5.2.1三角函数的概念-课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的概念 国家中小学课程资源 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 问题引入 高中数学 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 新课学习 高中数学 3 高中数学 4 高中数学 5 追问1：如何研究一般性问题？ 高中数学 6 高中数学 7 高中数学 8 高中数学 9 高中数学 高中数学 高中数学 高中数学 高中数学 追问1：任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？ 高中数学 高中数学 16 高中数学 17 高中数学 18 高中数学 19 高中数学 20 高中数学 21 高中数学 22 高中数学 23 高中数学 24 高中数学 25 高中数学 26 高中数学 27 课堂小结 高中数学 28 课堂小结 高中数学 29 家庭作业 高中数学 30 问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？ 任务：建立一个函数模型，刻画点的位置变化情况 如图，以单位圆的圆心为坐标原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标是，点的坐标是. 点从点开始在单位圆上的运动. 问题1：这个运动过程中的有哪些变量？判断它们之间是否具有函数关系，如果有，能否写出函数解析式？ 点的横坐标、纵坐标，弧长，旋转角度 根据勾股定理可知，即. 所以的对应关系不符合函数定义. 研究：变量与的关系. 判断变量：间的哪两个变量能否构成函数关系？ 在中,可得,, 过点作轴于, 即,, 所以点的坐标为. 问题2: 如何求角终边与单位圆的交点的坐标呢？ 不妨设，此时点在第一象限, 所以点的坐标为 在中,可得,, 过点作轴于, 追问2：当时，点的坐标是什么？ 当时，点在第二象限, 即,. 追问3：任意给定一个角，点的坐标唯一确定吗？ 因为单位圆的半径不变，点的坐标只与角的大小有关. 当角确定时，点的坐标也唯一确定. 追问4：任意给定一个角，观察角的终边与单位圆的交点的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？ 对任意角，它的终边与单位圆的交点的横、纵坐标、都是唯一确定的. 这里有两个对应关系： 任意角 (弧度)对应于点的横坐标； ① 任意角 (弧度)对应于点的纵坐标． ② 任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标，还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数. 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点，那么 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记做，即； 把点的横坐标叫做的余弦函数，记做，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数， 记做，即. 下面给出这些函数的定义： 问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？ 实数(弧度)对应于点的纵坐标——正弦函数； 实数(弧度)对应于点的横坐标——余弦函数； 当时，角的终边在轴上，这时点的横坐标为0，所以无意义. 除此以外，对于确定的角，的值也是唯一确定的. 实数 (弧度)对应于点的纵坐标与横坐标之比——正切函数. 正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 按照函数的定义与常用的符号，通常将它们记为: 正弦函数：; 余弦函数：; 正切函数：. 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 追问2: 任意角三角函数的定义域分别是什么呢? 正弦函数的定义域是实数集，即; 余弦函数的定义域是实数集，即; 正切函数的定义域为. 追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢? 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 追问4:“任意角的三角函数”与“锐角三角函数”这两个概念有什么异同? 对锐角三角函数的理解: ； ； . 例1 求的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作， 此时的终边与单位圆的交点坐标为， 所以. 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为. 求证：， ，. 分析: ①你能根据三角函数的定义作图表示和吗？ ②在你所作的图形中，，，表示什么？你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？ 解：设角的终边与单位圆交于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 则， . 所以得到, 即. 因为与同号，所以，即. 同理可证： ，. 例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格的的数学语言叙述这个定义吗？ 一般地，对于任意角，角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离为，那么，，. 显然任意角的三角函数值不会随终边上点的位置的变化而变化. 探究活动：根据任意角的三角函数的定义，将这三个函数的值 在各象限的符号填入下图中的括号里. 练习：确定下列三角函数的符号 （1）； （2）； （3）. 分析：三角函数的符号与角终边所在象限的位置有关. 解：（1）因为是第三象限角，所以； （2）因为，所以角的终边与角的终边相同，所以； （3）因为，所以角的终边位于轴的非正半轴上， 所以. · 三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？ ①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为， 即可由点坐标得到三角函数定义. 正弦函数：; 余弦函数：; 正切函数：. · 三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？ ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角，角终边上的任意 一点的坐标为，它到原点的距离为， 那么，，. 教科书p182 练习 第1，3，4题 P184 习题5.2 第2题 $$