立体几何初步-江西省九市2022-2023学年高一下学期期末数学试题分类汇编

江西省九市2022-2023学年高一下学期期末数学试题分类汇编 立体几何初步 一、单项选择题 1、（抚州市2022-2023学年高一下期末）四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 2、（赣州市2022-2023学年高一下期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 3、（吉安市2022-2023学年高一下期末）已知a为直线，，为平面，，，若成立，则需要的条件为（ ） A. B. C. D. ， 4、（九江市2022-2023学年高一下期末）如图，正方体中，是底面的中心，，，，分别为棱，，，的中点，则下列与垂直的是（ ） A. B. C. D. 5、（南昌市2022-2023学年高一下期末）若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. C. D. 6、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）设，是两个不同的平面，直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7、（上饶市2022-2023学年高一下期末）设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8、（新余市2022-2023学年高一下期末）如图，是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 9、（鹰潭市2022-2023学年高一下期末）下列说法正确的是（ ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．三棱台有8个顶点 10、（抚州市2022-2023学年高一下期末）把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11、（赣州市2022-2023学年高一下期末）已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 12、（赣州市2022-2023学年高一下期末）在正方体中，为棱的中点，则． A. B. C. D. 13、（吉安市2022-2023学年高一下期末）中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 14、（九江市2022-2023学年高一下期末）把半径为R的一圆形纸片，自中心处剪去中心角为120°的扇形后围成一无底圆锥，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 15、（南昌市2022-2023学年高一下期末）一个封闭的玻璃圆锥容器AO内装水若干如图a所示，此时水面与AO形交于点B，将其倒置后如图b所示，水面与AO还是相交于点B，则（ ） A. B. C. D. 16、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）如图,平面四边形中,,,,,,则四边形绕所在的直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 17、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（ ） A. 2 B. C. D. 18、（新余市2022-2023学年高一下期末）已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则与平行或相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则 19、（鹰潭市2022-2023学年高一下期末）一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比=（ ） A． B． C． D． 20、（新余市2022-2023学年高一下期末）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题 1、（抚州市2022-2023学年高一下期末）如图，在棱长为1的正方体中，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 与平面所成角大小为 D. 平面与平面所成二面角的余弦值为 2、（赣州市2022-2023学年高一下期末）若平面，，，则以下结论有可能成立的是（ ） A. 与异面 B. 与平行 C. 与垂直 D. 都与相交 3、（吉安市2022-2023学年高一下期末）如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径，点C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形．，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 的值与的取值有关 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 若，AQ与圆锥底面所成的角为，则 4、（九江市2022-2023学年高一下期末）如图，正方体中，，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 5、（南昌市2022-2023学年高一下期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（） A. B. C. 平面 D. 几何体2的表面积为 6、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，平面BCD，，，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面均为直角三角形 B. 球O的表面积为 C. 直线BD与平面ABC所成角的正切值是 D. 点O到平面BMN的距离是 7、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ） A. ∥ B. ∥面 C. ∥面 D. 三棱锥的体积不变 8、（新余市2022-2023学年高一下期末）已知正方体的棱长为4，点分别是BC，，的中点，则（ ） A. 异面直线与所成的角的正切值为 B. 平面截正方体所得截面的面积为18 C. 四面体的外接球表面积为 D. 三棱锥的体积为 9、（鹰潭市2022-2023学年高一下期末）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线AC夹角为60° B．平面截正方体所得截面的面积为18 C．若，则动点F的轨迹长度为π D．若平面，则动点F的轨迹长度为 三、填空题 1、（抚州市2022-2023学年高一下期末）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________． 2、（赣州市2022-2023学年高一下期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为______． 3、（吉安市2022-2023学年高一下期末）古希腊的哲学家柏拉图证明只存在5种正多面体，即正四、六、八、十二、二十面体，其中正八面体是由8个正三角形构成．如图，若正八面体的体积为，则它的内切球半径为______． 4、（九江市2022-2023学年高一下期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．如图“三角垛”共三层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径均为1且两两相切，则该“三角垛”的高度为______． 5、（南昌市2022-2023学年高一下期末）在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为___________. 6、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值______. 7、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为______. 8、（鹰潭市2022-2023学年高一下期末）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为7，，．记PA与平面ABC所成的角为θ，则的取值范围为______． 9、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为______. 四、解答题 1、（抚州市2022-2023学年高一下期末）在平行四边形中，，过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2． （1）证明：直线平面； （2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥与三棱锥的体积之比． 2、（赣州市2022-2023学年高一下期末）从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题． 如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角余弦值． 3、（吉安市2022-2023学年高一下期末）如图，在三棱锥中，，点D，M分别为AC，PB的中点，． （1）证明：//平面BDF； （2）若平面//平面BDF，其中平面，，证明：AN是AM在平面PAC上的投影． 4、（九江市2022-2023学年高一下期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，是的重心． （1）求证：∥平面； （2）若，，求圆锥的体积． 5、（南昌市2022-2023学年高一下期末）如图，三棱锥中，平面为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 6、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与AF所成角的余弦值． 7、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图，正四棱台中，，，. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值. 8、（新余市2022-2023学年高一下期末）如图，四棱锥的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面平面ABCD，Q，M，N分别为PB，AB，AD的中点． （1）证明：平面PDC； （2）证明：； （3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值． 9、（鹰潭市2022-2023学年高一下期末）如图，是等腰直角三角形，，四边形ABCM是直角梯形，，，且，平面ADM⊥平面ABCM． （1）求证：； （2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为？ 10、（赣州市2022-2023学年高一下期末）如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，． （1）求证：平面； （2）求多面体的体积． 11、（吉安市2022-2023学年高一下期末）已知E，F分别为的重心和外心，D是BC的中点，，． （1）求BE； （2）如图，P为平面ABC外一点，平面ABC，二面角的正切值为4． ①求证：； ②求三棱锥的外接球的体积． 12、（九江市2022-2023学年高一下期末）如图，在三棱柱中，，，平面． （1）求证：平面； （2）若点在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积． 13、（南昌市2022-2023学年高一下期末）小波到一个广告公司去应聘包装设计师职位，考官给大家出了一道题目:某礼品厂生产一种棱长为a的正四面体形状的礼品（如图）.请你为它设计一个包装盒，形状随意，可提出不同方案供考官选择（不考虑包装盒材料的质量、厚度、重量及接缝处损耗） （1）小波给出了长方体和圆柱两个设计方案（如图），请分别计算这两个包装盒的表面积； （2）考虑到礼品各面易碎，礼品较大，包装盒体积不能太大，但礼品各面与包装盒表面之间需要有填充物，请你帮小波设计一个方案.（需要面图表示，并配以简单说明理由） 14、（萍乡市2022-2023学年高一下期末）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，平面ABC，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上． （1）求证：平面ACD； （2）求二面角的正切值． 15、（上饶市2022-2023学年高一下期末）如图四棱锥中，平面，为平行四边形，且，，，是棱上的一点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 参考答案 一、单项选择题 1、C 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、C 8、C 9、B 10、A 11、B 12、C 13、C 14、C 15、A 16、C 17、C 18、D 19、D 20、D 二、多项选择题 1、ABD 2、ABCD 3、CD 4、ACD 5、ABC 6、ABD 7、BCD 8、ABC 9、ABD 三、填空题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 四、解答题 1、（1）如图1在，，， ∴，∴， 在中，，， ∴，∴， ∴， ∴，， ∴， 如图2，，， ∵，平面，∴平面． （2）∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面， ，又，所以， ∴，， ∵，， 又∵，∴． 2、（1）证明：连接，设，如下图所示： 因为，，且，所以，， 则，，所以，， 所以，，故， 所以，，即， 若选①，因为，，、平面，因此，平面； 若选②，因为，且， 由余弦定理可得， 整理可得，解得， 所以，，所以，， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因平面，所以，， 因为，、平面，因此，平面. （2）解：将直三棱柱补成直四棱柱，使得四边形为平行四边形， 则，故异面直线与所成角为或其补角， 若选①，由（1）可知，， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，且， ， 则直四棱柱为长方体，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为平面，平面，所以，， 所以，，故， 因此，异面直线与所成角的余弦值为； 若选②，由（1）可知，平面，因为， 则，以下同①. 3、（1）取的中点，连接，由，得，点为的中点， 又点为的中点，则，又平面平面，于是平面， 又点为的中点，点为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，又平面，平面平面，又平面， 所以平面. （2）平面平面，且平面平面，平面平面，则， 由为的中点，得，则， 又平面，因此平面， 所以是在平面上的投影. 4、（1）证明：取的中点，连接， 因为为等边三角形，， 所以分别在上， 因为是的重心，所以， 因为为的重心，所以， 所以，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面； （2）因为∥，所以， 因为，所以，所以， 因为为等边的重心， 所以， 所以底面圆的面积为，， 所以圆锥的体积为 5、（1）因为为的中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为， 所以三棱锥的高为， ， 故. 6、（1）证明：取的中点为G，连接BG，FG， ∵F为的中点，∴且，而且， ∴且，∴四边形ABGF为平行四边形，∴， 又∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∵面，面，∴平面； （2）取中点为O，连接，， ∵O，G分别为，的中点，∴， 由（1）知，为异面直线AF与所成的角或其补角， 设正方体的边长为，则，，， ， ∴异面直线AF与所成角的余弦值为． 7、（1）∵正四棱台中，，， ∴，又∵， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面，∴平面. （2）在等腰梯形中作交于点， 由（1）知，，∴， ∴就是异面直线与所成的角， ∵，， ∴中，，， ∴， ∴异面直线与所成的角的余弦值为. 8、（1） 证明：如图1，取PC中点E，连接QE，DE，在正方形ABCD中，，． ∵Q，N分别为PB，DA的中点，∴且，， ∴且，∴四边形QEDN为平行四边形，∴． 又平面PDC，平面PDC，∴平面PDC． （2）证明：∵是边长为2的正三角形，N为AD中点，∴， 又∵平面平面ABCD，平面平面，且平面， ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴． 在正方形ABCD中，易知，∴， 而，∴，∴． ∵，且平面，∴平面PNC． ∵平面PNC，∴． 【3】如图2，设，连接PO，PM，MN． ∵平面PNC，∴，且∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角． ∵，，∴，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为． 9、（1）证明：∵四边形ABCM是直角梯形， ，，， ∴，，则， ∴， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM， ∴BM⊥平面DAM，又DA⊂平面DAM，∴AD⊥BM； （2）解：由（1）可知BM⊥平面ADM，，设，则E到平面ADM的距离为B到平面ADM的距离的λ倍，即E到平面ADM的距离， ∵是等腰直角三角形，，，∴， ∴，即，∴， ∴E为线段BD上靠近点B的三等分点． 10、（1）证明：分别延长、交于点，如下图所示： 因为且，所以，，则， 故为的中点， 因为，，为四边形外接圆的直径， 所以，，且，故， 所以，，所以，，故为的中点， 所以，，即， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为、、、四点共圆，则， 由（1）可知，， 又因为，则，同理可得， 且， ， ， 因为平面，则， 因为，且四边形为直角梯形， 所以，， 因为平面，，则平面， 所以，， 因此，. 11、（1）由，且D是BC的中点，得，则，共线， 又为重心，则，， 又为的外心，连接，，而是的中点，因此， 在中，，由余弦定理得， 所以. （2）①由平面,平面，得,又， 平面，则平面，而平面， 所以. ②由①知，，则为二面角的平面角， 而二面角的正切值为4，即，解得， 又的外心为，令三棱锥外接球的球心为，则平面， 有，四边形是直角梯形，设外接球的半径为， 于是，， 因此，解得，， 所以三棱锥的外接球的体积为. 12、（1）因为平面，平面，所以， 在三棱柱中，，所以平行四边形为菱形，所以， 又，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小，此时， 又，，所以为等边三角形， 所以为的中点， 平面，平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 所以， 所以三棱锥外接球的球心为的中点， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积. 13、（1）如图，对于正四面体，过顶点作底面的垂线，垂足为，延长交于点， 可知平面，点为的中点，为的中心，， 由平面，则， 可得：， 对于长方体设计方案可知：长方体的长、宽、高分别为， 所以其表面积； 对于圆柱体设计方案可知：圆柱的底面半径为，高为， 所以其表面积. （2）由（1）可知：对于长方体设计方案，体积为； 对于圆柱体设计方案可知，体积为； 如图，以正方体的设计方案，则正方体的棱长为，体积为， 因为，，故体积较小， 此时四面体在正方体内不易晃动，且方便运输和管理. 14、（1）如图，取AC中点O，连接BO，DO，EO， ∵为等边三角形，∴BO为∠ABC的平分线，设点F是点E在平面ABC上的射影， 由题知，点FBO上，连接EF，则EF⊥平面ABC， ∵平面平面ABC，平面平面，平面ACD， ，则平面ABC， ∴，则DEBO为平面四边形， ∵平面ABC，平面DEBO，平面平面， ∴，∵平面平面ABC，平面平面， 平面ABC，，∴平面ACD，∴平面ACD. （2）∵，，，DO，平面BOD， ∴平面BOD，∵平面BOD，∴， ∴∠DOE为二面角的平面角， ∵平面ABC，平面ABC，∴， ∵，， ∴四边形DEFO为矩形，∴，∴，， 则，故二面角的正切值为． 15、1】 连接交于点，取中点，连接， 平面，平面，， ∵四边形是菱形，，又， 、平面，平面， ，，，，， 且为中点，为中点，， 、平面，，平面； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$