1.4.2充要条件第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一 册

第一章　集合与常用逻辑用语 1．4　充分条件与必要条件 第2课时　充要条件 同步训练 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 第1页 新教材•数学(RA)　必修•第一册 精梳理·自主学习固基础 【主题1】　充要条件 1．定义：“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的__________． 【主题2】　互为充要条件 如果________，那么p与q互为充要条件． p⇔q 充要条件 p⇔q 【主题3】　集合观点理解充分条件、必要条件、充要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}． [自我检测] 1．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． D 2．(多选题)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( 　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 ABD　 解析：可利用Δ＝b2－4ac的值判断方程根的情况，Δ＝0方程有两相等实根；Δ>0方程有两不等实根；Δ<0方程无实根． A对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；B对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；C错，Δ>0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根 eq \o(⇒,/)Δ>0；D对，Δ<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选ABD． 强研习·重点难点要突破 研习1 充要条件的判断 [典例1]　(1)(2023·天津卷)设x∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)“m＞eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A B 充要条件的常用判断方法 (1)定义法 ①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． ②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． ③根据推式及条件得出结论． (2)等价转化法 将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题． (3)命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： ①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件． ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件． ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件． ④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． (4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． (5)传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． (6)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． [练习1]　本例(2)中“m＞eq \f(1,4)”若换为“m＜eq \f(1,4)”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 答案：D　 解析：方程x2＋x＋m＝0无实数解⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞eq \f(1,4)，所以方程x2＋x＋m＝0无实数解 eq \o(⇒,/)m＜eq \f(1,4)，而m＜eq \f(1,4) eq \o(⇒,/)方程x2＋x＋m＝0无实数解．所以“m＜eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的既不充分也不必要条件． 研习2 充要条件的证明 [典例2]　求证：一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜eq \f(1,3). [证明]　先证必要性：因为一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝4－12m＞0⇒m＜eq \f(1,3)，且两根同号，设x1，x2为两根，可得x1·x2＝eq \f(3,m)＞0⇒m＞0，所以0＜m＜eq \f(1,3). 再证充分性：因为m＜eq \f(1,3)，所以Δ＝4－12m＞0，所以方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根． 又因为m＞0，设x1，x2为方程mx2－2x＋3＝0的两根，可得x1·x2＝eq \f(3,m)＞0，即x1，x2同号．因此一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜eq \f(1,3). 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． (3)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是可逆的，即反过来也能推出． (4)证明p是q的充要条件时应该注意的问题：在证明p是q的充要条件时，一是要注意既要证明p⇒q，又要证明q⇒p，不能忽略任何一个；二是在证明过程中，要分清充分性与必要性的条件与结论． [练习2]　已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0. 证明：①必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0.又由x＞y，得y－x＜0， 所以xy＞0.②充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y). 综上所述，eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0. 研习3 由充要条件求参数 [典例3]　求关于x的一元二次不等式ax2＋1＞ax对于一切实数x都成立的充要条件． [思路点拨]　ax2＋1＞ax恒成立等价于ax2－ax＋1＞0恒成立． [解]　ax2＋1＞ax恒成立等价于ax2－ax＋1＞0恒成立，等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0))⇔0＜a＜4. [延伸探究] 1．将本例中不等式改为ax2－1＜ax，求其对于一切实数x都成立的充要条件． [解]　不等式恒成立等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝a2＋4a＜0，))解得－4＜a＜0. 2．将本例中的不等式改为方程，求方程有两个正根的充要条件． [解]　一元二次方程为ax2－ax＋1＝0，设方程的两根为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝a2－4a≥0，,x1·x2＝\f(1,a)＞0，,x1＋x2＝1＞0，))解得a≥4. 求充要条件的方法 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密． 提醒：p是q的充要条件意味着“p成立，则q成立；p不成立则q不成立．” 重效果·学业测试速达标 1．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在下列结论中，正确的有(　　) ①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件； ②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件； ③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ C C 3．伟人毛泽东的《清平乐·六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁．不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设¬p为不到长城，推出¬q非好汉，即¬p⇒¬q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件． B 4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－eq \f(m,2)⇔－eq \f(m,2)＝1⇔m＝－2.故答案为m＝－2. m＝－2　 $$