精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

数学试卷 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若上的可导函数在处满足，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.29 B. 0.71 C. 0.79 D. 0.855 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 所以． 故选：B． 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可. 【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则，则 故选：C 4. 随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 3 B. C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 5. 某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设事件“选出的员工是行政人员”，“选出的员工是技术人员”，“选出的员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”，由全概率公式及条件概率公式分别求出和，即可求解． 【详解】设事件“选出的员工是行政人员”，“选出的员工是技术人员”，“选出的员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”， 由题可知，，，，，，， 所以 ， ，， 所以， 故选：C． 6. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 360种 C. 540种 D. 300种 【答案】A 【解析】 【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 7. 已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. B. 97 C. 96 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得的值：解法一直接展开，再寻找的系数；解法二利用二项式定理，结合乘法分配律，求得的系数.由此列方程，求得的值. 然后令，求得展开式中所有项的系数和. 【详解】解法1：因为， 所以的系数为，所以，解得， 所以，令，得. 解法2：由乘法分配律知的展开式中的系数为 所以，解得，所以 令，得. 故选：C 【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查展开式中所有项的系数和的求法，属于基础题. 8. 若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式在恒成立，得到在上单调递增，再由在上是奇函数得到是偶函数，进而画出两个函数，大致图象，即可求解. 【详解】∵定义在上的奇函数满足， ∴． ∵，∴． 即，记，在上单调递增． ∵，∴是偶函数． ∴在上单调递减，且． 如图所示，画出，大致图象． 由图可得，有3个零点． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，作出函数图象，将一个函数的零点个数问题，转化为两个函数的交点个数问题. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法 D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊优先法或间接法解决选项D. 【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确， 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 则有（种），故B不正确， 选项C，先排3名男生，3名女生插空， 则有（种），故C正确， 选项D，间接法，6人排列有（种）情况， 男生甲在排头或排尾，则有（种）， 所以男生甲不在排头也不在排尾有（种）， 故D正确， 故选：ACD. 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B. 函数在上有唯一零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，所以A错误； B选项中，函数，则， 由于， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点， 即函数有且只有1个零点，B正确； C选项中，由， 可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0， 故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误； D选项中，由得 要证，只要证，即证， 由于，故令，则， 故在上单调递增，则，即成立， 故成立，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是适当转换问题为证明在上恒成立，由此即可顺利得解. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 12. 已知函数是的导函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再把代入导函数中，可求得，得到的解析式，最后把代入中求得. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落入.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，则分别给以一､二､三等奖.则某人投1次小球获得三等奖的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】投1次小球获得三等奖有三条线路，又因为小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等， 所以投1次小球获得三等奖得概率为. 故答案为： 14. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 【答案】54 【解析】 【分析】根据给定条件，按含有0、不含0但有相同数字、不含0无相同数字分类，结合排列组合列式计算即得. 【详解】构成“十全十美数”有3类办法， 有一位数字是0的“十全十美数”有个； 不含0但有相同数字的“十全十美数”有个； 不含0无相同数字的“十全十美数”有， 所以符合要求的“十全十美数”有个. 故答案为：54 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在 的展开式中， （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】（1）1 （2） （3）第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【小问1详解】 令，可得展开式中所有项的系数和为； 【小问2详解】 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； 【小问3详解】 由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 16. 第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个. （1）若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率. （2）若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望. （3）若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合组合知识，根据古典概型计算即可得解； （2）分别计算从甲乙箱中取出B卷的概率，再计算随机变量的概率得出分布列，求出期望； （3）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 记“从甲箱中取出的竹筒装有A卷”为事件， 则. 【小问2详解】 由题意，得从甲箱中取出的竹筒装有B卷的概率， 从乙箱中取出的竹筒装有B卷的概率. 随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以数学期望. 【小问3详解】 设事件为“从乙箱取出的竹筒装有C卷”， 事件，，分别为“从甲箱中取出的竹筒装有A卷、B卷、C卷”， 则 17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】（1）人 （2）分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【小问1详解】 ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； 【小问2详解】 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； 【小问3详解】 ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 18. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】（1）； （2）①3274人；②不可信. 【解析】 【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果； （2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断. 【小问1详解】 甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． 【小问2详解】 ①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极大值； （3）若，求函数的零点个数． 【答案】（1） （2）当时，函数无极大值；当时，的极大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解； （3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为， 所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； 【小问3详解】 令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象， 又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若上的可导函数在处满足，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.29 B. 0.71 C. 0.79 D. 0.855 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量X的分布列如表所示，若，则（ ） X 0 1 P a b A. 3 B. C. 5 D. 9 5. 某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 360种 C. 540种 D. 300种 7. 已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. B. 97 C. 96 D. 8. 若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法 D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 的极大值点是 B. 函数在上有唯一零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 12. 已知函数是的导函数，则__________. 13. 如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落入.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，则分别给以一､二､三等奖.则某人投1次小球获得三等奖的概率为__________. 14. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在 的展开式中， （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项是第几项? 16. 第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个. （1）若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率. （2）若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望. （3）若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率. 17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 18. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极大值； （3）若，求函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $