1.4 充分条件与必要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 为什么学习逻辑用语 学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容。 正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养。 问题1 这些语句有什么特点？ (1)12>5 (2)3是12的约数 (3)0.5是整数 (4)这是一棵大树 (5)x<2 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 练习1 下列语句是不是命题？你能判断真假吗？ (1)若整数a能被2整除，则a为偶数 (2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分 (3)若整数a是素数，则a是奇数 (4)空集是任何集合的子集 (5)请你上来一下 (6)长江很长 问题2：命题(1)~(3)的表述形式有什么特点？ 都是“若p，则q“的形式 练习2 你可以将以下命题改为”若p，则q“的形式吗？ (1)等腰三角形两腰的中线相等 (2)负数的立方是负数 (3)对顶角相等 (1)若一个三角形是等腰三角形，则它的两腰的中线相等 (2)若一个数是负数，则它的立方是负数 (3)若两个角是对顶角，则它们相等 条件、结论互换变成什么？ 练习3 下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？你能进一步分析条件p与结论q的关系吗？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若 (4)若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a//b。 真 假 假 真 概念 充分条件与必要条件：一般地,“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p≠>q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若 (4)若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a//b。 练习3 解:(1)这是一条平行四边形的判定定理，所以p是q的充分条件。 （2）这是一条相似三角形的判定定理,所以p是q的充分条件。 (3)这是一条菱形的性质定理，所以p是q的充分条件。 练习3 解:(4)由于 所以p不是q的充分条件。 (5)由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件。 (6) 为无理数，但 为有理数， , 所以p不是的充分条件。 思考1 (1)中给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两条对角线互相平分。 解:(1)这是平行四边形的一条性质定理，p=>q，所以，q是p的必要条件； (2)这是三角形相似的一条性质定理，p=>q，所以，q是p的必要条件； (3)如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， p≠>q，所以q不是p的必要条件. 解:(4)显然，p=>q，所以，q是p的必要条件； (5)由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p≠>q，所以，q不是p的必要条件 (6)由于1× = 为无理数，但1， 不全是无理数，p≠>q， 所以，q不是p的必要条件. 思考1 (1)中给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？ 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两条对角线互相平分。 充要条件 命题“若p，则q”为真命题 p=>q p是q的充分条件 q是p的必要条件 ”p=>q“与“若p，则q”一样吗？ 不一样，只有当“若p，则q”为真命题时，才能表示为”p=>q“ 思考1： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0; (4)若A∪B为空集，则A与B均为空集. 命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 一般地,如果既有p=>q ，又有q=>p 就记作 p <=> q. 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 即：如果p <=> q,那么p 与 q互为充要条件. 一般地， (1)若p=>q ,但 q ≠> p，则称p是q的 (2)若p≠>q，但q => p，则称p是q的； (3)若p≠>q，且q ≠> p，则称p是q的 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； (2)P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程 解:(1)因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以 ， 所以p不是q的充要条件。 （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即 ，所以P是q的充要条件。 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； (2)P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程 （3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 ，所以p不是q的充要条件。 （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 所以P是q的充要条件。 探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。 例4：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 分析：设p: d=r, q: l与⊙O相切. 证明：如图所示. （1）充分性（p q）： 作OP⊥l于点P,则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O 相切. P Q l O （2） 必要性（ ）：若直线l与 相切，不妨设切点为P， 则 ，因此，d=OP=r. 由（1）（2）可得，d=r是直线l与 相切的充要条件。 作业：课本P22 练习T3，P23 综合运用T5 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”． ∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0． （2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”． 把x=1代入方程的左边，得a×12+b×1+c=a+b+c． ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程的根． 综合（1）（2）知命题成立 练习 在下列各题中，判断p是q的什么条件. (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形； (2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0； (3)p:a∈P∩Q,q:a∈P； (4)p:a∈P∪Q,q:a∈P； (5)p:x>y,q:x2>y2 必要不充分条件 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 思考 1.“a>2"是"a>1"的什么条件？ 2."a∈{x|x>2}"是"a∈{x|x>1}"的什么条件？ 3.如果A B,则"a∈A"是"a∈B"的什么条件？ 充分条件 充分条件 充分条件 P23 4.已知A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q} (1)若A⊆B,则p是q的什么条件？ (2)若B⊆A,则p是q的什么条件？ (3)若A=B,则p是q的什么条件？ 充分条件 必要条件 充要条件 若A⊆B,则p是q的充分条件, 若A B,则p是q的充分不必 要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件, 若B A,则p是q的必要不充 分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A ⊈B且B ⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 由于{我，爱，你，们}⊆{你，们，爱，我} 且{我，爱，你，们}⊆{你，们，不，爱，我} 所以，无论是{你，们，爱，我}还是{你，们，不，爱，我}， {我，爱，你，们}都是充分的！ 但是{你，们，爱，我}⊆{我，爱，你，们} {你，们，不，爱，我}⊈{我，爱，你，们} 所以，如果{你，们，不，爱，我}，那么{我，爱，你，们}就不是必要的， 只有当{你，们，爱，我}时，{我，爱，你，们}才是必要的！ 典例 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10}, 故有 解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. $$