 探究 2 写出下列命题的否定： （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3）∃x∈R, x2-2x＋3=0. （1）所有实数的绝对值都不是正数； （2）每一个平行四边形都不是菱形； （3）∀x∈R，x2-2x+3≠0. 一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: 特称命题p：∃x∈M，p（x）， 它的否命题﹁p: ∀x∈M,﹁p（x）. 例2 写出下列存在量词命题的否定： （1）p：∃x∈R，x＋2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个偶数是素数. 解：（1）﹁p：∀x∈R，x＋2＞0； （2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）﹁p：任意一个偶数都不是素数. 例3 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2)∃x∈R，x2-x+1=0. 解：(1)存在两个等边三角形，它们不相似.假命题 (2)∀x∈R，x2-x+1≠0.真命题 常见词语的否定 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 讨论 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10}, 故有 解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. $$