江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月数学素养测试卷

江西师大附中高一年级数学素养测试卷 2024.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若角a的终边过点(3，)，则sim(a+受)=() A.30 10 B-0 C.0 10 D.-10 10 2.在△4BC中，内角AB,C的对边分别为ab,c已知a=5,b=2,C=号，则c=（ ) A.2√6 B.√39 C.29 D.19 3.▲如图，用斜二测画法得到△ABC的直观图为等腰直角三 角形AB'C,其中AB=√2，则△ABC的面积为() B'O A.1 B.2W2 (第3题) C.2 D.2 4.设向量d=(1,sin8),i=(3sin0,1),且d∥i,则cos20=（ A-方 B-号 c号 D号 5.已知=号应，用01,0表示0丽，则0炉=（） Aoi-手o0i B.4oi+子o丽 (第5题) C.-号0i+4o丽 D.-3oi-号oi 6.江南三大名楼滕王阁，位于江西省南昌市，因唐代诗人王勃的诗作《滕王阁序》而流芳 后世.如图，某同学为测量滕王阁的高度MN,在滕王阁的正东方向找到一座建筑物 AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,滕王阁顶部 M的仰角分别为30°和45°，在A处测得阁顶部M的仰角为15°，则滕王阁的高度约 () A.74m B.60m C.52m D.91m 高一数学素养测试卷 第1页共4页 7.如图，在△MBC中，∠BAC=号，而=3，P为CD上一点，且满足币=xAC+号丽 (x∈R,若AC=4,AB=5,则市.C⑦的值为() A号 B C. D.号 D (第7 (第8题) 8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD 的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M,N,点P在 MDN上运动（如图）.若A币=入A应+uB示，其中1,4∈R,则21-5μ的取值范围是 () A.[-2,2] B.[-2,2w2] C.[-2√2,2] D.[-2W2,2w2] 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.▲已知=(3，-1)，6=(2,1)，则下列结论正确的是（) A.(a-)⊥6 B.应+2=5√/10 C.a与6的夹角为晋 D.a在b方向上的投影向量是√5 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是() 众.若 AB AC AB AC 商+ BC=0,且 =分则△MBC为直角三角形 B.若a=2W3,b=4,A=,要使满足条件的三角形有且只有两个，则0E(0,牙)〉 C.若△4BC平面内有-点0满足OA+O+0元=0，且可=O=o,则 △ABC为等边三角形 D.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC为钝角三角形 1L在△4BC中，A、B、C所对的边为a、b、c,已知B=号，店，BC=-2,且满足si血A+ sinC=2sinB,则下列说法中正确的是( A.ac=4 B.b=2 C.a+c=8 D.它的外接圆半径为2y5 3 高一数学素养测试卷 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足(1+i)z=1+3i,则1z= 13.▲已知a,6是单位向量，向量满足6=26，且a+26+t=0,则= 14.在△MBC中，点D,E分别在边BC,AC上，BC=3BD,AC=2AE,若AD,BE交于点I,则 BL I :当BC=3,AC=4,AB=2时，△MBI的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知向量=(2，-2)，=4，且(2a+·6=32. (1)求2a-的值： (2)若向量k材+6与a-k6互相垂直，求k的值. 16.(15分)已知向量a=(2cosx,1),方=(-cos(x+号)，2).记函数f(x)=在6，xeR. (1)求函数f(x)的单调增区间： (2)对任意x[-受]都有-2≤()-m≤5恒成立，求实数m的取值范围. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC= (-cosC)tanA. (I)求a的值： (2)若△MBC外接圆的半径为弓，且H为锐角，求△MBC面积的最大值。 高一数学素养测试卷第3页共4页 18.(17分)如图，在△ABC中，点P满足P元=2B驴，0是线段AP的中点，过点O的直线与 边AB,AC分别交于点E,F. ()若亦=号记，求铝的值： 2)若成=(>0)，F元=u武μ>0)，求↓+上的最小值. P (第18题) 19.(17分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德费马(1601-1665)于1643年提出的 平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离 之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一 的费马点，当△4BC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120° 的点P即为费马点，当△4BC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马 点.试根据以上知识解决下面问题： (1)若z∈C,求l2-2+lz+2+lz+2i的最小值： (2)在△4ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点， ①若tanC+√3=tanB(3tanC-l),sinB=sinC,且a=6,求p,P克+PB.P元+ P元，PA的值： ②若cos2C+2sin(A+B)sin(A-B)=1,PB+PCl=tPA,求实数t的最小值， 高一数学素养测试卷第4页共4页