第七章随机变量及其分布列 (2)-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布列 一、单选题 1．随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（    ） A．0.9 B．0.2 C．0.5 D．0.4 3．某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 4．已知随机变量分别服从二项分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某射手射击所得环数的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 若成等差数列，则（    ） A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4 6．随机变量的分布列如表所示，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量，则（    ） 注：若，则. A． B． C． D． 8．随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.16 9．已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（    ） 参考数据：若，则. A．13272 B．16372 C．16800 D．19518 二、填空题 10．已知随机事件满足，则 ． 11．已知随机变量的取值为，若，，则 . 12．已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 13．某班级测验均分，根据检测结果可知，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为 ． 14．已知随机变量，若，，则 ． 三、解答题 15．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到2号球的概率； 16．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； (2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望． 17．不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球． (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 18．某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为. (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均质量为240克，方差为300，小果的单果平均质量为190克，方差为320，试估计果园苹果平均质量、方差； (2)现用一台分选机筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从“大果”里随机抽取一个，求这个“大果”是真的大果的概率. 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：，，；，，.记样本平均数为，样本方差为，. 19．端午节吃粽子是我国民间的传统习俗.一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同． (1)学生小李从中任取两个，设表示取到的肉粽个数，求的分布列与数学期望． (2)学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？ 20．今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个． (1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； (2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 2．C 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】解：. 故选：C. 3．B 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 4．C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式计算比较即可. 【详解】依题意，，，而， 因此，AB错误，C正确； 又，D错误. 故选：C 5．B 【分析】根据随机变量的分布列特征及题设条件列出方程组，求出的值，代入均值公式计算即得. 【详解】由题意可得：，解得， 故. 故选：B. 6．B 【分析】根据分布列的性质得到方程组，解得即可. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 7．C 【分析】根据正态曲线的性质求出和即可求出. 【详解】因为，即，， 所以， ， 所以. 故选：C. 8．D 【分析】根据正态分布对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故选：D. 9．C 【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解. 【详解】依题意，故所求人数为. 故选：C. 10． 【分析】由乘法公式及事件和的概率公式代入数据即可. 【详解】，. 故答案为：. 11．/ 【分析】根据题意，结合分布列的性质，列出方程组求得，再由方差的公式，求得，结合，即可求解. 【详解】随机变量的取值为，且，， 则，解得， 所以， 则. 故答案为：. 12． 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因为， 所以，根据对称性可得， 又， 所以. 故答案为：. 13．2 【分析】结合正态分布的性质得到，从而可求出结果. 【详解】因为服从正态分布，所以， 因为， 所以， 所以60分以下的人数为人， 故答案为：2. 14． 【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得. 【详解】因为，所以，， 即，所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由条件概率公式即可得解. （2）由全概率公式、条件概率公式即可得解. 【详解】（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率； （2）依题意两两互斥， 其和为， 并且 ， ，， ， 应用全概率公式， 有. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）首先按照分层抽样求出第一、二批次的芯片数，则的可取值为，，，，利用超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）设事件为“任取一个芯片是合格品”，事件为“产品取自第一批”， 事件为“产品取自第二批”， 则，，， 所以 . （2）由条件可知第一批芯片抽取个，第二批芯片抽取个； 则的可取值为，，，； 则；； ；； 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17．(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】 （1）先求出从9个球中取出4个球的基本事件总数，再求红球个数为3和4时的概率． （2）由已知得随机变量的可能取值，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】（1）一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数， 其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数， 红球个数大于黄球个数的概率是； （2）若变量为取出的四个小球中红球的个数，则的可能取值为1，2，3，4， ，，， 1 2 3 5 数学期望． 18．(1)估计果园苹果的单果平均质量为230克，方差为704； (2)从“大果”里随机抽取一个，这个“大果”是真的大果的概率为. 【分析】（1）先求100个苹果的单果平均重量，再利用公式求100个苹果的方差； （2）设事件，根据全概率公式求出以及，再根据条件概率公式求出. 【详解】（1）因为大果与小果的比例为， 所以100个苹果中，大果的个数为，小果的个数为， 设大果的单果平均重量为克，方差为，小果的单果平均重量为克，方差为， 设100个苹果的单果平均重量为克，方差为， 则，，，， 所以100个苹果的单果平均重量克， 100个苹果的方差， 故估计果园苹果的单果平均质量为230克，方差为704； （2）设事件“放入水果分选机的苹果为大果”， 事件“放入水果分选机的苹果为小果”， 事件“水果分选机筛选的苹果为‘大果’”， 由题知，， ，， 所以， 由全概率公式可得， ， ， 因此，， 所以从“大果”里随机抽取一个，这个“大果”是真的大果的概率为. 19．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）依题意的可能取值为，，，利用超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （2）依题意分袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽，利用相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则； （2）依题意小红要能吃到肉粽分两种情况： 袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽， 故能吃到肉粽的概率． 20．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）依题意基本事件总数， 选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数， 选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率； （2）设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，， 所以，， ， 的分布列为： 0 1 2 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$