专题04 期末复习全册平行四边形中档解答题分类训练（4类型40题）-2023-2024学年八年级下册数学期末题型分类专项训练（浙教版专用）

专题04 平行四边形中档解答题分类训练（4类型40题） 重难点培优01 平行四边形解答题 1 重难点培优02 矩形解答题 4 重难点培优03 菱形解答题 7 重难点培优04 正方形解答题 10 重难点培优01 平行四边形解答题 1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，是对角线上的两个点，且，求证：四边形是平行四边形．    2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)若，求的大小； (2)如图2，作交于点G，连结交于点H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，求的度数． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过O作线段交于点M，交于点N．若，，，求的度数． 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，点E为中点，延长线交于点F． (1)求证：． (2)若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． (3)如图2，连接，在（2）的条件下，求证：． 重难点培优02 矩形解答题 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是矩形． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 13．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，中，D、E分别是边上的中点，连接并延长使，连接， (1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？ 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，O是的中点（不与点A重合），，交于点N． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若M为的中点，求证：． 17．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点． (1)求证． (2)连接，若时，求的长． 18．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，E，F为上的两点，且，． (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 19．（22-23八年级下·江西新余·期末）如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 20．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 重难点培优03 菱形解答题 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，过点作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为，求菱形的面积． 23．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 24．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求的长． (2)若． ①求证：四边形是菱形； ②若，求的度数． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知： 如图，在中，点，分别在，上，且平分． 若，连结．求证：四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接． (1)求证：． (2)若，，，求证：． 28．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 29．（2024·浙江·一模）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，． (1)求证：； (2)作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形． 30．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，，E为的中点，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的面积． 重难点培优04 正方形解答题 31．（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． (1)如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 33．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，为边上的点，连结，作的垂直平分线交于，交于，连结．已知． (1)若正方形的边长为4，求的长． (2)求证：． 34．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 35．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形中，点E、F是对角线上，且，连接、、、． 求证： (1)； (2)四边形菱形． 36．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P． (1)求证：； (2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长． 38．（22-23八年级下·浙江台州·阶段练习）在正方形中，点E 是的中点． (1)如图 1，若，求的长． (2)如图 2，点F 是线段上的一点，且，求证：是直角三角形． 39．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，点F在的延长线上，且，交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 40．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． (1)求证：． (2)若正方形边长是5，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形中档解答题分类训练（4类型40题） 重难点培优01 平行四边形解答题 1 重难点培优02 矩形解答题 15 重难点培优03 菱形解答题 28 重难点培优04 正方形解答题 40 重难点培优01 平行四边形解答题 1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，是对角线上的两个点，且，求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，连接，与的交点为点，根据平行四边形的性质，则，，根据，则，根据平行四边形的判定，即可． 【详解】证明：连接，与的交点为点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．    2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．    (1)若，求的大小； (2)如图2，作交于点G，连结交于点H． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，求的度数． 【答案】(1)； (2)①见详解；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由等腰得，再由即可求解； （2）①由等腰的性质及平行线的性质证明出 ，则，故可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； ②由四边形是平行四边形，及，得到，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到，最后由外角定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵由题意得， ∴． （2）①证明：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中，， ， ； （2） ， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3） ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键． （1）先根据，得出，根据角平分线的定义得出，则，推出，即可求证四边形是平行四边形； （2）通过证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，则，最后根据的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，°， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过O作线段交于点M，交于点N．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据平行四边形的判定直接得出答案即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，求出，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判断和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证； （3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积＝的面积． 7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）连接交于点，先由平行四边形的性质得到，，再由三等分点的定义得到，即可证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，，则，由勾股定理得，由勾股定理得，则． 【详解】（1）证明：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线的三等分点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，是对角线的三等分点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到且，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴且， 又∵，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， 又由（1）知，，且， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理得． 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质得、，再说明可证得，同理，则，进而求出，再利用勾股定理求解即可； （3）取的中点H，连接，由三角形中位线定理得，且，再证得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 由（1）得 ∴，即AE的长为． （3）证明：如图，取的中点H，连接，则，    ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，点E为中点，延长线交于点F． (1)求证：． (2)若时，记与之间的距离为，与之间的距离为，求的值． (3)如图2，连接，在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形性质证明，再根据全等三角形性质证明即可； （2）根据得出，证明，根据，得出，再根据面积公式得出，即可求解； （3）在中，可得，在中，可得，在中，可得，再证明，得出，代换后可得，结合（2）中，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴， ∴； （3）如图， 过点A作交于点N，过点D作交的延长线于点M， 在中，根据勾股定理可得， 在中，根据勾股定理可得， 在中，根据勾股定理可得， ， ， ， ， ， 故， 由（2）得：， ． 重难点培优02 矩形解答题 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可； （2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 是的中点， ， ， 同理：， ， ， ，， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形． 13．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， 平行四边形为矩形； （2）如图， 四边形是矩形， ，． 为的平分线， ． ，，， ， ， ，， ， ． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，中，D、E分别是边上的中点，连接并延长使，连接， (1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？ 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；以及平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据题意易得，，即可推出四边形为平行四边形； （2）当时，四边形是矩形，根据中位线定理得出，则，易得，推出，即可推出四边形为平矩形． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵、分别是、边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形． 15．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在矩形中，O是的中点（不与点A重合），，交于点N． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若M为的中点，求证：． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】 （1）由已知得：，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论； （2）如图1，延长，交于点，先证明，得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由等边对等角和等量代换，及角的和差关系可得结论． 【详解】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形； （2）证明：如图1，延长，交于点， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定等知识，构造三角形全等是解题的关键． 17．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点． (1)求证． (2)连接，若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是矩形性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，牢记相关知识是解题关键， （1）根据矩形性质得，结合，得出即可证出结论； （2）先证，再求出长，证出即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，即， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 18．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，E，F为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件用边边边判定三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定四边形为矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可计算出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 在和中， (SSS) （2）证明： 在平行四边形中， 四边形是矩形； （3）解： 是的平分线 设， 在中，根据勾股定理可得 解得 四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义．熟练地掌握矩形的判定和性质是解题的关键，运用了数形结合的数学思维． 19．（22-23八年级下·江西新余·期末）如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，则，在利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形, ∴, ， ∴ 在中，∵， ∴， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 20．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形； （2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形； ∴， 又由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 重难点培优03 菱形解答题 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，过点作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，由点是的中点，得到，证明四边形是平行四边形，则得，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，是中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接，如图， 平行四边形的周长是36， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 23．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）∵平行四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，．    (1)求的长． (2)若． ①求证：四边形是菱形； ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，得到，即可得出答案； （2）①先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定即可证明；②根据平行四边形的性质、菱形的性质得出出，结合已知，判定是等边三角形，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知： 如图，在中，点，分别在，上，且平分． 若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．先证明四边形平行四边形，再利用等角对等边证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形平行四边形， ∴，， 又， ， 四边形平行四边形， 平分， ∴， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形． 27．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接． (1)求证：． (2)若，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据菱形的性质得，，再利用证得，进而证得，再根据等腰三角形的性质得，进而可求证结论． （2）根据菱形的性质得，再证得，根据平角的关系求得，进而可证得，，由等角对等边得，，根据可求证结论． 掌握菱形的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 线段的中垂线交对角线于点F， ， ． （2）四边形是菱形，且为对角线， ， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 线段的中垂线交对角线于点F， ， ，，， ，， ，， ， ． 28．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质和勾股定理得，则，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 29．（2024·浙江·一模）如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连接，． (1)求证：； (2)作的平分线交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，利用线段中点的性质得到，证明，得到，利用等量的和差关系即可证明； （2）由（1）可得，四边形是平行四边形，利用角平分线性质得到，利用平行线的性质得到，，利用等量代换和等腰三角形性质得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 是对角线的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形性质和判定，线段中点的性质，全等三角形性质和判定，角平分线性质，平行线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 30．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，，E为的中点，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 （1）先通过一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先由菱形的性质，证明是等边三角形．进而得出再结合勾股定理得，根据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴ ∴． ∴，是等边三角形． ∴． ∴． ∴ ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质以及角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 重难点培优04 正方形解答题 31．（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． (1)如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点E作于点F由等腰直角三角 形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点M，连接，由三形中位线定理得出，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出则可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ， ∴ ∴； ②过点E作于点F ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分，， ∴； （2） 取的中点M，连接 ∵四边形是正方形 ∴ ∵M为的中点， ∴为的中位线 ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题． 33．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，为边上的点，连结，作的垂直平分线交于，交于，连结．已知． (1)若正方形的边长为4，求的长． (2)求证：． 【答案】(1)1.5 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质可得，，再根据已知可设，则，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后列出关于的方程，进行计算即可解答； （2）设与交于点，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而可得四边形是矩形，进而可得，，，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再根据已知易得：，从而可得，进而可得，最后利用证明，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， 设，则， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 解得：， ， 的长为； （2）证明：设与交于点，过点作，垂足为， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ． 34．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证； （2）过点A作交于点M，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）过点A作交于点M，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握相关性质和定理． 35．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形中，点E、F是对角线上，且，连接、、、． 求证： (1)； (2)四边形菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． （1）证明，即可得出答案． （2）连接，交点为O，由正方形的性质得，，且，再由已知条件得，从而得出四边形菱形． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，交点为O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形菱形（对角线平分且垂直的四边形为菱形）． 36．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点C为的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形； （2）先证明，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P． (1)求证：； (2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点． （1）根据正方形的性质可得，，由证明，得出结论即可； （2）根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，由证明，即可得出； （3）过点O作于M，作于N，根据全等三角形的性质可得：，再由证明，可得，然后证出四边形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】（1）解： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （3）解：过点O作于M，作于N，如图所示， 则， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴正方形的边长为： ． 38．（22-23八年级下·浙江台州·阶段练习）在正方形中，点E 是的中点． (1)如图 1，若，求的长． (2)如图 2，点F 是线段上的一点，且，求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）由四边形是正方形，得到，，再根据E 是的中点，求得，从而在中，利用勾股定理求得． （2）设正方形的边长为，即，从而可得，，．接着利用勾股定理在中，求得，在中，，在中，，因此有，得证是直角三角形． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵点E 是的中点， ∴， ∴在中，． （2）设正方形的边长为，即， ∵点E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 39．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，点F在的延长线上，且，交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）结合（1）根据正方形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明是解题的关键． 40．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． (1)求证：． (2)若正方形边长是5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵正方形边长是5， ∴， ∵， ∴由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$