3.2.1函数的单调性-课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的单调性 国家中小学课程资源 1 新课引入 高中数学 2 高中数学 3 高中数学 4 0.2 高中数学 5 0.2 高中数学 6 0.2 高中数学 7 0.2 高中数学 8 0.2 高中数学 9 高中数学 10 高中数学 11 高中数学 12 高中数学 13 高中数学 14 高中数学 15 高中数学 16 高中数学 17 高中数学 18 高中数学 19 高中数学 20 高中数学 21 高中数学 22 高中数学 23 高中数学 24 高中数学 25 高中数学 26 高中数学 27 高中数学 28 高中数学 29 高中数学 30 高中数学 31 高中数学 32 高中数学 33 高中数学 34 高中数学 35 高中数学 36 单调性定义的简单应用 高中数学 37 高中数学 38 高中数学 39 高中数学 40 高中数学 41 高中数学 42 高中数学 43 高中数学 44 高中数学 45 高中数学 46 高中数学 47 高中数学 48 高中数学 49 高中数学 50 高中数学 51 高中数学 52 高中数学 53 高中数学 54 高中数学 55 高中数学 56 高中数学 57 高中数学 58 高中数学 59 高中数学 60 高中数学 61 高中数学 62 高中数学 63 高中数学 64 高中数学 65 课堂小结 高中数学 66 课堂小结 高中数学 67 作业 高中数学 68 数学是打开科学大门的钥匙． 数学是人类思考中最高的成就． 高中数学 69 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？ 总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律． 总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律． 请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？ 问题1：请看下面的函数图象，从中你能发现什么变化中的规律？ 大家的回答涉及了很多方面：如升降变化，对称性，最高点或最低点等．我们重点关注图象从左到右升降变化的特点． 第一个图象从左到右是上升的，即在上，随的增大而增大； 第二个函数在及两个区间上，从左到右图象分别上升，随的增大而增大； 在及两个区间上，从左到右图象分别下降，随的增大而减小． 本节课我们要用定量的方法刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律——函数的单调性． 问题2：初中我们研究过二次函数，现在我们以函数为例，我们知道在区间上，随的增大而减小．请问你是怎样理解“随的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？ 追问1：“增大了”如何用符号语言表示？“对应的函数值减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？ … -5 -4 -3 -2 -1 … … 25 16 9 4 1 … 当从-5增大到-4，函数值从25减小到16； 当从-4增大到-3，函数值从16减小到9； 当从-3增大到-2，函数值从9减小到4． 追问2：这样的变化过程能写的完吗？你能借助字母符号，归纳上述具体数值变化的共同点吗？ 追问2：这样的变化过程能写的完吗？你能借助字母符号，归纳上述具体数值变化的共同点吗？ 只要，就有． 追问3：这里对，有什么要求？只取上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？ 追问3：这里对，有什么要求？只取上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？ 所有的，有． 追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？ 追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？ 在上，任取，，只要，就有． 追问5：你能说出为什么吗？ 追问5：你能说出为什么吗？ 要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明． 追问6：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间上，随的增大而增大”的符号语言刻画吗？ 追问6：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间上，随的增大而增大”的符号语言刻画吗？ 在上，任取，，只要，就有． 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数的单调性． 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数的单调性． 在上，任取，，只要，就有； 在上，任取，，只要，就有． 问题3：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数在区间上单调性的符号表述吗？ 定义：一般地，设函数的定义域为，区间． 如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增．特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 定义：一般地，设函数的定义域为，区间． 如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减．特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 问题4：你能举出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的“局部”性质．描述函数单调性，要说哪个函数、在哪个区间上，单调性怎样． 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的“局部”性质．描述函数单调性，要说哪个函数、在哪个区间上，单调性怎样． 允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间单调递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数． 当函数有多个单调区间时，不能随意用并集． 函数在及上分别单调递减． 例1 根据定义，研究函数的单调性． 例1 根据定义，研究函数的单调性． 分析：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域内的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减； 例1 根据定义，研究函数的单调性． 分析：（2）具体的操作方法是，在条件下，考察与的大小关系，比大小可以做差，这里往往要用到不等式的性质和代数变形． 解：函数的定义域是． ，，且，则 ，，且，则 ． ，，且，则 ． 由，得．所以 ①当时，． ①当时，． 于是 ． ①当时，． 于是 ． 即 ， 这时是增函数． ②当时，． ②当时，． 于是 ． ②当时，． 于是 ． 即 ， 这时是减函数． 在初中我们利用一次函数图象得到过上述结论，这里我们用严格的推理运算证明了函数的单调性． 这里将“比较与的大小”转化为“比较与0的大小”的做法，体现了数学中“化繁为简”“化难为易”的转化与化归思想． 例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试对此用函数的单调性证明． 例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试对此用函数的单调性证明． 思考:“体积减小时，压强增大”的含义？ 例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试对此用函数的单调性证明． 只要证明函数（）是减函数即可． 证明：，且， ． 由，得； 由，得． 又，于是，即． 所以，根据函数单调性的定义，函数（是减函数．即当体积减小时，压强将增大． 例2是一个物理学中的公式，我们可以体会到函数模型可以用来刻画现实世界中的现象．数学的研究是将一类运动变化的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质而获得事物的变化规律． 你能由例1、例2的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数在区间上的单调性的基本步骤吗？ 证明函数在区间上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间上任取两个自变量的值，，并规定； 第一步，在区间上任取两个自变量的值，，并规定； 第二步，计算，将分解为若干个可以直接确定符号的式子； 证明函数在区间上的单调性的基本步骤： 第三步，确定的符号．若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减． 在最后我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题： （1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？ （2）证明函数单调性时，应把握好哪些关键问题？ （3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么体会？ 图象直观、定性描述、定量刻画． 教科书第79页练习1、2、3题． $$