8.6.3 平面与平面垂直讲义（5知识点+8题型）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 知识点2 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点3 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点4 垂直问题转化关系如下所示 知识点5 二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 2提升学科能力 一、题点一 面面垂直的判定与性质定理 1．已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是 ．(填序号) ① AE⊥CE；② BE⊥DE；③ DE⊥平面BCE；④ 平面ADE⊥平面BCE. 5．设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 二、题点二 面面垂直的证明 6．正方体的棱长为是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的正弦值为，求的长. 7．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 8．如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 9．如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，，面⊥面，，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)求四棱锥的体积. 10．在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.    三、题点三 面面垂直证明线面垂直 11．如图，已知AB是的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系，并证明.    12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 13．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且.      (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点E到平面的距离. 14．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 15．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求二面角的大小. 四、题点四 面面的夹角 16．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 17．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 18．如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是 .    19．已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为 ． 20．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 五、题点五 平面的折叠问题 21．如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 22．如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P． (1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 23．如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.    24．图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.    (1)证明：平面平面； (2)证明：//平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 25．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 六、题点六 平面的动点问题 26．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 27．如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 28．如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由． 29．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 30．如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面. (1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由； (2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.3 平面与平面垂直 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 平面与平面垂直 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 知识点2 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点3 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点4 垂直问题转化关系如下所示 知识点5 二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 2提升学科能力 一、题点一 面面垂直的判定与性质定理 1．已知l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】在A中，与平行或异面；在B中，与相交、平行或；在C中，与相交、平行或；在D中，由面面垂直的判定理得。 【详解】由l、n是两条不同的直线，、是不重合的两个平面，知： 在A中，若，，，则与平行或异面，故A错误； 在B中，若，，则与相交、平行或，故B错误； 在C中，若，，则与相交、平行或，故C错误； 在D中，若，，则由面面垂直的判定理得，故D正确． 故选：D 2．已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断. 【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确； 对于B，或，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 故选：B. 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间直线与平面位置关系结合线面平行的判定定理、性质定理及面面垂直的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意也有可能，若要，则需，故A错误； 对于B，若，则与没有交点，与没有交点，因为， 则与关系不能确定，故与可能相交、异面也可能平行，故B错误； 对于C，如图：在正方体中， 若平面为平面，平面为平面，为，为，则， 故C错误； 对于，因为，所以，又，记且， 则，所以，所以，故D正确. 故选：D 4．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是 ．(填序号) ① AE⊥CE；② BE⊥DE；③ DE⊥平面BCE；④ 平面ADE⊥平面BCE. 【答案】③ 【详解】因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线．又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE.而BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，则BC⊥AE.因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，则AE⊥平面BCE，因为CE⊂平面BCE，因此得AE⊥CE，①正确；同理，BE⊥DE，②正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，因AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE⊂平面ADE，于是得平面ADE⊥平面BCE，④正确． 【考查意图】 以圆柱为背景考查线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定． 5．设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 【答案】①③ 【分析】利用面面垂直的判定定理判断①；利用特例法判断②④；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理判断③. 【详解】对于①，若，，根据面面垂直的判定定理可知，正确； 对于②，若，，则可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 对于③，若，则内存在一条直线，因为所以，所以，正确； 对于④，若，，，可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 综上可得，中能使成立的条件是①③ 故答案为：①③. 二、题点二 面面垂直的证明 6．正方体的棱长为是线段上的动点. (1)求证：平面平面； (2)与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，进而可证平面，即可得结果； （2）设在平面上的射影点为，连接，利用等体积法可得，结合线面夹角可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为平面，且平面，可得， 四边形为正方形，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）设在平面上的射影点为，连接， 可知是以边长为的等边三角形，则， 因为，即，解得， 设与平面所成的角的大小为， 则，可得， 在中，由余弦定理得，， 即，解得. 7．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，； ，平面，平面， 平面，平面平面. 8．如图，在四棱柱中，是边长为2的菱形，且，侧面底面为中点. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知易证，利用线面垂直可得，进而可证，利用线线垂直可得平面，可证结论成立； （2）求得的面积，到平面距离，利用可求体积. 【详解】（1）取的中点，连结， 由为中点，知， 是边长为的菱形且为中点， ，故， 又由平面， 平面平面， 又四边形为平行四边形， ， 又平面， 平面平面平面平面. （2）由（1）知的面积为 侧面底面，又， 到平面距离为，即到平面距离为 三棱锥的体积. 9．如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，，面⊥面，，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连，根据中位线可知,得证； （2）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，根据面面垂直的性质定理可知平面，得证； （3）过作于，从而平面，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可. 【详解】（1）    证明：连接， ∵底面是矩形，为的中点， ∴在上且为的中点， 又是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面平面，平面平面，⊂平面,， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. （3）    ∵平面平面，平面平面， ∴在平面内过作于，则平面， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，即四棱锥的高为1， 又∵底面矩形的边长， ∴. 10．在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】依题意可取的中点，连接，利用棱长可证明，再由面面垂直性质可得平面，根据面面垂直判定定理可得出证明. 【详解】取的中点，连接，如下图所示：    由题意可知为等边三角形，则，且，可得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，由平面ABC，可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面， 所以平面平面. 三、题点三 面面垂直证明线面垂直 11．如图，已知AB是的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系，并证明.    【答案】平面PAC，证明见解析 【分析】由面面垂直的性质即可 【详解】平面PAC.证明如下： 因为AB是的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 所以，因此. 已知平面平面ABC，而平面平面， 平面ABC内的直线BC垂直于AC，所以平面PAC. 12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：由面面垂直可得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论；证法二：由面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再由等边三角形的性质可得，然后由面面垂直的性质可证得结论； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证法一： 在正方形中， 又侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 证法二： 在正方形中， 又侧面底面，侧面交底面于，所以平面， 又平面，故平面平面， 是正三角形，是的中点，所以 又平面交平面于，平面，故平面． （2）取，的中点分别为，，连接，，， 则，，因为，所以， 又在正中，， 因为，平面，平面， 正方形中，，平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 设正方形的边长，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为.    13．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且.      (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及直角三角形的性质得线线垂直，即可利用线面垂直的判定定理证明即可 （2）根据已知条件求，，利用等体积法即可求解点到平面的距离. 【详解】（1）在中，为线段的中点，且， ∴，∴为直角三角形，且，∴. ∵底面为平行四边形，∴，∴. ∵四边形为矩形，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵，，平面，∴平面. （2）∵平面，∴，为直线与平面所成的角，∴， ∴，，∴. 由（1）知平面，又平面，∴. ∵，，∴， ∴. 在中，，，∴. 连接，由于为线段的中点，则， 由于， 设点E到平面的距离为d， 则，∴，即点到平面的距离为.    14．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.    (1)求证：平面PAD； (2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直即可； （2）当F为PC的中点时，满足平面平面ABCD.利用平面平面ABCD，可得平面ABCD，通过平行证明线面垂直，可得平面平面ABCD. 【详解】（1）如图，连接BD，因为底面ABCD是菱形，所以，又因为，所以是等边三角形. 因为G为边AD的中点，所以. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面BAD，， 所以平面PAD.    （2）存在点F，且F为PC的中点. 证明如下：取PC的中点F，连接DF，EF，EG，CG，DE，PG，且CG与DE交于点M，连接FM. 因为且，E，G分别是BC，AD的中点，所以，且. 则四边形CEGD是平行四边形， 所以. 又因为，所以. 因为是等边三角形，G是AD的中点， 所以. 又因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，所以平面ABCD. 又平面DEF， 所以平面平面ABCD. 15．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求二面角的大小. 【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3） 【分析】（1）连结，连结，，即可证明结论. （2）由线面垂直判定可得平面,，进而可证明结论. （3）以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BPC的法向量为，平面DPC的法向量为，进而可得结果. 【详解】 （1）连结，连结 因为ABCD为正方形，所以O为BD中点，又因为E为DP中点， 所以，平面ACE，平面ACE，所以平面ACE （2）因为平面ABCD，平面ABCD，, 又因为，平面， 因为为PD的中点，，平面PCD （3）如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 设平面BPC的法向量为 则，令，则 设平面DPC的法向量为 则，则，令则 二面角B-PC-D为钝角，所以二面角B-PC-D为 四、题点四 面面的夹角 16．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 17．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，根据二面角的定义，结合正方体的线面关系判断出待求二面角的平面角即可求解. 【详解】如图，由正方体的性质易知平面，平面，平面， 则， 而平面平面， 则为二面角的平面角， 又因为四边形为正方形， 所以，即二面角的大小是. 故选：B. 18．如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是 .    【答案】/ 【分析】利用二面角的平面角的定义及正方体的特征即可求解. 【详解】∵是正方体， ∴平面， ∴，， ∴是平面和平面ABCD所成的二面角的平面角， ∵， ∴平面和平面ABCD所成的二面角的平面角为. 故答案为：. 19．已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】过作于，连接，由二面角的定义可得为二面角的平面角，在直角三角形中，可得,，再由计算即可. 【详解】解：如图所示：    过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面 ， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，因为， 所以,， 在直角三角形中，. 故答案为： 20．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为.    五、题点五 平面的折叠问题 21．如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，的中点，得到，易知，，得到平面，，再结合，得到平面，从而得到平面平面. 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接， 则. ，是的中点， ，即. . ，. 在四边形中，， 又，平面， 平面， 平面，. 且， ∴直线必与直线相交，且平面. 又，， 平面. 又平面， ∴平面平面. 22．如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P． (1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线线垂直，得到就是二面角的平面角，结合边长求出二面角的大小. 【详解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥． 又∵，平面， ∴⊥平面． 又平面， ∴平面⊥平面． （2）如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 因为，所以⊥，⊥， 故就是二面角的平面角． 又⊥平面，平面， 所以⊥， ∵， ∴， ∴． ∴二面角P－AD－E的大小为． 23．如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】因为，，，平面， 所以平面； 因为平面，所以平面平面； 已知为直角，所以， 又，，平面， 因此平面， 因为平面ABD，所以平面平面. 24．图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.    (1)证明：平面平面； (2)证明：//平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面垂直即可得面面垂直， （2）利用线线平行或者面面平行即可求证线面平行， （3）根据线面角的定义，得其几何角，即可利用边角故选求解. 【详解】（1）    由题意知，，平面, 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 法二：因为，平面,平面,所以平面, ，平面,平面,所以平面, 平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为平面, 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以，   在中，，， 在中，，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为. 25．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图①中过C作，可得，再利用线面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）过作，过作于点，由线面垂直的性质定理可得为二面角的平面角，设，利用相似比、得求出可得答案． 【详解】（1）在图①中过C作，则，， 图②中，， 又∵，∴，∴，∴且． ∴，∴， 在中，，， ∴，又平面ACD，平面ACD， ∴平面ACD，平面平面， ∴，∴， 又是的中点，∴是的中点；    （2）如图， 过作交BE于H，过作于点，连结， 且，因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 则为二面角的平面角，∴， 设，∴， 又，∴， 在中，，, 由得，即，∴， ∴．    六、题点六 平面的动点问题 26．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)存在， 【详解】（1） （ⅰ）设矩形的中心为，则是的中点，而是的中点，所以. 而是矩形的中心，故也是的中点，所以在平面内，又因为不在平面内，所以平面； （ii）由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面. 所以直线与平面所成角的正弦值等于. 下面证明一个结论：在中，若的长分别为，则边上的中线长为. 证明：设为的中点，，则由余弦定理，结合得 . 所以，即，故. 回到原题. 由于平面，而在平面内，故，. 从而，这得到，. 而，故根据之前证明的结论，我们有，，从而. 这表明，所以直线与平面所成角的正弦值等于. （2）在平面内过作，交于，在平面内过作，交于. 由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.  而在平面内，故. 又因为，在平面内交于，故平面. 由平面，在平面内，知. 由，，且在上，知二面角等于. 从而条件即为，即，即. 设，则，故，. 同时，. 故条件即为，即. 解得，所以. 综上，存在满足条件的点，. 27．如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面⊥平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质可得，再次利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）取的中点，连接.由（1）可得，由（2）可得平面，即可证明. 【详解】（1）在五面体中，因为四边形是正方形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以，即. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面,所以平面. 因为平面，所以平面⊥平面. （3）在线段上存在点，使得平面. 证明如下：取的中点，连接. 由（1）知，平面ABFE，又平面，平面∩平面， 所以.因为，所以. 所以四边形是平行四边形．所以. 由（2）知，平面，所以平面. 28．如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连接，易证为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由，利用线面平行的判定定理得到面，从而得到到面的距离为，再由菱形，求得，然后利用三棱锥的体积公式求解； （3）由三角形为等边三角形，点为棱的中点，，由面面，得到面，从而面，然后利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）证明：取中点，连接．   菱形为中点， 且， 且， ， 为平行四边形，， 面面， 平面； （2）面面， 面， 到面的距离为， 菱形对角线， ， 三棱锥的体积； （3）在棱上存在一点，使得平面平面，且点为棱的中点． 证明：三角形为等边三角形，点为棱的中点， ， 面面，面面，面， 面，又面， 所以， 又，面，面， 面， 平面， 平面平面. 29．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 30．如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面. (1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由； (2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2)，最大值为3 【分析】（1）先找到点，再证明此时平面. （2），，体积的表达式为得到答案. 【详解】（1）存在点，使得平面，此时. 当时，， 过点作，交于点，连接，如图，则. ∵在四边形中， ∴，∴. ∵， ∴，且，故四边形为平行四边形， ∴. ∵平面平面， ∴平面. （2）∵平面平面，平面平面平面平面. ∵，∴， 故三棱锥的体积， 当时，三棱锥的体积有最大值，最大值为3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$