第01讲 二次函数（5大核心考点精讲练透）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第01讲 二次函数的概念和定义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式 2.会建立简单的二次函数的模型，并根据实际问题确定自变量的取值范围 3.会用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 教材习题01 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为 y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5，1.75时， 求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示. 解题方法 ①正方形的边长为2cm，即可知道该正方形的面积； ②4个直角三角形是全等的，面积也相等； ③四边形EFGH的面积可由正方形面积减去4个直角三角形的面积得到； 【答案】 （1）y=4 - 4× x（2-x）=2x2-4x+4，x取值范围为0＜x＜2 （2）x=0.25时，y=2×0.252 - 4×0.25+4=3.125（cm2） 依次计算，x=0.5时，y=2.5（cm2），x=1时，y=2（cm2）；x=1.5时，y=2.5（cm2）；x=1.75时，y=3.125（cm2） 列表如下 x（cm） 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y（cm2） 3.125 2.5 2 2.5 3.125 教材习题02 已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析式. 解题方法 ①当x=1时,函数值为4，所以4=12+b×1+c 当x=2时,函数值为-5，所以—5=22+b×2+c ②得到关于b，c的二元一次方程组，从而解出b，c； 【答案】 y=x2—12x+15 考点一：二次函数的判断 例1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：列二次函数关系式 例2．一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（        ） A． B． C． D． 变式2-1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 考点三：二次函数的一般形式 例3．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 变式3-1．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 变式3-2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 考点四：待定系数法求二次函数解析式 例4．已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 变式4-1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 变式4-2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 变式4-3．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 考点五：二次函数的函数值 例5．若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 变式5-1．一个二次函数y=（k﹣1）+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x=0.5时y的值？ 变式5-2．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的二次函数? (2)当m为何值时，y是x的一次函数? 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 3．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 5．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 9．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 10．若是二次函数，则m的值为（　　） A． B．2 C． D． 11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 12．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 13．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 14．二次函数中，二次项系数是 ． 15．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 16．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 17．矩形周长等于40，设矩形的一边长为，那么矩形面积与边长之间的函数关系式为 . 18．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 19．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 20．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 21．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 22．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数的概念和定义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式 2.会建立简单的二次函数的模型，并根据实际问题确定自变量的取值范围 3.会用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 教材习题01 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为 y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5，1.75时， 求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示. 解题方法 ①正方形的边长为2cm，即可知道该正方形的面积； ②4个直角三角形是全等的，面积也相等； ③四边形EFGH的面积可由正方形面积减去4个直角三角形的面积得到； 【答案】 （1）y=4 - 4× x（2-x）=2x2-4x+4，x取值范围为0＜x＜2 （2）x=0.25时，y=2×0.252 - 4×0.25+4=3.125（cm2） 依次计算，x=0.5时，y=2.5（cm2），x=1时，y=2（cm2）；x=1.5时，y=2.5（cm2）；x=1.75时，y=3.125（cm2） 列表如下 x（cm） 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y（cm2） 3.125 2.5 2 2.5 3.125 教材习题02 已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析式. 解题方法 ①当x=1时,函数值为4，所以4=12+b×1+c 当x=2时,函数值为-5，所以—5=22+b×2+c ②得到关于b，c的二元一次方程组，从而解出b，c； 【答案】 y=x2—12x+15 考点一：二次函数的判断 例1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意； D、，整理后不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 变式1-1．下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 变式1-2．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、函数是二次函数，故本选项符合题意； D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 变式1-3．下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 考点二：列二次函数关系式 例2．一件商品原价为元，连续两次降价，降价率均为，两次降价后该商品的售价价格为元，则与的函数关系式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题的数量关系是：原价×（1-x）（1-x）=售价，设出原价，列出方程即可解答． 【详解】∵降价率为x，根据题意列方程得， ∴y=50（1-x）（1-x）=50（1-x）2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解答此题注意两次降价x的标准不同，第一次x以原价为标准，第二次x以第一次降价后的价格为标准． 变式2-1．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 变式2-2．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 考点三：二次函数的一般形式 例3．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 变式3-1．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 【答案】D 【分析】根据二次函数的标准形式即可得到答案． 【详解】二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键． 变式3-2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 考点四：待定系数法求二次函数解析式 例4．已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可． 【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B． 变式4-1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 变式4-2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 【答案】A 【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可． 【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5， ∴c＝﹣5①， a﹣b+c＝﹣4②， 4a﹣2b+c＝5③， 解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5， 所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5． 故选：A． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值． 变式4-3．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3） 【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数； （2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可； （3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系． 【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个， 由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 （3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 考点五：二次函数的函数值 例5．若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 变式5-1．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x=0.5时y的值？ 【答案】（1）k=2；（2）y= 【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可； （2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值． 【详解】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 解得：k=2； （2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1， 当x=0.5时，y=． 【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件． 变式5-2．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的二次函数? (2)当m为何值时，y是x的一次函数? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项的系数不为0，自变量的最高次数为2，求解即可； （2）根据一次函数的概念，一次项系数不为0，二次项的系数为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵y是x的二次函数， ∴， 解得：， ∴当时，y是x的二次函数． （2）解：y是x的一次函数， ∴，且 由得：， 由得：，， ∴， ∴当时，y是x的一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，列出关于m的方程或不等式． 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 2．二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 3．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：表示是的二次函数， ， 解得． 故选：D． 4．如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可； 【详解】解：由题意可得： ， ∴与成一次函数关系；与成二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键． 5．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 6．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的定义“一般地，形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数”即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A，是反比例函数，不是二次函数，不合题意； B，是一次函数，不是二次函数，不合题意； C，是一次函数，不是二次函数，不合题意； D，是二次函数，符合题意； 故选D． 7．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，是二次函数，符合题意； C、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 故选B． 8．二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】把已知函数解析式转化为一般式，判断即可； 【详解】∵， ∴二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，准确分析判断是解题的关键． 9．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（    ） A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3 C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 【答案】B 【分析】根据二次函数的一般形式可得答案． 【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 10．若是二次函数，则m的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， ∴，且， ∴． 故选：C． 11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 【详解】解：圆的面积公式是， 原来的圆的面积=， 挖去的圆的面积=， ∴圆环面积． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式． 12．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数定义进行判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故选项符合题意； B．不是二次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，故选项不符合题意； D．是正比例函数，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数，形如的函数叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 13．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到且，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数是关键． 14．二次函数中，二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义，即可求解，本题考查了二次函数的定义，解题的关键是：掌握二次函数的定义． 【详解】解：二次函数，二次项系数是2， 故答案为：2． 15．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 【答案】106 【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键． 将代入解析式求值即可． 【详解】解： ， 当时，， 水的体积为． 故答案为：106． 16．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 17．矩形周长等于40，设矩形的一边长为，那么矩形面积与边长之间的函数关系式为 . 【答案】 【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米， ∴由矩形的面积公式，得 【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 18．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 19．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 20．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 21．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可． （2）分别把，，2代入可得的值． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 22．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 【答案】（1）k=2；（2）14 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$