1.5.1全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1．5　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词与存在量词 同步训练 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 精梳理·自主学习固基础 ∀x∈M，p(x) 【主题1】　全称量词和全称量词命题 1．全称量词的定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“_____”表示． 2．全称量词命题的定义 含有____________的命题叫做全称量词命题，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：________________. 全称量词　 ∀ 全称量词　 ∃x∈M，p(x) 【主题2】　存在量词和存在量词命题 1．存在量词的定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，用符号“______”表示． 2．存在量词命题的定义 含有____________的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为：_________________. 存在量词　 ∃ 存在量词　 [自我检测] 1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 C 2．下列语句是存在量词命题的是(　　) A．整数n是2和7的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．x＞7 D．∀x∈M，p(x)成立 解析：B选项中有存在量词“存在”，故B项是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题． B 强研习·重点难点要突破 研习1 全称量词命题与存在量词命题的概念及真假判断 [典例1]　(1)(多选题)有下列四个命题，其中真命题是( 　　) A．∀x∈R,2x2－3x＋4＞0 B．∀x∈{1，－1,0},2x＋1＞0 C．∃x∈N，x2≤x D．∃x∈N*，x为29的约数 ACD (2)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． ①负数没有平方根； ②至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； ③∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； ④∃x∈{x|x∈Z},2x＜1. (3)试用符号语言表达下列命题，并判断真假． ①对一切实数x，都有x2＋2x＋2≥0； ②对所有自然数x，都有x3≥x2； ③有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0. (1) [解析]　对于A，这是全称量词命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x2－3x＋4＞0恒成立，故A为真命题；对于B，这是全称量词命题，因为当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故B为假命题；对于C，这是存在量词命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故C为真命题；对于D，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以D为真命题． (2)[解]　全称量词命题有①③，存在量词命题有②④. (3)[解]　①∀x∈R，x2＋2x＋2≥0，真命题． ②∀x∈N，x3≥x2，真命题． ③∃x∈R，x2＋2x＋3＝0，假命题． 1．全称量词命题的形式定义与真假判断 (1)全称量词命题的统一形式为“∀x∈M，p(x)”，“∀”表示“任意”“所有”等量词，集合M表示给定的范围，p(x)表示某一性质． (2)判断全称量词命题的真假，可以先找反例．若找到一个反例，说明全称量词命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题． 2．存在量词命题的形式定义与真假判断 (1)存在量词命题的统一形式为“∃x∈M，p(x)”，“∃”表示“存在”“至少有一个”等量词． (2)判断存在量词命题的真假，可以先找满足性质的元素．若找到一个元素，说明存在量词命题是真命题，若找不到，就是假命题． [练习1]　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． ①至少有一个实数a，a使式子eq \f(1,a－1)有意义； ②实数的绝对值都是正数； ③所有的二次函数都有最大值(或最小值)； ④有些三角形不是直角三角形． 解：①含有存在量词“至少有一个”，故这是存在量词命题． ②含有全称量词“都”，故这是全称量词命题． ③含有全称量词“所有的”，故这是全称量词命题． ④含有存在量词“有些”，故这是存在量词命题． 研习2 全称量词命题、存在量词命题的应用 [典例2]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题．求实数m的取值范围． [解]　∵∀x∈B，x∈A，∴B⊆A． 又∵B≠∅，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3. 故m的取值范围是{m|2≤m≤3}． [延伸探究]　本例题中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围． [解]　∵∃x∈A，x∈B，∴A∩B≠∅.∴m＋1≤5≤2m－1或m＋1≤－2≤2m－1或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即3≤m≤4或x∈∅.故m的取值集合为{m|3≤m≤4}． 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略 (1)求参数的取值时，从真命题的角度比较好列关系式．如果已知条件是一个存在量词命题且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求参数． (2)对于全称量词命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)． (3)对于存在量词命题“∃x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)． [练习2]　令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围． 解：∵对∀x∈R，p(x)是真命题， ∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立． 当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立． 当a≠0，若不等式恒成立，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))∴a>1. ∴实数a的取值范围为{a|a＞1}． 重效果·学业测试速达标 1．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．存在x∈R，使得x2＝x D．二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点 解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D． D 2．既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个x∈R，使x2≤0 C．两个无理数的和是无理数 D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)＞2 解析：A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B． B 3．(多选题)下面四个命题中假命题是( 　　) A．∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．∀x∈R,4x2＞2x－1＋3x2 解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故A为假命题；因为x＝±eq \r(2)时，x2＝2，而±eq \r(2)为无理数，故B为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故C为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故D为假命题．故选ABCD． ABCD 4．已知命题p：∃x∈R，x2＋ax＋a＜0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤4} B．{a|0＜a＜4} C．{a|a＜0或a＞4} D．{a|a≤0或a≥4} 解析：假设p为真，则∃x∈R，x2＋ax＋a＜0.由Δ＞0得a＞4或a＜0.∵p为假， ∴0≤a≤4.故选A． A 5．若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R. (2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，－1≤a≤1. $$