河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期数学检测试题（05.19）

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.19 数学试题 命题人：凡林花 审题人：陈梦 一、单选题 1.设集合，，则 A. B. C. D. 2.设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是 A. B. C. D. 3.当时，的最大值是 A.2 B. C.0 D. 4.已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为 A. B. C. D.0 5.在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则= A.26 B.63 C.57 D.25 6.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：dB）与声强x（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为 A.138dB B.132dB C.128dB D.122dB 7.设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为 A.501 B.500 C.1002 D.1001 8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则= A.4036 B.4040 C.4044 D.4048 二、多选题 9.若，则下列命题正确的是 A.若且，则 B.若，则 C.若且，则 D. 10.如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是   A.存在点F，使得 B.满足的点F的轨迹长度为 C.的最小值为 D.若平面，则线段长度的最小值为 11.已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则 A.的最小值为4 B.若线段AB的中点为M，则的面积为 C.若，则直线l的斜率为2 D.过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值 三、填空题 12.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 . 13.若直线和直线与圆的四个交点构成正方形，则 . 14.已知函数在处取得极小值，则的值为 . 四、解答题 15.某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）； （2）若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例； （3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的的值； 附：若随机变量服从正态分布，则： 16.记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，求. 17.如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线. （1）求证：； （2）截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积. 18.已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 19.已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有且仅有1个零点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测05.19 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C D A C C D D BCD BD ACD 12． 13．7 14． 15．【详解】（1）由直方图可知，第分位数位于区间， 第分位数（岁）. （2）（岁） 使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的. （3）根据题意， 要使取最大值，则， ，解得， 因为，所以. 16．【详解】（1）在中，， 由正弦定理可知： 可化为： 故可得：，代入可得： 所以，故（*） 在中，由余弦定理可得： 代入数据和（*）式可得： 所以三角形面积为： 故三角形的面积为. （2）因为且，故，所以， 代入可得： 因此 化简可得：，则， 因为，所以， 所以， 所以可得：，化简可得： 在中，由正弦定理可得：； 17．【详解】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分. 可知母线与母线的延长线必交于一点，即四点共面， 又因为圆面∥圆面，且平面圆面，平面圆面， 所以∥. （2）解法一：因为劣弧的长度为，则 由，可得. 如图，建立空间直角坐标系，设，    则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：底面的一个法向量， 因为截面与下底面所成的夹角大小为， 则， 解得，即，可得， 在等腰梯形中，， 可得等腰梯形的高， 所以. 解法二：如图，分别取的中点为，连结，， 由题意可得：， 所以为截面与底面所成夹角，即，    过点作于点，由，得， 则（即梯形的高）， 所以. 18．【详解】（1）由椭圆可得， 所以等轴双曲线的顶点为， 设等轴双曲线为，所以， 所以等轴双曲线的方程为； （2）设，，,, 设直线的方程为，直线的方程为， 由得：， 所以显然成立，所以， 同理可得， 所以， ， 联立直线和：，解得， 所以， 因为在双曲线上，所以，解得， 所以 ， . 当且仅当，即时，取得最小值. 19．【详解】（1）时，，所以， 则，所以在处的切线方程为； （2）①由上知时，， 有， 令， 即在上单调递增， 又，， 所以时，，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时只有一个零点，符合题意； ②当时，，且， 所以， 设， 显然时，即此时单调递增，时，此时单调递减， 所以，即， 所以， 所以根据零点存在性定理可知使得， 又， 易知，所以， 由上证得， 即，故使得， 所以此时至少存在两个零点，不符题意； ③时，， 由①可知，所以此时无零点，不符合题意； 综上所述时，有且仅有1个零点. 【点睛】难点点睛：通过第一问将参数分成三种情况讨论.第一个难点在于时的合适取点即及符号的判定，在计算函数值符号时用到了常用函数放缩公式，第二个难点在于时，通过对数函数的单调性判定再结合时的结论判定函数值符号.关于取点技巧需要多加练习，放缩公式要多加积累. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$