云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二下学期月考二数学试卷

第 1 页 共 4 页 昆八中 2023-2024 学年度下学期月考二 高二数学试卷 考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题/审题:高一备课组 一、单选题:本题共 8小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设集合 2 4U x x Z , 1,2A ,则 ACU ( ) A. 2,0 B. 0 C. 2, 1 D. 2, 1,0 2.已知 41 i 1 i z ,则 z的虚部为( ) A. 2i B. 2i C. 2 D.2 3.已知 1sin 3 4 ,则 cos 2 3 ( ) A. 5 8 B. 7 8 C. 5 8 D. 7 8 4.已知圆 2 2: 5O x y ,直线 l经过点 (1, 2),且 l与圆O相切,则 l的方程为( ) A. 2 5 0x y B. 2 3 0x y C. 2 0x y D.2 4 0x y 5.已知 1F, 2F 为双曲线 2 2 1 4 3 x y 的左,右焦点,过点 2F 向该双曲线的一条渐近线作垂线 2PF ,垂足为 P , 则 1 2PFF 的面积为( ) A.2 B. 3 C.4 D.2 3 6. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠(如图).球冠是曲面,是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底, 垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作 “Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理:球冠的表面积 2 Rh (如上图,这里的表面积不含底面的圆的面积). 某同学制作了一个工艺品,如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 4的正方体的六个面所截 后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),即一个球去掉了 6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的 周长为 2 ,则该工艺品的表面积为( ) A.20 B. 24 5 34 C.16 D.12 第 2 页 共 4 页 7.已知函数 22 lnf x x x ax ,若对任意的 1 2, 0,x x ,当 1 2x x 时,都有 1 2 2 12 2x f x x f x , 则实数 a的取值范围为( ) A. 1 , 2e B. 1, C. 1 , e D. 2, 8.给定一个正整数 ( 3)n n ,从集合 {1,2,3, , }n 中随机抽取一个数,记事件 A “这个数为偶数”,事 件 B “这个数为 3的倍数”.下列说法正确的是( ) A.若 6n k , *k N ,则至少存在一个n,使事件A和事件 B 不独立 B.若 6n k , *k N ,则存在无穷多个n,使事件A和事件 B独立 C.若n为奇数,则至少存在一个n,使事件A和事件 B 独立 D.若n为偶数,则对任意的n,事件A和事件 B 独立 二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项..符合题目要求.全 部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.已知函数 ( ) sin( )f x A x ( 0A , 0 ,| | 2 )的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ) A. 2 B.函数 6 y f x 为偶函数 C.函数 ( )y f x 的图象关于直线 5 12 x 对称 D.函数 ( )y f x 在 , 3 12 上的最小值为 3 10. 在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中, 1 1 4 AE AA , 1 3 4 CF CC ,则 ( ) A. EBF 为钝角 B. 1 1AD AC C. / /ED 平面 1 1B D F D.直线 EF 与平面 1 1BBC C 所成角的正弦值为 2 3 11.直线 l经过抛物线 2: 4C y x 的焦点,且与抛物线C相交于 1 1 2 2, ,A x y B x y、 两点,下列说法正确的 是( ) A. 1 2 1 x x , 1 2 4y y B.直线 l的斜率为 1时, 2 2AB C. AB 的最小值为 6 D.以 AB为直径的圆与C的准线相切 第 3 页 共 4 页 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 6 1( )x x 展开式中的常数项为 . 13.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是:任 意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数 2 2 2 2 2 2 2 212 3 1 1 1 2 2 2 0 .设 2 2 2 225 a b c d ,其中 a,b,c,d均为自然数,则满足条件的有序数组 , , ,a b c d 的个数是 . 14.函数 2 ,0 4 8, cos x x a f x x ax x a ,当 1a 时, f x 的零点个数为 ;若 f x 恰有 4个零 点,则 a的取值范围是 . 四、解答题:本题共 5小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 13分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取 3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成, 2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是 2 3 ,且每题正确完成与否互不影 响. (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率; (2)求乙正确完成面试题数 的分布列及其期望. 16. (本题满分 15分)如图,三棱锥 A BCD 中,DA DB DC , BD CD , 60ADB ADC ,E 为 BC的中点. (1)证明: BC DA ; (2)点 F满足 EF DA ,求二面角D AB F 的正弦值. 第 4 页 共 4 页 17.(本题满分 15分)数列 na 的前 n项和 nS 满足 2 *1n nS na n n n N . (1)证明: na 是等差数列; (2)若 1 3a ,证明: 1 2 3 1 1 1 1 3 4nS S S S . 18.(本题满分 17分)已知函数 ( ) ln ex axf x x . (1)当 1a 时,证明: ( )f x 有且仅有一个零点. (2)当 0x 时, ( )f x x 恒成立,求 a的取值范围. (3)证明: *ln 2 ln3 ln e(1 e ) ( 2, ) 2 3 e 1 nn n n n n N . 19.(本题满分 17分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b 的左右顶点分别为 1A和 2A ,离心率为 3 2 ,且经 过点 2, 3P ,过点 P作PH垂直 x轴于点H .在 x轴上存在一点A(异于 H),使得 2 2 1 1 AA HA AA HA . (1)求椭圆C的标准方程; (2)判断直线 AP与椭圆C的位置关系,并证明你的结论; (3)过点A作一条垂直于 x轴的直线 l,在 l上任取一点T,直线 1TA 和直线 2TA 分别交椭圆C于 ,M N两点, 证明:直线MN经过定点.