河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期检测数学试题（05.26）

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.26 数学试题 命题人：王凯 审题人：宋泳静 一、单选题 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为 A． B． C．1 D． 3．已知直线：的倾斜角为，则 A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为 A． B． C．2 D． 5．若，则有 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6．如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为   A． B． C． D． 7．设为等比数列的前项和，，，则 A．20 B．10 C．5 D．2 8．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，下列结论正确的是 A．若的最小正周期为，则 B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则 C．若在上恰有4个极值点，则的取值范围为 D．存在，使得在上单调递减 10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则   A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 11．已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有 A． B．若，则 C．设到直线的距离分别为，则 D．若直线的斜率分别为，则 三、填空题 12．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为 . 13．定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ． 四、解答题 15．已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，． (1)求； (2)求四边形面积的最大值． 16．远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程序，通过输入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“1，2，3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次. (1)求满足条件的对接码的个数； (2)若对接码中数字1出现的次数为，求的分布列和数学期望. 17．如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面和平面的夹角的余弦值. 18．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：. 19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆. (1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值． (2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积． $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.26 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C B B D A ABC ACD BD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．D 13． 14． 15．【详解】（1） 由余弦定理可得， 化简为，解得或， 当时，因为，与为锐角三角形不符合，故. （2）作垂直于，设， 则，当，四边形面积最大，最大面积为. 16．【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时， 种数为：， 当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时， 种数为：， 所有满足条件的对接码的个数为150. （2）随机变量的取值为1，2，3，其分布为： ，， ， 故的分布列为： 1 2 3 故. 17．【详解】（1）存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面平面，又平面平面， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. （2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由（1），， , ， ，, 设平面的法向量为， 由，取， 易知平面PDE的法向量为， 设平面和平面的夹角为,故. 18．【详解】（1）由已知函数的定义域为，又 当时，，函数在上是增函数； 当时，解得或（舍去）， 所以当时，函数在上是增函数； 当时，函数在上是减函数； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知，即， 可得， 函数有两个极值点，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证， 即证，， 只需证，， 令， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，又， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 则， 令，，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即得证. 19．【详解】（1）椭圆的标准方程为，则． 当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意， 所以直线的倾斜角不为, 设直线, 由,得， 则， 所以 , 又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 由，得， 代入，得，所以， 则点到直线的距离， 所以， 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以当，即时，的面积最小，最小值是； （2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1， 椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体， 构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体， 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为， 则，即，所以新几何体的截面面积为， 把代入，得，解得， 所以半椭球的截面面积为， 由祖暅原理，得椭球的体积. $$