精品解析：安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

皖江中2023-2024学年高一第一学期第二次阶段性检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章第五章5.3 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. （多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（ ） A. 0 B. 8 C. 16 D. 20 11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 的最大值为4 D. 的最小值为2 12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数且的图象必过定点_____． 14. 已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是__________. 15. 已知函数，且，则的值为______． 16. 已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. （1）若求的值； （2）求值： 18. 已知集合， （1）当时，求， （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 （1）求关于的函数关系式 （2）求函数的最大值. 20. （1）若求的值； （2）已知角的终边经过点且求实数的值. 21. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）令（其中），求函数的值域. 22. 已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且. （1）求的值，并证明：当时，. （2）判断的单调性. （3）若，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皖江中2023-2024学年高一第一学期第二次阶段性检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章第五章5.3 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得. 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为或，因此，. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，即，因此，. 故选：B. 4. （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把角度变成的形式，再由三角函数的诱导公式化简求值. 【详解】 . 故选：A. 5. 设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由且，必有且； 当且时，如，不满足，故不一定有且． 所以“且”是“且”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除. 【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除； 当时，，当时，，所以，排除B． 故选A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题. 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增. 当时，， ，， . 由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是. 故选：C 8. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由指数、对数的运算性质求解即可 【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1， 则，即， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以的最小值为14，则至少要过滤14次． 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9. （多选题）下列诱导公式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解. 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（ ） A. 0 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式解出即可． 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调，则或，解得或． 故选：ACD. 11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 的最大值为4 D. 的最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确. 故选:AD. 12. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进而判断正误. 【详解】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得， 当时，此时，而，易知，也有2个零点，故，A正确； ，B错误； 的4个零点满足：，则，是方程的两个根， 则有，且，， 于是得，C正确； 由C选项知，， 由，得：， 而函数在上单调递减，从而得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 14. 已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求出答案. 【详解】设扇形的圆心角（正角）弧度数为，则由题意得，得. 故答案为：1 15. 已知函数，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可. 【详解】，令，函数定义域为R， ∵，∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 16. 已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. （1）若求的值； （2）求值： 【答案】（1）5；（2）101 【解析】 【分析】（1），两边同时平方，可求的值； （2）利用对数式和指数式的运算规则化简求值. 【详解】（1）， 则． （2）. 18. 已知集合， （1）当时，求， （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可； (2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 解：当时，, 因为, 所以, ； 【小问2详解】 解：因为是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 因为， 所以恒成立， 所以集合， 所以解得， 故实数的取值范围为 19. 某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，测得数据如下表所示（部分）： （单位：克） 0 1 2 9 0 3 （1）求关于的函数关系式 （2）求函数的最大值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）待定系数法，设出函数解析式，代入表格中的数据计算即可； （2）由函数解析式，根据函数性质，分段求最大值，得函数的最大值. 【小问1详解】 当时，设， 由表格数据可得， 解得，即． 当时，，由表格数据可得，解得， 所以当时，． 综上， 【小问2详解】 当时，， 所以当时，函数的最大值为4； 当时，单调递减，所以的最大值为． 因为，所以函数的最大值为4． 20. （1）若求的值； （2）已知角的终边经过点且求实数的值. 【答案】（1）；（2）或或 【解析】 【分析】（1）已知条件由正余弦的齐次式，求出，再代入所求的正余弦的齐次式求值； （2）利用余弦函数的定义，列方程求解. 【详解】（1）由，得， 所以． （2）根据三角函数的定义可得． 若时，符合题意； 若时，则可化简得，解得或， 综上，或或． 21. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）令（其中），求函数的值域. 【答案】（1）偶函数 （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3） 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 【解析】 【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； 【小问2详解】 证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 22. 已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且. （1）求的值，并证明：当时，. （2）判断的单调性. （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1），证明如下： 令，则， 又，所以. 证明：当时，，所以， 又， 所以，所以. （2）在R上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）令求得的值，当时，由判断的范围； （2）根据单调性定义及的范围判断； （3）将不等式转化为结合的单调性求解. 【小问1详解】 .证明略； 【小问2详解】 令，， 则 ， 又，所以，所以， 所以， 又当时，，当时，，当时，， 所以，所以， 所以，即， 所以在R上单调递减. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 由（2）知在R上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $