专题延伸：立体几何角度（线线角、线面角和面面角）的几何求法讲义（3知识点+8题型）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题延伸： 线线角、线面角和面面角的几何求法 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 异面直线夹角 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）计算：根据几何关系，利用余弦定理等求解角度． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③直接平移法． 知识点2 直线与平面夹角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点3 平面与平面夹角 1、二面角的定义 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： 法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 法二：三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 法三：垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 2提升学科能力 一、题点一 利用中位线平移直线求线线角 1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 2．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为中点，可知即为异面直线，所成角（或其补角），余弦定理求解即可. 【详解】连结，取中点，连结，，如图所示，    则，可知即为异面直线，所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，即异面直线，所成角的余弦值为. 故选：D 3．如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：作出辅助线，得到是异面直线AE与BF所成角或其补角，由余弦定理求出，进而得到，，利用余弦定理求出答案；解法二：作出辅助线，得到平面ABC，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】解法一：如图，设N是MF的中点，O是的中心， 连接AO并延长，交BC于点D，连接AN，EN，MO，MD， ∵E为MB的中点，∴，， ∴是异面直线AE与BF所成角或其补角， 由题可知，平面ABC，为正三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，． 在中，， ∴． 在中，． 易得， 所以在中，， 故异面直线AE与BF所成角的余弦值为. 解法二：如图，设O是的中心，连接AO并延长，交BC于点D，连接MO， ∵三棱锥为正三棱锥，， ∴平面ABC，，． 以D为坐标原点，OD所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、过点D且与OM平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，∴，． ∴， 故异面直线AE与BF所成角的余弦值为. 故选：D． 4．在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 5．在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】作辅助线，证明、，将问题转化为求的余弦值；再求出的三条边长，利用余弦定理即可得出答案. 【详解】设正方体边长为1， 取的中点，连接、， 因为点、分别为、的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以， 连接、，交点记为点，连接， 因为点、分别为、的中点， 所以 所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角， 即为或其补角， 在中，， ， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    二、题点二 构造平行四边形平移直线求线线角 6．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行移动与相交构成三角形，指明或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可. 【详解】 如图连接，因为为正四棱柱， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角就是异面直线与所成的角， 设，则，，， 由余弦定理得：. 故选：B. 7．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB的中点，的中点，则或其补角为AM与BN所成的角，利用余弦定理解三角形即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点， 正方体中，，，四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 因此，即异面直线AM与BN所成角的正弦值为. 故选：B． 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别是，的中点，若，，则异面直线与所成角大小是 ． 【答案】 【分析】取的中点，证明，得到是异面直线与所成的角或其补角，结合题设条件在中，求即得. 【详解】 如图，取的中点，连接, 因M，N分别是，的中点，底面是平行四边形，故且 又且，故得, 即,故是异面直线与所成的角或其补角. 由,两边取平方，， 设的夹角为，因，,代入上式， 整理可得，，即，故,则， 在中，设,，因，故. 故答案为： 9．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 / 【分析】取中点，连接，为直线EF与平面所成角，求解即可；取中点，连接，所以异面直线与所成角的余弦值为，利用余弦定理求值. 【详解】取中点，连接， 由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角， 在中，， 所以； 取中点，连接， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 在中，，， ， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 10．如图，在三棱柱中，，，且，是的中点．    (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由已知得出，则，即可证明； （2）把三棱柱补为一个底面为正方形的四棱柱，得出四边形为平行四边形，则，即可求出直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）如图所示，连接， 因为在和中，，且， 所以，， 则，所以，又是的中点，所以， 又， 所以． （2）设， 因为，，所以， 在中，由余弦定理，得， 因为， 所以把三棱柱补为一个底面为正方形的四棱柱， 连接． 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，则就是异面直线与所成的角， 在正方形ABDC中，，则， 所以，所以， 所以在中，．   . 三、题点三 直接平移直线求线线角 11．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】连接，由长方体的性质可得平面， 故与平面所成的角为与相等， 又平面，故平面，即， 又，故与所成的角与与所成角相等， 即与相等，又， 故.    故选：C. 12．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】由∥可知异面直线与所成角为（或其补角），结合长度关系分析求解. 【详解】连接， 因为∥，且， 可知四边形为平行四边形，则∥， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 由题意可知：，即为等边三角形，则， 所以异面直线与所成角为. 故答案为： 13．如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为 .    【答案】/ 【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解. 【详解】作交于，连接，则. 而，所以，则. 由，得，所以， 又，， 所以，故. 故答案为：    14．如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    【答案】 【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，在利用余弦定理求解夹角余弦值，最后求解正弦值即可. 【详解】    如图，作//，易知是的中点，连接，故即为所求角， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得， 易知，故. 故答案为： 15．如图所示，在正方体中，与所成的角为 ，与所成的角为 ． 【答案】 【分析】借助等角定理与正方体的性质计算即可得. 【详解】与是异面直线，连接，交于点，易知， 所以或其补角为与所成的角． 因为为正方形，所以， 所以与所成的角是， 因为，所以或其补角是与所成的角， 因为为正方形，所以，所以与所成的角是． 故答案为：；. 四、题点四 利用平面垂线求线面角 16．已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形；侧面是正方形，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角定义，找到与平面所成角，根据正弦值求解即可. 【详解】 因为平面是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 取的中点为的中点为，如图所示，连结， 则. 因为平面，所以. 因为底面是等边三角形，所以. 因为，所以平面. 因为，所以，所以，即四点共面. 因为平面，所以平面平面， 过点作交于点，连结，则因为平面平面， 所以平面，故就是与平面所成角， 由题中边长关系可得，所以， 所以. 故选：D. 17．在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值. 【详解】过E作,F为垂足,连接,则为直线与平面所成角, 设三棱柱的棱长为2,则,, ∴. 故选：A 18．在直三棱柱中，，则与平面所成的角为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，得到平面，从而有平面，即为所求线面角，在中，由长度关系求得. 【详解】由题意，，，可知平面， 则有平面，即为所求线面角， 不妨设，则，， 故，故.    故选:A. 19．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明平面，则即为直线与平面所成角的平面角，即可得解. 【详解】连接，则， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 在等腰直角三角形中，， 所以直线与平面所成的角为. 故选：B. 20．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，易得点位于圆弧的中点时，最大，证明面，则即为与半圆面所成角的平面角，再解即可. 【详解】过点作于点， 因为面底面，面底面，面， 所以平面， 则， 当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点， 因为面底面，面底面面， 所以面， 所以即为与半圆面所成角的平面角， 在中，， 所以， 即与半圆面所成角的余弦值为.    故选：D. 五、题点五 等体积法求线面角 21．如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； （2）设点到平面的距离为，计算出三棱锥的距离，以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离，再求出. 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 又因为，平面，平面， 平面. （2）设点到平面的距离为，， ， 易知，则是边长为的正三角形， 所以，， 所以，，解得， 因此，点到平面的距离为 因为， 所以平面所成角的正弦值为. 22．已知四面体. (1)证明：; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）方法1：根据题意可知：平面平面，作辅助线，可知平面，利用等体积法求点到平面的距离为，结合线面夹角的定义分析求解；方法2：根据题意可知：平面平面，作辅助线，可知平面，建系，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）取的中点，连， 由，可得， 又因为，平面， 所以 平面 ， 因为平面，所以. （2）方法1：因为，所以， 又因为，所以， 由（1）可得平面，所以平面平面， 作交延长线于点，则平面且， 设点到平面的距离为， 因为，则， 可得， 设直线与平面所成角为，可得， 所以直线与平面取成线面角的正弦值为； 方法2：因为，所以， 又因为，可知， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面， 作交延长线于点， 则平面且， 如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面取成线面角的正弦值为. 23．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足． (1)求证：； (2)如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用平面得到线线垂直，再结合另一组线线垂直证明线面垂直即可. （2）结合给定的体积比，运用几何法求解线面角即可. 【详解】（1）根据圆柱性质，平面． 平面，∴DA⊥EB． 是圆柱底面的直径，点在圆周上， ，又，平面， 故得平面． 平面，． 又，且，平面， 故平面． 平面， ． （2） 过点作，是垂足，连接． 根据圆柱性质，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面． 又平面，所以是在平面上的射影， 从而是与平面所成的角． 设圆柱的底面半径为，则，于是 ，． 由，得，可知是圆柱底面的圆心， 则 ， 24．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可； （2）根据（1）中所求棱锥的体积，求得点到平面的距离，结合的长度，利用公式，直接求解即可. 【详解】（1）面面，故，故， 又在直角梯形中，，； 又为中点，故 . （2）因为//，故，又面面，故， 又面， 故面面，则，则△为直角三角形； 易知， 故， 设点到面的距离为， 由（1）可得，解得； 因为分别为的中点，故//， 则面，又面，则， 故△为直角三角形，则， 设直线与平面所成角为，则. 25．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质和勾股定理逆定理得出线线垂直，结合线面垂直的判定定理可证结论； （2）先结合等体积法求出点面距，再利用点面距和线面角的关系可求答案. 【详解】（1）由题意，四边形为直角梯形，且， 所以，所以， 取的中点，连接，则且，且， 故四边形为矩形， 则，且，所以， 又由，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面； 又平面，所以， 因为，则，所以， 又平面，所以平面. （2）取的中点为的中点为，连接， 过在平面内作垂直于，垂足为， 又平面平面，平面平面， 所以平面为的中点， 所以，所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面平面， 所以平面， 得平面. 因为， 所以， 由等面积法可得， 延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点， 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则所以， 由，所以. 六、题点六定义法求面面角 26．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，根据二面角的定义，结合正方体的线面关系判断出待求二面角的平面角即可求解. 【详解】如图，由正方体的性质易知平面，平面，平面， 则， 而平面平面， 则为二面角的平面角， 又因为四边形为正方形， 所以，即二面角的大小是. 故选：B. 27．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO，可得即为所求二面角，设出正方体棱长后，在Rt△B1OB中，表示出各边长即可求解. 【详解】   如图，连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO， 由AB＝BC，得BO⊥AC， 由AB1＝B1C，得B1O⊥AC， 故∠B1OB即为二面角B-AC-B1的平面角， 不妨设正方体的棱长为1，则在△ABC中，BO＝AC＝， 又B1B＝1，在Rt△B1OB中，tan ∠B1OB＝＝． 故选：B． 28．如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 故选：B 29．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】取中点，连接，交平面于点， 由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且， 故为二面角的平面角， 设正三棱锥侧棱长为2，易得， 则， 在中由余弦定理得. 故选：D. 30．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ． 【答案】 【分析】利用二面角的平面角定义构造出二面角的平面角，利用已知条件解多个三角形，先在△CDE中求出CE，再在△CAE中利用余弦定理即可求出. 【详解】 如图，在二面角中，过A在平面内作，并取AE=BD=4，连接DE，CE， 所以AE//BD，所以四边形AEDB为矩形，为二面角的平面角. ，面ACE，AE面ACE， 所以面ACE，面ACE，故，又四边形AEDB为矩形，所以AB//ED，所以. 在直角三角形CED中，DE=AB=2，，所以. 在三角形CEA中，AC=3，AE=4，CE=，由余弦定理得：， 又，所以 即平面与的夹角是， 故答案为：. 七、题点七 利用三垂线定理求面面角 31．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 32．已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设的中点为，为的外接圆圆心；的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，由正弦定理确定，在中由勾股定理确定，在中由勾股定理确定，作出二面角的平面角，求即可. 【详解】    不妨设二面角为锐角，设的中点为， 因为，所以为的外接圆圆心；设的外接圆圆心为， 三棱锥的外接球球心为，如图，连接，，，， 则平面，平面，， 在中，，， 所以由正弦定理知，所以； 在中，由，得； 在中，由，，得； 在中，，，则； 所以在中，，从而； 在平面内过点作交于， 则为二面角的平面角，易知， 所以. 故选：D. 33．如图，已知为圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理可得即为二面角的平面角，在中求出可得答案. 【详解】因为垂直于圆所在的平面，且平面， 所以，，因为是圆周上一点，所以， 且，平面，所以平面， 平面，所以，可得即为二面角的平面角， 因为，，，所以， 因为，，所以， ， 则二面角的大小为. 故选：C. 34．如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（    ） A．平面平面 B．二面角的余弦值为 C．与平面所成角为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】D 【分析】由条件得,由平面可得，从而平面，即可判断A；为二面角的平面角，求解可判断B；为与平面所成角，求解可判断C；取的中点，则为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1，求出外接球的表面积可判断D. 【详解】∵，，∴, ∵平面，平面，∴， ∵，，，平面， ∴平面，又平面，∴平面平面，故A正确； ∵，∴为二面角的平面角， ∵，故B正确； ∵平面，∴为与平面所成角， ∵，则，故C正确； 取的中点，连接, ∵，，∴， ∵平面，又平面，∴， ∴， 则， ∴为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1， ∴三棱锥外接球的表面积为，故D错误. 故选：D. 35．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案. 【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，    ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 故选：C 八、题点八 利用垂面求面面角 36．已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 【答案】或 【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小 【详解】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 因为直线所成角的大小为，所以或， 当时，如图 因为，所以； 当时， 如图 因为，所以; 综上，二面角的大小为或 故答案为：或 37．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为2，则二面角的平面角的大小为 . 【答案】 【解析】过点作的垂线,设垂足为,连接,可得就是锐二面角的平面角,进而求解即可 【详解】过点作的垂线,设垂足为,连接,如图所示, 由于,则为直角三角形, 所以就是锐二面角的平面角, 易得,因此,即二面角的平面角的大小是, 故答案为: 【点睛】本题考查几何法求二面角,考查空间想象能力 38．已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】设平面交直线于点，连接，，可证得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大小． 【详解】解：设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 由于，，，，故，， 故在四边形中，与互补， 又，， 在中由余弦定理， 即，解得， 又，所以， 故，则二面角的大小为． 故答案为：． 39．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． (1)求证：AB⊥平面PCD； (2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)120° 【分析】（1）先证得PC⊥AB．同理PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）先证得∠CHD是二面角的平面角，然后在四边形PCHD中求得结果. 【详解】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB． 又，故AB⊥平面PCD． （2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH， ∴∠CHD是二面角的平面角； ∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°； ∴∠CHD＝120°； 即二面角的大小是120°． 40．如图，已知平面，，且，，，，为垂足.    （1）试判断直线与的关系，并证明你的结论； （2）设直线与平面交于点，点，若二面角的大小为，且，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）直线与是垂直关系，证明见解析；（2）. 【分析】(1)由条件可得，，则平面PCD，从而可得答案. (2)由，所以，，就是所求二面角的平面角,则根据条件可得，然后求出即可. 【详解】（1）∵， ，，又 平面PCD ∵平面PCD，所以 即直线与是垂直关系. （2）连接，，则∵， 由（1）有平面PCD，则， 所以二面角的平面角为 四点共圆，所以 ∵，又， ， ∵，， ∵，所以， 就是所求二面角的平面角 ，所以 即平面与平面所成的锐二面角的大小为.    【点睛】本题考查线线位置关系的判断，考查求二面角，属于中档题. 、 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题延伸： 线线角、线面角和面面角的几何求法 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 异面直线夹角 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）计算：根据几何关系，利用余弦定理等求解角度． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③直接平移法． 知识点2 直线与平面夹角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 知识点3 平面与平面夹角 1、二面角的定义 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： 法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 法二：三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 法三：垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 2提升学科能力 一、题点一 利用中位线平移直线求线线角 1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 5．在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 . 二、题点二 构造平行四边形平移直线求线线角 6．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别是，的中点，若，，则异面直线与所成角大小是 ． 9．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 10．如图，在三棱柱中，，，且，是的中点．    (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值． 三、题点三 直接平移直线求线线角 11．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ）    A． B． C． D． 12．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 13．如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为 .    14．如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值为    15．如图所示，在正方体中，与所成的角为 ，与所成的角为 ． 四、题点四 利用平面垂线求线面角 16．已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形；侧面是正方形，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 17．在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 18．在直三棱柱中，，则与平面所成的角为（    ）. A． B． C． D． 19．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 20．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 五、题点五 等体积法求线面角 21．如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 22．已知四面体. (1)证明：; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 23．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足． (1)求证：； (2)如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角的正切值． 24．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值. 25．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 六、题点六定义法求面面角 26．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 27．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（   ） A． B． C． D． 28．如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 29．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 30．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ． 七、题点七 利用三垂线定理求面面角 31．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 32．已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．如图，已知为圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 34．如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（    ） A．平面平面 B．二面角的余弦值为 C．与平面所成角为 D．三棱锥外接球的表面积为 35．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 八、题点八 利用垂面求面面角 36．已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 37．已知是锐二面角中内一点，垂直于点，，点到的距离为2，则二面角的平面角的大小为 . 38．已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ． 39．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． (1)求证：AB⊥平面PCD； (2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 40．如图，已知平面，，且，，，，为垂足.    （1）试判断直线与的关系，并证明你的结论； （2）设直线与平面交于点，点，若二面角的大小为，且，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$