2024年中考数学考前大题冲刺特训：一次函数与实际问题4大考点汇总与针对性训练

2024年中考数学考前大题冲刺特训：一次函数与实际问题4大考点汇总与针对性训练 4大考点汇总 考点1：分配方案问题 考点2：最大利润问题 考点3：行程问题 考点4：几何问题 6大考点针对性训练 考点1：分配方案问题 1．我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满． 水果品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨水果获利/百元 12 16 10 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案? (3)在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案?求出最大利润． 2．2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲、乙两种原材料进行生产，该厂计划购买甲、乙两种原材料共吨．已知甲种原材料每吨元，乙种原材料每吨元，通过调查了解，甲、乙两种原材料的利用率分别是和． (1)若购买这两种原材料共用去元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？ (2)要使这批原材料的利用率不低于，则甲种原材料最多购买多少吨？ (3)在（2）的条件下，应如何选购原材料，便购买原材料的费用最低？并求出最低费用． 3．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． (1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； (2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 4．为了准备“迎新”汇演，七（1）班学生分成甲乙两队进行几天排练．其中甲队队长对乙队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数和你们的人数相同；乙队队长跟甲队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数是你们的人数的倍． (1)根据甲队队长对乙队队长交谈的内容，设甲队有人，则乙队有 人，求出七（1）班的学生人数 ； (2)为了增强演出的舞台效果，全部学生需要租赁演出服装，班主任到某服装租赁店了解到可供选择的收费方式如下： 方式一：一套服装一天收取元，另收总计元的服装清洗费； 方式二：在一套服装一天收取元的基础上打九折，一套服装每天收取服装清洗费元，另收每套服装磨损费元不按天计算； 设租赁服装天为整数，请你帮班主任参谋一下：选择哪种付费方式节省一些，并说明理由． 考点2：最大利润问题 5．为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售． 成本价(万元/辆) 售价(万元/辆) A型 16 16.8 B型 28 29.4 (1)如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？ (2)如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值． 6．学校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计后义卖，将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场分别花元购买了红、蓝两种颜色的文化衫若干件，其中每件红色文化衫比蓝色文化衫贵5元，红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，手绘后红色文化衫的零售价为元/件，蓝色文化衫的零售价为元/件． (1)学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是多少？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：这次学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 7．2020年两会，总理点赞地摊经济，一夜之间，“地摊”成了当下的潮流，即将大学毕业的小明也准备“摆摊”磨练一下，进货时发现：件商品和件商品进货需要元；件商品和件商品进货需要元． (1)则、每件商品的进价各是 ； (2)两种商品共进货件，设商品购进件，商品的总售价为元，商品的总售价为元，总售价（元）与销量件数之间是一次函数关系，如表，总售价（元）与销量（件）之间的函数关系如图． 件数（商品） … （元） … ①直接写出、与之间的函数关系式 ； ②设销售、两种商品所获总利润为元，求与之间的函数关系式； (3)若将小明所进的件、商品全部售完，预计共获利元，当商品的销售最大时，他计划每件、商品分别捐给学校助学基合元和元，捐款数恰好等于总成本的，求的值． 8．4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同． (1)求A，B两种图书每本的进价． (2)已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 考点3：行程问题 9．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．如图，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系．    (1)填空：乙先出发__________h后，甲才出发；__________先到达B地； (2)根据图象分别求和的函数关系式； (3)甲、乙二人相遇时距离A地多远？ 10．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度y（米）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，完成下列问题． (1)求甲距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式． (2)当时，求乙距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式． (3)当为何值时，甲乙距离地面的高度相差20米． 11．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题： (1)______；______；______； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，行驶的路程是多少？ (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前这个过程中，何时与小军相距100米？ 12．甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 考点4：几何问题 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线的解析式为，与轴分别交于两点． (1)求出点坐标； (2)已知动点， ①若平分，求点坐标； ②当取最小时，求直线的解析式． 14．如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． (1)求所在直线的表达式； (2)从点处发射激光． ①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围． 15．如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 16．阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理． (1)【问题探究】 小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题： 如图1，在中，，求斜边边上的高的值． 小明用两种方法表示出的面积： ①； ②． 图1 由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出______． (2)【学以致用】 如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为______． 图2 (3)【拓展延伸】 如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标． 图3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)见解析 (3)选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元 【分析】（1）等量关系为：车辆数之和，由此可得出与的关系式； （2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数的值即可得到方案； （3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数装运B种水果的车辆数装运C种水果的车辆数得，由，可知随x的增大而减小，进而可知当时，最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得． ∴． （2）解得． ∵为整数，∴可取整数为4，5，6，7，8． 共有五种方案如下： 方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果； 方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果； 方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果； 方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果； 方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果． （3）设获利为元． ． ∵，∴随x的增大而减小． ∴时，最大． ． ∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键． 2．(1)购买甲种原材料吨，购买乙种原材料吨 (2)甲种原材料最多购买吨 (3)甲种材料购买吨，乙种材料购买吨时，购买原材料的费用最低，最低费用为元 【分析】（1）购买甲、乙两种原材料共吨，甲种原材料每吨元，乙种原材料每吨元，设购买甲种原材料吨，购买乙种原材料吨，由此可列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种原材料吨，则购买乙种原材料吨，利用率不低于，由此可得列不等式关系求解即可； （3）设购买原材料的总费用为，购买甲种材料吨，由此可列关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设购买甲种原材料吨，购买乙种原材料吨， ∴，解得，， ∴购买甲种原材料吨，购买乙种原材料吨． （2）解：设购买甲种原材料吨，则购买乙种原材料吨， ∴，解得，， ∴甲种原材料最多购买吨． （3）解：设购买原材料的总费用为，购买甲种材料吨， ∴，整理得，， ∵，即关于的一次函数随着的增大而减小， 由（2）可知，， ∴当时，（元）， ∴购买乙种材料（吨）， ∴甲种材料购买吨，乙种材料购买吨时，购买原材料的费用最低，最低费用为元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组、一元一次不等式，一次函数的性质是解题的关键． 3．(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元 (2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少 【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可； （2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解． 【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合实际意义． ． 答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元． （2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元 根据题意，得 ， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，最小值． 故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键． 4．(1)，； (2)见解析 【分析】（1）设乙队有人，由题意可得关于、的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）分别用表示出两种方案的总费用，然后计算它们的差即可得解． 【详解】（1）解：设乙队有人，由题意可得： ， 解得：， 七（1）班的学生人数为： 人， 故答案为； （2）解：分别用、表示两种方案的总费用，由题意可得： ， ， ， 当时，，即租赁服装天数为天时，第一种付费方式较节省； 当时，，即租赁服装天数为天时，两种付费方式一样； 当时，，即租赁服装天数多于天时，第二种付费方式较节省． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数式的表示是解题关键． 5．(1)购进型电动汽车12辆，型电动汽车8辆； (2)购进14辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是19.6万元； (3)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用；解题的关键是：找出等量关系，列出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，由题意：该店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，由题意：购进的型电动汽车不少于型电动汽车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值，然后再求出利润的解析式即可； （3）设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，新利润为元，得出，再根据不论为何值，均不变，得出结论． 【详解】（1）解：设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：购进型电动汽车12辆，型电动汽车8辆； （2）解：设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆， 购进的型电动汽车不少于型电动汽车的2倍， ， 即， 根据题意，得：， ． ， 时，利润最大，最大值为：万元， 购进14辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是19.6万元； （3）解：设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，新利润为元，由题意得： ，即， 不论为何值，均不变， ， ． 6．(1)学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是25元、元 (2)学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列 出方程组或不等式是解题的关键． （1）设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元，根据红色文化衫比蓝色文化衫少买了件，列出方程求解即可； （2）设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得的利润为元， 列出方程，然后由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设学校购进红文化衫的批发价格为元，蓝文化衫的批发价格元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 故学校购进红、蓝文化衫的批发价格各是元、20元； （2）设学校再次购进红文化衫件，则蓝文化衫件，获得的利润为元， 则 ， 由题意得， 解得， 随的增大而增大． 当时，最大利润为元． 故学校购进红色文化衫件时获得最大利润，最大利润是元． 7．(1)元、元 (2)①；；② (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出等量关系式． （1）设商品的进货单价为元，商品的进货单价为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）①根据题意可得商品的数量为，由表可知商品的销售单价为元，根据“总售价销售单价数量”，即可得出与的关系式；根据与销量之间的函数关系图，利用分段的思想即可求与的关系式；②根据“利润售价进价”即可求解； （3）根据题意可得出在的范围内，当时，最大，最大值为，即的销量为，最后根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设商品的进货单价为元，商品的进货单价为元， 根据题意得：， 解得：， 、每件商品的进价各是元、元， 故答案为：元、元； （2）①由题意得：与之间的函数关系式为； 当时，设的函数解析式为， 则， 解得：， ； 当时，设的函数解析式为， 则， 解得：， ； 的函数解析式为； ②根据题意得，， 当时，， 当时，， ； （3）当时，， 不在此范围内； 当时，， 在此范围内， ， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为， 即的最大销售量为， ， ． 8．(1)A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元 (2)购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．解题的关键是： （1）设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元，根据“1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同”正确列出分式方程； （2）设该书店购进A种图书m本，找出数量关系，正确列出一元一次不等式求出自变量的取值范围，设获利为w元，则，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）设A种图书每本的进价为x元，则B种图书每本的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ． 答：A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元． （2）设该书店购进A种图书m本，则购进B种图书本． 根据题意，得，解得． 设获利为w元．根据题意，得． ，随m的增大而增大． 当时，w有最大值，最大值为． 答：购进A种图书60本，B种图书40本时书店获利最大，最大利润为1800元． 9．(1)1，甲 (2)：，：； (3)甲、乙两人相遇时，距离A地km． 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题的应用题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据图象中点可得出乙先出发1h后，甲才出发；甲先到达B地； （2）利用待定系数法即可求出和的函数关系式； （3）联立，解方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：观察图象得乙先出发1h后，甲才出发；甲先到达B地； 故答案为：1，甲； （2）解：设的函数关系式为， 把，代入得， 解得， ∴：， 设的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴：； （3）解：联立， 解得， 答：甲、乙两人相遇时，距离A地km． 10．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据函数图象中的数据，设甲距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为，进而计算出函数关系式； （2）根据函数图象中的数据，当时，设乙距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为，进而计算出函数关系式； （3）分三种情况讨论，①甲乙相遇前，②甲乙相遇后，③乙到达山顶后，分别计算即可． 【详解】（1）解：设甲距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为， ∵点，在函数图象上， ∴， 解得， ∴甲距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为； （2）解：根据图像，乙前2分的速度为：（米/分）， 当时，， ∴当时，设乙距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为， ∵点，在函数图象上， ∴， 解得， ∴乙距离地面的高度y米与时间x分之间的函数关系式为； （3）解：根据图像，甲的速度为：（米/分）， 分三种情况： ①甲乙相遇前：， 解得， ②甲乙相遇后：， 解得， ③乙到达山顶后：， 解得，； ∴当x为或或18时，甲乙距离地面的高度相差20米． 11．(1)10，15，200 (2)2250米 (3)17.5或20分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握一次函数图象与实际意义的对应关系，掌握待定系数法求函数解析式． （1）由时间路程速度求，，再由到段的速度路程时间求即可； （2）分别求出小军运动与的关系式及段直线解析式，联立方程求解； （3）由或求解． 【详解】（1）由题意得， ， （米/分）， 故答案为：10，15，200． （2）设所在直线解析式为 将，代入得：， 解得：， ∴， ∵小军速度为120米/分， ∴所在直线解析式为， 联立方程， 解得：， ∴小军在途中与爸爸第二次相遇时，行驶的路程是2250米． （3）由题意得当时，， 解得：， 当时，， 解得：． ∴爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米． 12．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 13．(1)， (2)①；② 【分析】（1）分别令即可求得的坐标； （2）①勾股定理求得，取点，连接，证明，得，根据勾股定理建立方程，即可求解； ②根据点的坐标可得在直线上，当直线时，取得最小，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理列出方程，得出，进而得出，然后待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴，， （2）①∵，， ∴， 如图所示，取点，连接， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 解得： ， ∴， ∴， ②如图所示，∵， ， ∴在直线上， 当时，，则，设， ∴当直线时，取得最小， ∵，， ∴，， ∴， 解得：或（与点重合，舍去） ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查一次函数、勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点Q的横坐标为3，然后将代入所在直线的表达式可求得点C的纵坐标即可；②先根据所在直线过C、B两点可求得一个临界点m，在根据当轴时，与交于点Q，即可取无限大，据此即可解答． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，则有： ，解得：， ∴设直线的函数解析式为． （2）解：①如图： ∵点处发射激光，轴，与交于点Q， ∴点Q的横坐标为3， 将代入所在直线的表达式可得：, ∴, ∴线段的长度为． ②∵所在直线的表达式为， ∴，即 ∵，， ∴当所在直线过时，，解得：， 由当轴时，与交于点Q，即可取无限大 ∴m的取值范围． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)，或， 【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解； （2）由“”可证，可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，分别为边，上的高， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图，点在轴的上方，过点作轴于， 点坐标为， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 如图，在轴的下方，过点作轴于， 由①可知：，直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积． （1）根据题意，得即可； （2）连接，过点作于点，，求出，再根据即可； （3）过作于，过作于，连接，根据即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 故答案为：； （2） 解：连接，过点作于点， 在矩形中，， ，， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （3）过作于，过作于，连接，如图： 在中，令得， ， 在中令得， ， 联立：， 解得：， ， ，， ，点到直线的距离为4， ， 解得，即的纵坐标为， 在中，令得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$